Билеты (версия для шпор) (975599), страница 5

17. Различные множества точек и последовательности точек п‒мерного пространства. Теорема Больцано‒Вейерштрасса.

Мн‒во всех упорядочен­ных совокупностей ( х₁, ..., х_т ) т чисел х₁, ..., х_т называется т‒мерным координатным пространством А^т .

Координатное пр‒во А^т называется т‒мерным евкли­довым

пр‒вом Е^т, если между 2-мя точками М' (х₁', .... х'_т) и

М" (х₁", ..., х_т") пр‒ва А^т определено расстояние :

1°. {М}: ρ(М, М₀) ≤ R² ‒ т‒мерный шар радиуса R с центром в М₀. Если ρ(М, М₀) < R², то {М} ‒ открытый т‒мерный шар.

2°. {М}: ρ(М, М₀) = R² ‒ т‒мерная сфера радиуса R с центром в точке М₀.

3°. Мн‒во {М}: |х₁ — x₁⁰| ≤ d₁ ,…, |х_m — x_m⁰| ≤ d_m ‒

т‒мерный координатный паралле­лепипед. М₀ (x₁⁰, ..., x_m⁰ ) ‒ его центр. Если неравенства строгие, то {М} ‒ открытый парал-пед.

ε‒окрестность точки М₀ т‒мер­ного евклидова пр‒ва Е^т ‒ открытый т‒мерный шар ра­диуса ε с центром в М₀. Прямоугольная окрест­ность М₀ ‒ открытый т‒мерный координатный параллелепипед с центром в М₀.

У. ε‒окрестность М₀ евклидова т‒мерного пр‒ва Е^т содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки. прямоуго-льная окрестность М₀ содержит некоторую ε‒окрестность М₀.

М ‒ внутренняя точка {М}, если Ǝ некоторая ε‒окрестность М, все точки которой {М}. Точка М ‒ граничная точка {М}, если

ε‒окрестность M содержит точки, {М} и {М}. Мн‒во {М} пр‒ва Е^т называется открытым множеством или областью, если точка этого мн‒ва внутренняя. Если граничная точка {М} является точ­кой этого мн‒ва, то {М} ‒ замкну­тое. Если {М} ‒ область, то { }, полученное присоединением к {М} всех его граничных точек, ‒ замкнутая область. Если все точки области {М} находятся внутри неко­торого шара, то {М} ‒ограниченная.

Непрерывной кривой L в пр‒ве Е ^т называется мн‒во {М} точек пр‒ва, координаты х₁, ..., х_т которых являются непрерывными функциями параметра t : x₁ = φ₁(t), …, x_m = φ_m(t), α ≤ t ≤ β (2)

Точки М' (х₁', .... х'_т) и М" (х₁", …, х_т") пр‒ва Е^т можно соединить непрерывной кривой L, если Ǝ такая непрерывная кривая L, определяемая (2) и

x₁' = φ₁(α), …, x_m' = φ_m(α) x₁'' = φ₁(β), …, x_m'' = φ_m(β)

Мн‒во {М} пр‒ва Е^т называется связным, если 2 его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой {М}. Окрестностью М называется открытое связное множество, содержащее М.

Последовательность {М_n } точек Е ^т называется сходящейся, если Ǝ такая точка А, что для ε >0 Ǝ N=N(ε) : при п ≥ N выполняется ρ (М_п , А) < ε. А ‒ предел последовательности {М_n }.

Л1. Пусть послед‒сть {М_п} точек Е^т : {М_п} → А. Тогда послед‒сти координат точек М_п : { х₁⁽ⁿ⁾}→ а₁, …, { х_m⁽ⁿ⁾}→ а_т , где а₁, …, а_т ‒ координаты А, и наоборот, если послед‒сти координат точек М_п : { х₁⁽ⁿ⁾}→ а₁, …, { х_m⁽ⁿ⁾}→ а_т , то послед‒сть {М_п} → А с координатами а₁, ..., а_т .

Док‒во. 1. Если {М_п} →А, то для ε > 0 Ǝ N : при п ≥ N выполняется ρ (М_п , А) < ε. Пусть ( х₁⁽ⁿ⁾, …, х_m⁽ⁿ⁾) ‒ координаты М_n, а (а₁, ..., а_т) ‒ координаты А => ρ (М_п , А) < ε можно записать:

2.Пусть { х₁⁽ⁿ⁾}→ а₁, …, { х_m⁽ⁿ⁾}→ а_т => для ε > 0 Ǝ N₁, …, N_т : при п₁ ≥ N₁ , …, п_m ≥ N_m выполняются

=> при п ≥ N = max { N₁, …, N_т } выполня­ется (3) => при п ≥ N выполняется ρ (М_п , А) < ε, где А ‒ точка Е ^т с координатами а₁, ..., а_т => {М_п} → А •

Послед‒сть {М_п} точек Е ^т называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для ε > 0 Ǝ N : при п ≥ N и для выполняется ρ (М_n+р, М_n) < ε.

Критерий Коши. Чтобы послед‒сть {М_п} точек Е ^т была сходящейся, необходимо и доста­точно, чтобы она была фундаментальной.

Из фундаментальности {М_n} <=> { х₁⁽ⁿ⁾}, …, { х_m⁽ⁿ⁾} также фундаментальны. Затем применить критерий Коши для число­вых послед‒стей к послед‒стям координат то­чек {М_n} и лемму 1.

Послед‒сть {М_n} точек Е ^т называется ограниченной, если

Ǝ а > 0: для п выполняется ρ (О, М_n ) ≤ а, где О ‒ точка с координатами (0, …,0).

Т Больцано‒Вейерштрасса. Из ограниченной послед‒сти {М_n} точек Е ^т можно выделить сходящуюся подпоследо­вательность

Док‒во. {М_n} ограничена => для п выполняется ρ (О, М_n ) ≤ а.

=> { х₁⁽ⁿ⁾}, …, { х_m⁽ⁿ⁾} координат точек М_п ограничены. По теореме Больцано ‒ Вейерштрасса для числовых послед‒стей из можно выде­лить → а₁. Из соответствующей подпосл‒сти по­след‒сти 2‒х координат точек М_n можно выделить подпосл‒сть → а₂. При этом подпосл‒сть последовательности схо­дится к числу а₁ => . Про­должая, получим подпосл‒сть послед‒сти m‒х координат точек М_n , причем

=> по Л1, подпосл‒сть → А (а₁, ..., а_т) •

З. Если {М_п} {М}, где {М} ‒ замкнутое мн‒во, и {М_п} → A, то

A {М}, т.к. в ε‒окрестности точки А есть точки М_n {М} => точка А ‒ либо внутренняя, либо гра­ничная точка {М} => A {М}.

18. Понятие функции п переменных и ее предельного значения.

Мн‒во всевозможных упорядочен­ных совокупностей ( х₁, ..., х_т ) т чисел х₁, ..., х_т называется т‒мерным координатным пр‒вом А^т .

Координатное пр‒во А^т называется т‒мерным евкли­довым пр‒вом Е^т, если между двумя точками М' (х₁', .... х'_т) и

М" (х₁", ..., х_т") координатного пр‒ва А^т определено расстояние :

Если каждой точке М из {М} точек Е^т ставится в соответствие по известному закону некоторое число и, то говорят, что на мн‒ве {М} за­дана функция и = и (М) или и = f (М). {М} ‒ область задания функции и = f (М). Число и, соответствующее данной М из {М} ‒ частное значение функции в М. Совокуп­ность {и} всех частных значений и = f (М) ‒ множество значений этой функции.

О1. Число b называется предельным зна­чением функции и = f (М) в точке А ( пределом функции при М → A), если для сходящейся к А последо­вательности М₁, М₂, ..., M_n ... точек мн‒ва {М}, элементы М_п которой отличны от А (М_n ≠ A), соответствующая послед‒сть f (М₁ ), ..., f (М_п), ... значений функции схо­дится к b.

О2. Число b называется предельным значением функции и = f (М) в точке А, если для ε > 0 Ǝ δ: для всех точек М из области задания функции, удовлетворяющих условию 0 < ρ (М, А) < δ, выполняется | f (М) ‒ b | < ε.

З. О1 и O2 эквивалентны.

Док‒во. 1. Пусть b ‒ предел по О1, но не предел по О2 => Ǝ ε > 0 : для сколь угодно малого δ Ǝ М из области задания f (М) :

0 < ρ (М, А) < δ, но | f (М) ‒ b | ≥ ε => для δ_n =1/n

Ǝ М_п : 0 < ρ (М_n, А) < δ, но | f (М_n) ‒ b| ≥ ε.

Из 0 < ρ (М_n, А) < δ => {М_n}→A => по О1 { f (М_n )}→b => противоречит | f (М_n) ‒ b | ≥ ε

2. Пусть b ‒ предел по О2 и {М_n}→A. Фиксируем ε > 0, по О2

Ǝ δ > 0: М из области задания f (М) : 0 < ρ (М, А) < δ выполня-ется | f (М) ‒ b | < ε. Т.к. {М_n}→A, то для этого δ найдется N:

0 < ρ (М_n , А) < δ при n ≥ N => | f (М_n ) ‒ b | < ε при n ≥ N => { f (М_n ) }→b.

О3. Число b называется предельным зна­чением функции и=f (М) при М → , если для ε > 0 Ǝ а > 0: для всех М из области задания функции, удовлетворяющих условию ρ (O, М ) > а, выполняется неравенство | f (М) ‒ b | < ε.

У. Пусть функции f (М) и g (М) имеют в А пределы b и с. Тогда функции f (М) + g (М), f (М) ‒ g (М), f (М) · g (М),

f (М) / g (М) имеют в А пределы (частное при с ≠ 0), равные соответственно b + с, b ‒ с, b·с, b/c.

Для док‒ва взять {М_n}→A, по условию { f (М_n ) }→b,

g(М_n ) }→c => по св‒вам сходящихся послед‒стей:

{ f (М_n ) ± g(М_n ) }→b ± c, { f (М_n ) · g(М_n ) }→b · c,

{ f (М_n ) / g(М_n ) }→b / c. В силу произвольности {М_n}: и др. утверждения.

Функция и = f (М) называется бесконечно малой в точке А (при М→A), если

Функция f (М) = (х₁ ‒ а₁)ⁿ¹ +… + (х_т ‒ а_т)^nm, где п1>0, ..., пm>0, является бесконечно малой в A (а₁, ..., а_т), т.к. каждая f (x_k) = (х_k ‒ а_k)^nk является бесконечно малой в х_k = а_k .

Если и = f (М) имеет предельное значение b в точке А, то функция α(М) = f (М) ‒ b является бесконечно малой в точке А, т.к.

Специальное представление для функции, имеющей равное b пре­дельное значение в точке A:

Функция f (М) удовлетворяет в точке М = А условию Коши, если для ε > 0 Ǝ δ : для М' и М" из области задания функции f (М ), удовлетворяющих 0 < ρ (М', А) < δ, 0 < ρ (М'', А) < δ, для соответствующих зна­чений функций:| f (М' ) ‒ f (М'' ) | < ε

Т(критерий Коши). Чтобы функ­ция f (М) имела конечное предельное значение в точке М = А, необ­ходимо и достаточно, чтобы функция f (М) удовлетворяла в этой точке условию Коши.

Док‒во. Необх‒сть. Пусть . Возьмем ε > 0, по О2 для ε / 2 Ǝ δ > 0 : для М' и М" из области задания f (М ):

0 < ρ (М', А) < δ, 0 < ρ (М'', А) < δ для соответ-щих зна­чений функций: | f (М' ) ‒ b | < ε / 2, | f (М'') ‒ b | < ε / 2 =>| f (М' ) ‒ f (М'' ) |= | [f (М' ) ‒ b] ‒ [ f (М'') ‒ b] | ≤

≤ | f (М' ) ‒ b |+| f (М'') ‒ b |< ε => f (М) удовлетворяет в точке М = А условию Коши.

Дост‒сть. Пусть f (М) удовлетворяет в точке М = А условию Коши и {М_n} ‒ последовательность: {М_n}→A , М_n ≠ A. Возьмем ε > 0 и соответствующее δ > 0, чтобы выполнялось условие Коши, для этого δ выберем номер N : 0 < ρ (М_n, А) < δ при n ≥ N (это можно сделать, т.к. {М_n}→A) => для р (=1, 2, …)

0 < ρ (М_n+р, А) < δ при n ≥ N => в силу условия Коши

| f (М_n+р ) ‒ f (М_n ) | < ε при n ≥ N => фундаментальность послед‒сти { f (М_n ) } => сходимость { f (М_n ) } к некоторому b.

Возьмем {М_n}→A, {М_n'}→A , пусть { f (М_n ) }→ b,

{ f (М_n' ) }→ b'. Тогда посл‒сть М₁, М₁', ..., M_n, M_n' сходится к А => f (М₁), f (М₁'), ..., f (М_n), f (М_n' ) сходится, а т.к. все ее подпоследовательности сходятся к одному и тому же пределу, то

b = b'.

19. Непрерывность функции п переменных. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Пусть А области задания и = f (М) нескольких переменных и

ε‒окрестность А содержит ≠ А точки области задания f (М).

О1. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной в А, если предел этой функции в точке А Ǝ и равен f (A).

О2. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной в А, если для ε > 0

Ǝ δ > 0: для всех М из области задания функции: ρ (М, А) < δ, выполняется | f (М) ‒ f (A) | < ε.

О3. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной на мн‒ве {М}, если она непрерывна в точке {М}.

Пусть для М (х₁, ..., х_т) из области задания ф-ции и А(а₁, ..., а_m) : x₁ ‒ a₁ = Δx₁, …, x_m ‒ a_m = Δx_m . Полное приращение и = f (М) в А:

Δu = f (М) ‒ f (A) = f (a₁ + Δx₁, … , a_m + Δx_m) ‒ f (a₁, … , a_m)

Для непрерывности и = f (М) в А необхо­димо и достаточно, чтобы ее приращение Δu являлось бесконечно малой в А функцией:

Это разностная форма условия непре­рывности и = f (М) в А .

Зафиксируем все x_i , кроме k‒го, x_k придадим приращение Δх_k, чтобы (x₁, …, x_k‒1, x_k + Δx_k, x_k+1… , x_m) области задания f (М). Частное приращение в М (х₁, …, х_т), соответствующее Δх_k :

Δ_xk u = f (x₁,…, x_k‒1, x_k + Δx_k, x_k+1… , x_m) ‒ f (x₁, x₂… , x_m)

Ф‒я и = f (х₁, ..., х_т ) называется непрерывной в М (х₁, …, х_т) по переменной х_k , если частное приращение Δ_xk u этой ф‒и в точке М является бесконечно малой функцией от Δх_k :

Из непрерывности и = f (х₁, ..., х_т ) в М => ее непрерывность в М по переменной х₁, ..., х_т. Наоборот нет.

1°. У1.Пусть f (М) и g (М) непрерывны в А. Тогда f (М) + g (М),

f (М) ‒ g (М), f (М) · g (М), f (М) / g (М) непрерывны в А (частное при g (A) ≠ 0).

Док‒во. f (М) и g (М) непрерывны в А => по О1 они имеют в А пределы f (А) и g (А) => предельные значения f (М) + g (М),

f (М) ‒ g (М), f (М) · g (М), f (М) / g (М) существуют и равны соответственно f (А) + g (А), f (А) ‒ g (А), f (А) · g (А), f (А) / g (А) => по О1 они непрерывны в А.

2°. Пусть ф-ции x₁ = φ₁(t₁, …, t_k), …, x_m = φ₁(t₁, …, t_k) (1)

заданы на мн‒ве {N} евклидова пр‒ва Е^k , t₁, …, t_k ‒ координаты точек в Е^k => N (t₁, …, t_k) из {N} ставится в соответствие с по­мощью (1) точка М (х₁, ..., х_т) евклидова пр‒ва Е^т. Пусть {М} -

мн‒во всех этих точек, и = f (х₁, ..., х_т) ‒ функция m переменных, заданная на {М} => на мн‒ве {N} пр‒ва Е^k определена сложная функция и = f (х₁, ..., х_т), где х₁, ..., х_т ‒ функ­ции определяются формулами (1).

У2. Пусть ф‒и x₁ = φ₁(t₁, …, t_k), …, x_m = φ₁(t₁, …, t_k) непрерывны в А (а₁, ..., а_k), а ф‒я и = f (х₁, ..., х_т) непрерывна в В (х₁, ..., х_т), где b_i = φ_i (а₁, ..., а_k), i = 1, ..., т. Тогда сложная ф‒я и = f (х₁, ..., х_т), где х₁, ..., х_т ‒ опреде­ленные выше ф‒и аргументов t₁, …, t_k , непрерывна в А(а₁, ..., а_k).

Док‒во. Пусть {N_n}, N_n ≠ A ‒ сходящаяся к А посл‒сть точек из области {N} задания функций φ_i (t₁, …, t_k), а {М_n } ‒ соответ-щая послед‒сть точек: х_i^{(n) =} φ_i (t₁⁽ⁿ⁾, …, t_k⁽ⁿ⁾). Ф‒и φ_i непрерывны в A => {М_п} → В (b₁ ..., b_т). Ф‒я и = f (х₁, ..., х_т) непрерывна в В => {f (М_n )} → f (B). Но {f (М_n )} ‒ это после­д‒сть значений слож-ной функции, отвечающая сходящейся к А последовательности {N_п} точек области ее задания => непрерывность сложной ф-ции.

3°. Т1. Если и = f (М) непрерывна в А ