Шпора (976424), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

22. Внутренние силовые факторы в сечениях пластин. Рис.: куб почти, вид на 3 грани. сторона левой – dx, сторона правой – dy, высота – h. Средняя точка на переднем  ребре – у, на заднем (на просвет) х, на правом х₁ / у₁. На левой грани вверх Qy, на правой вниз Qx + (Qx/x)dx. На левой по часовой стрелке и в плоскости грани Мху, на правой против ч. с. Мух + (Мух/х)dx. На левой грани скручивает вверх момент Му, на правой также  момент Мх + (Мх / х)dx. На верхней грани распред. нагрузка Р(х, у) действует .Другие сил. фактора. Справа – содержат  / , слева – не содержат. Qx, Qy – попереч. силы, считаются  0, если вызыв. приращ. соотв. изгиб. мом-ов в положит. направл. Мх, Му – изгиб. моменты, инжекс – направл. оси. Мху, Мух – крутящ. мом-ты. индексы: 1 – по котор. действ., 2 – направл. нормали площ., по котор. действ.

23. Вывод ур-ия равновесия для элемента пластины. Для рис. (см. ) составим нетривиал. ур-ия равновесия статики (на рис. показ. все положит. направл. сил. факторов.). Q_xdy – (Q_x + (Q_x/x)dx)dy + Q_ydx – - (Q_y + (Q_y/y)dy)dx + pdxdy = 0. … – (Q_x/x)dxdy – (Q_y/dy)dxdy + pdxdy = 0, т. к. dx, dy  0. Итак: Q_x/x + Q_y/y = p(1). dQy/dz = q, mom_y-y1 = 0, M_xdy – (M_x + (M_x/x)dx)dy + M_xydy – (M_xy + (M_xy/y)dy)dx + Q_ydxdy = 0. … - (M_x/x)dxdy – (M_xy/y)dydx + Q_xdxdy = 0. => M_x/x + M_xy/y = Qx (2). M_y/y + M_yx/x = Qy (3). Остальн. ур-ия обращ. в тождества. Необх. опред. 6 неизвестных: Q_x, Q_y, M_x, M_y, M_xy, M_yx.

24. Связь между компонентами деформации и нормальным прогибом. В окрестности некотор. точки А ваделим некотор. эл-т АВСD. Рассмотрим деформации и перемещения некотор. слоя, паралл. серединной плоск-ти, и отстоящей от нее на расст. z. Рис. система ХОУ, положение без нагрузки квадратного элемента АВСD отн. точки А х по х и у по у, размеры dx, dy. Угол между сторонами АВ и АD изначально /2. После деформации точка А переместилась по х на u, по у на v, квадрат стал ромбом, сторона AD отклонилась на угол ₁ , сторона АВ на угол ₂ . Точка D сместилась по х на u + (u/x)dx, по у на v + (v/x)dx. Тока В по х сместилась на u + (u/y)dy, по у на v + (v/y)dy. Угол между АВ и АD стал /2 - _ху. Q_x – u(x, y, z); Q_y – v(x, y, z); Q_z – w(x, y, z) – перемещ.  = l / l => _x = ((u + (u/x)dx) – u) / dx = u/x; _y = ((v + (v/y)dy) – v) / dy = u/y; _xy = ₁ + ₂  tg₁ + tg₂ = u/y + v/dx. Итак, _x = u/x; _y = u/y; _xy = u/y + v/dx. Угол _xy считается положит. при уменьшении прямого угла. Используя Кирхгоффа – Лява выразим u и v через прогиб w: Рис: сечение пластины, вид сбоку, 2-у мерный рис. Было: точка А на расстоянии z от сред. лин. После деформ. стало: каотинка ушла  и . Средняя линия сместил. на w и поверн. на угол _x = w/x. На этот же угол поверн. и нормаль серед. пов-ти, на котор. сидит точка А. Точка А сместилась на u . Деформац. малы, так, что u = - z_x = - z(w/x). Аналог. по ои у получим v = - z(w/y). Использ. (4) получим: _х = u/x = (/x)( - z(w/x)) = - z ((²w/x²) = æ_x – кривизна ). _y = v/y = (/y)( - z(w/y)) = - z ((²w/y²) = æ_y – кривизна ). _ху = u/y + v/dx = (/y)(- z(w/x)) + + (/x)( - z(w/y)) = - 2z((²w/xy) = æ_xy – интенсивность кривизны в направлении х, у). Итак, получены след. соотн.: _х = - z(²w/x²); _y = - z(²w/y²); _ху = - 2z((²w/xy) (5), ²w/x² = æ_x; ²w/y² = æ_y; ²w/xy = æ_xy. Соотн. (5) и есть недостающ. соотн. для опред. внутр. сил. факторов.

