[2] Краткие Сведения Из Теории Электронного Строения Конденсированных Сред (987498), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

J² = ћ² j (j+1)

где j — результирующее квантовое число; j = j±s.

Проекция J на некоторое выделенное направление харак­теризуется магнитным квантовым числом т_j = т_l + m_s при заданном j, принимающем значение от +j до -j через еди­ницу. Таким образом, для характеристики уровней энергии водородоподобных атомов или ионов, при учете спин-орби­тального взаимодействия вместо набора квантовых чисел п,l,m_l и т_s используют набор квантовых чисел п, l, j и m_j.

Для атомов, содержащих более одного электрона, урав­нение Шредингера не может быть практически решено ни аналитически, ни численными методами. Поэтому системати­ка спектров многоэлектронных атомов основывается на какой-либо приближенной модели. В основу этих приближе­ний положено некоторое схематическое рассмотрение, при котором сохраняется представление об индивидуальном со­стоянии электрона в атоме, а состояние атома в целом опре­деляется совокупностью состояний электронов с учетом их взаимодействия (в первую очередь электростатического и спин-орбитального взаимодействия).

В теории атомных спектров эти взаимодействия рассмат­ривают в рамках теории возмущения в качестве поправок к центрально-симметрическому полю. Подобный подход дает возможность получить ряд общих сведений о системе энерге­тических уровней данного атома, их взаимном расположении и группировке. Гамильтониан рассматриваемой системы в этом случае можно записать в виде

H=H₀+H_ll+H_ls (2.7)

где H₀ — оператор взаимодействия электронов с ядром, пред­ставляющий собой сумму оператора потенциальной и кине­тической энергий электронов; H_ll — оператор электростати­ческого взаимодействия между электронами; H_ls — оператор спин-орбитального взаимодействия.

Основой систематики спектров сложных атомов и ионов является, так же как и для водородоподобных атомов, ха­рактеристика состояния системы с помощью квантовых чисел. К их числу относятся:

1) орбитальное квантовое число L (L =l₁+l₂+ ... ∑l). Зна­чениям L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. соответствуют состоя­ния атомов, обозначаемые большими латинскими буквами S, Р, D, F, G, Н, I,... ;

2) магнитное орбитальное квантовое число М_L которое при данном L принимает значения от +L, до -L через еди­ницу. Всего (2L+1) значений;

3) спиновое квантовое число S(S = s1+s2+ ... =∑s), при­нимающее значения 0, 1/2, 1, 3/2.... и т. д.;

4) магнитное спиновое квантовое число М_s которое при данном S принимает значения от -S до +S через единицу. Всего (2S+1) значений;

5) результирующее квантовое число J(J=L±S), которое является наиболее важной характеристикой уровней энергии сложного атома. J принимает целые значения J=0, 1, 2 ... при четном числе электронов в атоме и полуцелые J=1/2, 3/2, 5/2 ... при нечетном;

6) магнитное результирующее квантовое число М_J при­нимающее значения М_J=J, J-1,…-J. Всего (2J+1) зна­чений.

Физический смысл рассмотренных выше квантовых чисел по аналогии с квантовыми числами электрона заключается в том, что они определяют соответствующие механические моменты количества движения атома и их проекции на неко­торое выделенное направление в пространстве, например на направление электрического или магнитного поля.

Состояние атома, характеризующееся определенными значениями L и S, называется термом. Сокращенное обозна­чение терма имеет вид ^2s+1L, где величина (2S+1) на­зывается мультиплетностью терма. Например, терму ⁴F иона Сг³+ соответствует состояние с L=3, S=3/2.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщепле­нию терма LS на ряд компонент, соответствующих различ­ным значениям полного момента атома J. Это расщепление называется мультиплетным. Значение числа J указывается в виде индекса справа внизу у символа терма. Таким обра­зом, полное обозначение терма имеет вид ^2S+1L_J. Так, терм с L=0, S=3/2, J=3/2 обозначается как ⁴S_3/2. Каждая J-компонента терма вырождена с кратностью, равной 2J+1.

В твердом теле из-за сильного взаимодействия большого числа ядер и электронов энергетический спектр последних существенно изменяется. Для определения стационарных со­стояний и энергетического спектра такой системы необходи­мо решить уравнение Шредингера (2.2), в котором полный гамильтониан системы имеет вид

(2.8)

где р_i— оператор импульса i-го электрона; р_a,— оператор импульса ядра α; υ (r_i...R_α) -потенциальная энергия взаи­модействия всех электронов и ядер. При подстановке (2.8) в

(2.2) получили

(2.9)

Решить (2.9) в настоящее время не представляется возможным. Поэтому путем ряда упрощений (2.9) сводится к одно-электронной задаче - задаче о движении электрона в периодическом поле решетки.

Одно из упрощений состоит в разделении частиц на легкие (валентные электроны) и тяжелые (атомные остатки).

Поскольку М_α>>т, ядра считают неподвижными и рассмат­ривают движение электронов в покоящейся системе ядер. Та­кое представление исключает возможность обмена энергией между электронной и ядерной системами, поэтому это приб­лижение называют адиабатическим.

Д алее, энергию попарного взаимодействия электронов за­меняют энергией взаимодействия каждого электрона с осредненным полем всех остальных. Это поле называется само­согласованным, поскольку оно определяет движение данного электрона, будучи само зависимым от этого движения. Вве­дение этого приближения позволяет заменить (2.9) одина­ковым для всех электронов одноэлектронным уравнением

(2.10)

где(r_i) —потенциальная энергия электрона.

Однако и решение уравнения (2.10) встречает серьезные математические трудности. Существует несколько приближе­ний при решении (2.10), отличающихся выбором нулевого приближения, главным из которых является приближение квазисвободного (почти свободного) электрона и квазисвя­занного электрона. В первом из них в качестве нулевого приближения рассматривают состояние свободного электро­на, а периодическое поле решетки выступает в роли возму­щения. Во втором — в качестве нулевого приближения рас­сматривают состояние электрона изолированных атомов, из которых построена решетка кристалла. Однако независимо от метода приближения результат решения задачи об энер­гетическом спектре электронов в кристалле всегда один и тот же, а именно, энергетически» спектр электрона в кристалле состоит из чередующихся зон разрешенных и запрещенных энергий (рис. 2.1, а, б).

Образование энергетических зон в твердом теле можно представить следующим образом. Вначале предположим, что кристалл равномерно растянут так, что межатомные расстоя­ния в нем очень велики. Тогда разрешенные уровни для электронов совпадут с атомными уровнями, которые для простоты будем предполагать невырожденными. В кристал­ле, состоящем из N атомов, каждый атомный уровень ста­новится N-кратно вырожденным. Если затем начать посте­пенно уменьшать межатомные расстояния в кристалле, то вследствие растущего взаимодействия атомов друг с другом каждый уровень расщепится на серию N различных по энер­гии уровней. Вместо каждого N-кратно вырожденного уровня

п
олучаем зону энергий, содержащую N плотно размещен­ных уровней. На рис. 2.1, в показаны крайние значения энер­гии для двух зон в зависимости от величины межатомных расстояний в решетке. В случае глубоколежащих атомных уровней возмущение оказывается слабым по сравнению с си­лами взаимодействия между электроном и ядром; соответ­ственно и расщепление этих уровней будет мало. Для валент­ных электронов расщепление может быть довольно большим и приводит иногда даже к перекрытию соседних энергетиче­ских зри (см. рис. 2.1, в).

Рис. 2.1

Зона, содержащая N уровней, может, согласно принципу Паули, вместить в точности 2N электронов. Таким образом, зоны, соответствующие атомным уровням, к а которых име­лись спаренные электроны со взаимно противоположными спинами, оказываются полностью заполненными. Различным полностью заполненным (замкнутым) оболочкам атомов можно опять-таки сопоставить полностью заполненные зоны в кристалле. Частично занятыми могут быть лишь зоны, со­ответствующие внешним, или валентным, электронам. Это различие между полностью и частично заполненными зона­ми имеет очень важное значение. Аналогично тому, как в атомах существуют уровни возбужденных состояний, так и в спектре энергий кристаллов над валентной зоной должна располагаться серия более высоких, как правило пустых, энергетических зон, соответствующих возбужденным состоя­ниям электронов.

