Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Закон сохранения энергии для электромагнитного поля

Я напишу уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

Теперь делаем следующее: уравнение 2) я скалярно умножу на , уравнение 4) я скалярно умножу на :

Теперь из второго уравнения вычтем первое:

Для однородного диэлектрика . Это были наводящие соображения, на самом деле, в общем случае , точно также . Тогда уравнение приобретает такой вид: или

.

Е сть теорема Гаусса, которая сводит интеграл по объёму от дивергенции к поверхностному интегралу¹⁾. Имеет место тождество , буква у меня S у меня уже занята, поэтому я пишу σ. Тогда выбираем в пространстве некоторый объём V, σ – ограничивающая его поверхность, и мы получаем такую вещь: . В пустоте тока нет, и мы получаем уравнение (9.1).

Напомню закон сохранения заряда: . Смысл какой? Если заряд убывает, то за счёт того, что он вытекает через поверхность, ограничивающую объём.

Теперь смотрим на формулу (9.1): скорость изменения w в объёме выражается через изменение вектора через эту поверхность. Структура одинаковая, вопрос, что такое w и что такое ? Что такое w, мы уже знаем: это плотность энергии электромагнитного поля, плотность энергии электромагнитного поля в единице объёма. Тогда интеграл – это полная энергия электромагнитного поля в объёме. это энергия, протекающая через единицу площади за единицу времени, а это плотность потока энергии (вектор Пойнтинга), по размерности [ ]=Вт, а [ ]= .

- это работа электромагнитного поля в единице объёма. Эта работа может проявляться в виде тепла или в виде работы, если там стоит мотор, например.

А теперь применение этой теоремы. Такая цепь (см. рис.9.2.), кружочком обозначен мотор. Ключ замыкается, мотор вертится, и я желаю применить эту теорему. Возьму замкнутую поверхность σ, тогда мы получим . Интеграл – это мощность электродвигателя или работа в единицу времени, . Мотор совершает работу за счёт энергии, которая втекает в объём. Это я к чему говорю? Мотор совершает работу за счёт того, что через замкнутую поверхность, которой его можно охватить, из вакуума течёт энергия поля, которая представляется вектором Пойнтинга. Это означает, что для того, чтобы электромотор работал. В окрестности должны присутствовать два поля, так как .

Энергия передаётся через пустое пространство и втекает внутрь этого объёма. Спрашивается тогда, чего же электрика валяют дурака и тянут провода от источника к потребителю? Ответ очевиден: провода нужны для того, чтобы создать такие поля и соответствующей конфигурации. Тогда вопрос другой, а нельзя ли создать такие поля, чтобы энергия передавалась через пустоту без проводников? Можно, но это в следующий раз. Так, всё, конец.

12

В прошлый раз мы рассмотрели вектор Пойтинга. Напомню, энергия электромагнитного поля передаётся через пустое пространство, не по проводам. В общем виде ситуация тут такая: имеется некоторая область, в эту область загоняется какая-то энергия (скажем, из этой области торчит вал с ручкой и тут человек этот вал крутит) и дальше эта энергия через пустое пространство втекает в другую область, там, например, находится некоторое устройство, которое перерабатывает втекающую сюда энергию и на выходе выдаёт снова какую-то работу (скажем, здесь стоит генератор или электромотор).

Электромагнитные волны

Я уже говорил, что Максвелл усовершенствовал уравнения (добавил туда ток смещения), и получилась, наконец, замкнутая теория, и венцом постижения этой теории было предсказание существования электромагнитных волн. Надо понимать, что никто этих волн до Максвелла не видел, никто даже не подозревал, что такие вещи могут быть. Но, как только были получены эти уравнения, из них математически следовало, что должны существовать электромагнитные волны, и лет через двадцать после того, как это предсказание было сделано, они стали наблюдаемы, и тогда был триумф теории.

Уравнения Максвелла допускает существование вещи, которая называется электромагнитной волной. Но в природе оказывается так – то, что возможно в рамках правильной теории, то и на самом деле существует.

Сейчас мы должны будем усмотреть вслед за Максвеллом, что должны быть эти волны, то есть совершить такое математическое открытие, чтобы, глядя на уравнения Максвелла, сказать: «А, ну, конечно, должны быть волны».

Уравнения Максвелла в пустоте

Чем замечательна пустота? В пустоте нет зарядов , . Уравнения приобретают вид:

Ну, и сразу бросается в глаза замечательная симметрия, симметрия нарушается только тем, что в уравнении 4) константа размерная и знак. Размерная константа – несущественно, это связано с системой единиц, можно выбрать такую систему единиц, где эта константа просто единицей будет. Это дифференциальные уравнения, но положение осложняется тем, что переменные перекрещиваются. Поставим для начала скромную задачу – написать уравнение, которое содержало бы только одну неизвестную величину, например.

Значит, первая наша цель – исключить из уравнения 2) . Как исключит? А очень просто: мы видим, что в четвёртом уравнении сидит переменная , если мы на это уравнение подействуем векторно оператором , то в правой части выскочит …

Второе уравнение даёт: . Добавляя четвёртое уравнение мы получаем: или¹⁾

.

Мы получили уравнение, которое утверждает, что вторая производная по времени от связана со вторыми производными от компонент по координатам, то есть изменение величины в данной точке со временем увязано с пространственным изменением этой величины.

Волновое уравнение и его решение

Вот чисто математическая проблема:

уравнение вида , где – функция координат и времени, и константы, называется волновым уравнением.

Не будем решать уравнение в частных производных, а я сейчас предъявлю одно важное частное решение, и будет доказано, что оно действительно является решением.

Утверждение. Функция вида удовлетворяет волновому уравнению (частное решение).

Частное решение, вообще-то, угадывается и проверяется методом тыка. Вот, мы сейчас подставим это решение в уравнение и проверим. Что уравнение утверждает? Что вторая производная по времени от этой функции совпадёт с пространственными производными.

Пишем: , .

Вот чем замечательна комплексная экспонента: можно было бы записать действительные синусы и косинусы, но дифференцировать экспоненты гораздо приятнее, чем синусы и косинусы.

Дальше: .

, значит, . Опять замечательная вещь: оператор действует на функцию , эта функция просто умножается на , тогда немедленно находим повторное действие оператора¹⁾: .

Подставим в исходное уравнение: , отсюда получаем .

Мораль такая: функция вида удовлетворяет нашему уравнению, но только при таком условии:

.

Это факт математический. Нам остаётся сообразить теперь, что эта функция изображает.

Если перейти в действительную область, то есть взять сужение этого множества функций на класс действительных функций, это будет решение такого типа: . Чтобы не мучиться с тремя переменными, можно это дело упростить: пусть , тогда . Заметим, что это никакое не ограничение общности, ось х мы всегда можем выбрать вдоль вектора . Мы получили функцию от двух переменных: . А теперь будем смотреть, что эта функция представляет.

Делаем мгновенную фотографию: фиксируем момент времени и смотрим пространственную конфигурацию.

П ериод синуса 2π, ясно, когда х меняется на λ – длину волны (пространственный период), то синус должен измениться на 2π, мы имеем такое соотношение: . Мы проинтерпретировали константу k – волновое число, а вектор – волновой вектор. Эта мгновенная фотография показывает, как функция зависит от пространства.

Теперь будем следить за временным изменением, то есть сидим в точке х и смотрим, что делается с функцией со временем. Фиксируем , тогда , значит, в фиксированной точке опять синусоидальная функция времени. Мы имеем, поскольку период синуса 2π, , то есть мы проинтерпретировали константу , называется частотой.

И остаётся, наконец, последнее: запустить обе переменные λ и t, что тогда эта функция будет изображать? Тоже легко понять.

Если , то , а означает в свою очередь, что . Для событий, для которых координата – линейная функция времени , функция всё время одна и та же. Это можно проинтерпретировать так: если мы будем бежать вдоль оси х со скоростью , то мы будем всё время видеть перед собой одно и тоже значение этой функции.

Функция, которую мы получили – это синусоидальная волна, бегущая вправо вдоль оси х.

Характеристики

Список файлов лекций