25. Выражение внутренних силовых факторов через нормальный прогиб. Исп. обобщ. закон Гука: _х = (E/(1 - ²))(_x + _y) = - (Ez / (1 - ²))[(²w/x²) + (²w/y²)]; _y = (E/(1 - ²))(_y + _x) = = - (Ez / (1 - ²))[(²w/y²) + (²w/x²)]; _xy = Gxy = E_xy/2(1+) = - (Ez / (1 + ))(²w/xy) = (Ez / (1 + ))æ_xy. Запишем интегральные представл. для внутр. сил. факторов: M_x = - ∫_-h/2^h/2_xzdz = (Ez / (1 - ²))[(²w/x²) + + (²w/y²)] _-h/2^h/2z²dz = - (Eh³/12(1-²))[(²w/x²)+(²w/y²)]; M_y = … - (Eh³/12(1-²))[(²w/y²)+(²w/x²)]; Обозначим D = Eh³/12(1 - ²) – цилиндрич. жесткость. М_ху = - ∫-h/2h/2xyzdz = Eh³/12(1 - ²)(²w/xy). Итак, имеем: M_x = D [ ( ²w / x² ) +  ( ²w / y² ) ] = D (æ_x +  æ_y); M_y = D ( æ_y +  æ_x ). М_ху = D(1 - )(²w/xy) = D(1 - )æ_xy = М_ух, т. к. _ху = _ух.

26. Дифференциальное ур-е равновесия. Q_x/x + Q_y/y = р. M_x/x + M_xy/y = Q_x. M_y/y + M_yx/x = Q_y … (/x)[M_x/x + M_xy/y] + (/y)[M_y/y + M_yx/x] = p; (/x)[²w/x² + ²w/y²] + (/y)[D(1 - - )²w/xy] = D{³w/x³ + (³w/xy²) + (1 - )(³w/xy²)} = … = D(/x)[²w/x² + ²w/y²] = D(/x)w),  - оператор Лапласа. Итак: Q_x = D(/x)w), Q_y = D(/y)w). Одно из основн. св-в оператора Лапласса заключ. в том, что он инвариантен относительно ортогонального преобразования переменных. (/x)[D(/x)w)] + (/y)[D(/y)w)] = D{(²/x²)(w) + (²/y²)(w)} = Dw = p. Итак: Dw = p – ур-е Софи-Жермен-Логранжа. w = p/D или ⁴w/x⁴ + 2(⁴w/x²y²) + ⁴w/y⁴ = p/D. p – интенсивность внешней поперечной нагрузки на единицу площади пластины.

27. Типичные краевые условия.

28. Нормальные и касательные напряжения. Касат. напряж: t_yx = t_xy = - (Ez/(1 + m))(¶²w/¶x¶y) = - (Ez/(1 + + m))(M_xy/(1 - m))(12(1 - m²)/Eh³) = - 12M_xyz/h³. t_yx = t_xy = - 12M_xyz/h³. Нормальн. и касат. напряж. достиг. макс. значений при z = ± h/2. Итак, ^max_mins_x = s_x½_{z = ± h/2} = ± 6M_x / h². ^max_mins_y = s_y½_{z = ± h/2} = ± 6M_y / h². ^max_mint_xy = t_yx½_{z = ± h/2} = ± 6M_xy / h².

29. Осесимметричный изгиб круговых (кольцевых) пластин. DDw = p/D. Такая форма записи ур-ия изгиба пластин не зависит от выбора СК. Для круговых (кольцевых) в плане пластин удобнее использовать ПСК. O, X, Y, Z ® r, q. x = rcosq, y = rsinq, r² = x² + y², q = arctg(y/x). Оператор Лапласа в ПСК имеет вид: D = ¶²/¶r²+(1/r)(¶/¶r)+(1/r²)(¶²/¶q²). (¶²/¶r²+(1/r)(¶/¶r)+(1/r²)(¶²/¶q²))(¶²w/¶r²+(1/r)(¶w/¶r)+(1/r²)(¶²w/¶q²)) = p/D. Осимметрич. изгиб пластин имеет место в том случае, когда внеш. нагрузка симметрич. отн. оси ОZ p(r, q) = p(r). Краевые условия симметричны. Тогда ¶/¶q = 0 и D = d²/dr² + (1/r)(d/dr). w = w(r), (d²/dr² + (1/r)(d/dr))(d²w/dr² + (1/r)(dw/dr) = p/D, => d⁴w/dr⁴ + (2/r)(d³w/dr³) – (1/r²)(d²w/dr²) + (1/r³)(dw/dr) = p/D.

30. Внутренние силовые факторы. Надо определить Q_r - ?, M_r - ?, M_q - ? Рис.: сектор углом dq, на косых сторонах сила Q_r, и по ним же момент M_r, изгибающий вверх, по другим сторонам М_q. В ПСК (r, q) æ_r = d²w/dr₂; æ_q = (1/r)(dw/dr); æ_rq = 0 (æ_r – кривизна, æ_rq – интенсивность кривизны в направлении r, q). В ДСК М_х = D(æ_x + mæ_y), в ПСК M_r = D(æ_r + m_æq). Тогда: М_r = D(d²w/dr² + (m/r)(dw/dr)); M_q = D((1/r)(dw/dr) + + m(d²w/dr²)); Q_r = D(d/dr)(Dw) = … Q_q = 0, M_rq = 0.

31. Решение ур-ия осесимметричного изгиба круговых (кольцевых) пластин. DDw = p/D (*). w = w(r). w(r) = w_o(r)_общ + w_ч(r)_частн. w_o(r) = C₁ + C₂r² + C₃lnr + C₄r²lnr. Если р = const, то w_ч(r) = pr⁴/64D. D = Eh³/12(1 - m²). Итак, w(r) = C₁ + C₂r² + C₃lnr + C₄r²lnr + pr⁴/64D (если р = const).

32. Типичные краевые условия. 1. Жесткое защемление: при r = R, w = 0, dw/dr = 0. 2. шарнирное операние. w = 0, Mr = 0 при r = R. 3. Загруж. край пластинки. Опора при r = Ro. При r = R: M_r = m, Q_r = q. 4. Свободный край: При r = R: M_r = 0, Q_r = 0. Итак, получаем 2 условия, а нужно опред. 4 конст. Возможны 2 случая: а). Кольцевая пластина 2 условия с одной стороны и 2 с другой. б). Сплошная пластина, тогда С₃ и С₄ = 0.

33. Безмоментная теория тонкостенных оболочек вращения. Предпосылки. d - толщина стенки оболочки. d/R ~ 1/50 … 1/100. Рассматривают меридиональные и окружные сечения. Окружные проводят конической пов-тью. s_q - окружн. напряж. s_m – меридианальн. напряж. r_q, r_m – радиуса кривизны. s_q, s_m – главн. напряж., т. к. действ. по главн. площадкам.

34. Вывод ур-ия равновесия (ур-ия Лапласса). n® - нормаль к пов-ти. Изнутри оболочки – давление р. Размеры элемента dS_m, dS_q. da_m, da_q – уголы на элемент. Sn^® = 0: 2s_mddS_qsin(da_m/2) + 2s_qddS_msin(da_q/2) - pdS_mdS_q = 0. Углы малы. d(s_m(da_m/dS_m) + s_q(da_q/dS_q) – p = 0. da_m/dS_m = 1/r_m; da_q/dS_q = 1/r_q => s_mr_m + s_qr_q = p/d - ур-е Лапласса.

35. Определение меридиональных напряжений. Определяют, из ур-ий статики для отсеченной части оболочки в зависимости от содержания задачи.

36. Вычисление равнодействующей внешних сил для разлчных случаев нагружения оболочки.

37. Особенности применения критериев прочности к расчету тонкостенных оболочек вращения.

38. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки. Гипотезы: 1. Материальный элемент, норм. к серединн. пов-ти оболочки остается нормальным к ней и после деформ. 2. Нормальные напряж. на площадках, ½½ серединной пов-ти, пренебрежимо малы. 3. Изменение длины нормального к серед. пов-ти эл-та пренебрежимо мало. 4. Нагрузка нормальна к пов-ти, и может меняться только вдоль оси.

39. Ур-ия равновесия для элемента оболочки. Рис.: элемент оболочки длиной dx, угол на нее dq, радиус R, оси: х – вдоль оболочки, у – кольцевая ось, направл. по часовой стрелке. На прямых гранях напряжения Ny и момент My, на кривой гране слева Q_x ­, справа Q_x + dQ_x ¯. На кривой гране слева рястяг. сила N_x, N_x + dN_x. На кривой гране слева момент М_х, на правой – М_х + dМ_х. Точка К – на заднем ребре на серединн. плоск., К1 – на правом ребре. N_x – продольное усилие, N_y – окружное усилие. Q – поперечная сила. Составим ур-ия статики. Sх = 0: - N_xdy + (N_x + dN_x)dy = 0. p = p(x). dN_x = 0. N_x = const. Q_xdy – (Q_x + dQ_x)dy – 2N_ydxsin(dQ/2) + + pdxdy + l = 0 (?). dQ_xdx – N_ydx(dy/R) + pdxdy = 0. dxdy ¹ 0. => - dQ/dx – N_y/R + p = 0. dQ/dx = p – N_x/R. Smom_K-K1 = 0: M_xdy – (M_x + dM_x)dy + Qdydx –(2N_ysin(dq/2)dx(dy/2)+pdxdy(dx/2) –очень малые, не рассм.) = 0. – dMxdy + Qdxdy = 0. dMx/dx = Q. Неизвестные: Nx, Ny, Q, Mx, My. 5 неизвестн. 3 уравн.

40. Связь между компонентами деформаций и нормальным прогибом. Рис.: вид сбоку на элемент оболочки. Ось снизу. длина его dx. под действием нагрузки от поднялся на w и повернулся на j. оболочка изогнулась, и угол на элемент стал dj (свеху). Нас интерес. w – нормальный прогиб серед. пов-ти. j = dw/dx. dj = (d/dx)(dw/dx)dx = (d²w/dx²)dx. Рис.: элемент длиной dx, с ¬-ой стороны жестко закреплен, средняя линия О-О, от нее на высоте z точка на краю элемента справа. После деформации ®­ точка переместилась на e_xdx, в то время как точка на средней линии переместилась на e_оdx. Разница = -zdj. Правая грань поверн. на угол dj. Деформации малы. e_xdx = e_odx - zdj = e_odx – z(d²w/dx²)dx. e_x = e_o – z(d²w/dx²). Рассмотрим деформ. в окружном направл. Оболочка расширяется на прогиб w. Элемент dy, угол на него dj. e_q = ((R + w)dq - - Rdq)/Rdq = w/R. e_o = w/R.

41. Выражение внутренних силовых факторов через нормальный прогиб. Напряж. состояние – плоское. _x = (E/(1 - ²))(_x + _y) = (E/(1 - ²))[_o – z(d²w/dx²) + (w/R)]. _y = (E/(1 - ²))(_y + _x) = (E/(1 - ²))[w/R – - z(d²w/dx²) + _o]. Рассмотрим напряж., действ. по граням эл-та: возьмем тонкий слой dz на расстоянии z от сред. линии, в нем _х, _у, создает силу N_x, N_y. Есть и мом. М_х, М_у. N_x = ∫_-h/2^h/2_xdz = (Eh/(1 - ²))[_o + w/R]. Итак: N_x = (Eh/(1 - ²))[_o + w/R]. N_y = (Eh/(1 - ²))[w/R + _o]. М_х = - ∫_-h/2^h/2_xzdz = D(d2w/dx2). М_y = - ∫_-h/2^h/2_yzdz = D(d2w/dx2). Итак, М_х = D(d2w/dx2). М_y = D(d2w/dx2).

42. Дифф. ур-ние равновесия в перемещениях и его интегрирование. Используя ур-ия статики: dQ/dx = p – N_y/R; Q = dM_x/dx; dQ/dx = (d/dx)(dM_x/dx) = D(d⁴w/dx⁴; D(d⁴w/dx⁴) = p – N_y/R = p - N_x/R – (Eh/R²)w. В прав. часть вход. _о – отн. лин. деформ. серединн. пов-ти. Исключ. ее след. образом: N_x – N_y = (Eh/(1 - ²))(w/R)(² – 1); т. к. N_x – const, то N_y = N_x + EHw/R. Итак: D(d⁴w/dx⁴) + (Ehw/R²) = p - (N_x/R). При R   получ. D(d⁴w/dx⁴) = p. Решение ищем в виде w(r) = w_o(r) + w_ч(r). Общее реш. однор. ур-ия. D(d⁴w/dx⁴) + (Ehw/R²) = 0 выглядит так: w_o(x) = C₁e^-kxcoskx + C₂e-^kxsinkx + C₃e^kxcoskx + C₄e^kxsinkx. Частное реш. ищем в виде полинома той-же степени, т. е. не старше 3-ей. Тогда d⁴w_ч/dx⁴ = 0 и Ehw_ч/R² = p - (N_x/R) => w_ч(х) = pR²/Eh - N_xR/Eh.

43.Физический смысл частного решения. Nx – погонное усилие. m = Nx/h. Расчет оболочек по безмом. теории ведут по ур-м Лапласа: _m/_m + _/_ = p/h. Для цилиндрич. оболочки _m  , _ = R; _ = pR/h. Вычисл. отн. деформ. оболоч. в окруж. направл. _ = (1 / E)(_ - _m) = pR/Eh - N_xR/Eh. Найдем радиальную деформ. оболочки: w_безм = _R = pR²/Eh - N_xR/Eh. Т. о. частн. реш. неод. ур-ия осесим. деформ. круг. цилиндр. оболоч. имеет смысл нормального прогиба оболочки, найд. по безмом. теории.

44. Типичные краевые условия. 1. Жесткое защемление: w = 0; dw/dx = 0. 2. Шарнирное операние: w = 0; d²w/dx² = 0. 3. Край нагружен моментом m и силой q. d³w/dx³ = q/D; d²w/dx² = - m / D. 4. Свободный край: d³w/dx³ = 0; d²w/dx² = 0. Вывод: на каждом краю можно поставить 2 условия. Получим 4 условия для 4 const.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)