Наиболее важными являются валентная зона, образован­ная уровнями энергии валентных электронов невозбужденных атомов, и ближайшая к ней разрешенная зона, называемая зоной проводимости (рис. 2.2). Потолок валентной зоны обозначается обычно через Е_v дно зоны проводимости E_c, ширина запрещенной зоны - ΔE. Расстояние между уровнями

в зоне мало. Например, если в кристалле объемом 1см³ содержится примерно 10²² атомов, то при условии равномер­ного распределения уровней в зоне и ширине последней око­ло 1 эВ расстояние между уровнями составит величину при­мерно 10^-22 эВ. В тоже время средняя кинетическая энергия электрона в состоянии термодинамического равновесия имеет величину приблизительно 3/2 кТ и при комнатной темпера­туре составляет величину около 0,04 эВ. Поэтому в резуль­тате теплового возбуждения электроны внутри зоны могут свободно переходить с одного уровня энергии на другой, что позволяет считать энергетические зоны квазинепрерывными. Для перехода электрона из валентной зоны в зону про­водимости ему, как минимум, необходимо сообщить энергию, превышающую ширину запрещенной зоны ΔЕ, а точнее — энергию, необходимую для переброса электрона на ближай­ший свободный уровень в зоне проводимости.

Рис2.2 Рис 2.3

Ширина запрещенной зоны и степень заполнения зон электронами определяет основные электрические свойства твердых тел.

С точки зрения зонной структуры, к проводниковым ма­териалам относятся материалы, у которых целиком запол­ненная зона вплотную прилегает или даже перекрывается с частично заполненной зоной (рис. 2.3 ,а). Электроны зон в этом случае под воздействием внешнего электрического по­ля могут увеличивать свою энергию, переходя на вышеле­жащие свободные уровни. Это означает, что в материале, об­ладающем такой зонной структурой, даже при наличии слабого электрического поля возможно направленное перемеще­ние электронов, т. е. протекание электрического тока.

К другому классу относятся материалы, у которых при Т=0 К⁰ над полностью заполненными зонами располагаются пустые зоны (рис. 2.3,6). В полностью заполненной валент­ной зоне электроны лишены возможности изменять свое энер­гетическое состояние под действием приложенного электри­ческого поля, т. е. не способны участвовать в переносе элект­рических зарядов. Однако, если ΔЕ невелико, то при Т>0 К⁰ возможен переброс валентных электронов в свободную зону. В этой зоне электрон становится свободным носителем заря­да — электроном проводимости. С переходом электронов в зону проводимости о валентной зоне появляются вакантные места — дырки. Это значит, что и для валентных электронов в валентной зоне появляется возможность изменять свою энергию, т. е. также участвовать в переносе тока. Таким об­разом, в кристаллах с узкой запрещенной зоной существует два механизма проводимости — в результате движения сво­бодных электронов в зоне проводимости и вследствие дви­жения валентных электронов (дырок) в валентной зоне. Чис­ло возбужденных электронов будет увеличиваться с ростом температуры по закону, характерному для процессов, имею­щих энергию активации ΔЕ. Поэтому следует ожидать, что проводимость в этом случае будет быстро расти с темпера­турой. Кристаллы с узкой запрещенной зоной являются полупроводниками. Если же запрещенная зона достаточно широкая, то переход электронов в зону проводимости мало­вероятен. Такие твердые тела относят к диэлектрикам. Ус­ловно к диэлектрикам относят вещества, имеющие ΔЕ >3 кВ, а к полупроводникам — имеющие ΔЕ < 3 эВ. Материалы, об­ладающие величинами ΔЕ, значительно превышающими 3 эВ, могут вести себя как полупроводники, если они содержат определенную «активную» примесь и их электропроводность подчиняется тем же физическим закономерностям, что и классические полупроводники. Подробнее этот вопрос рас­смотрен в конце данного раздела.

Характеристики

Список файлов учебной работы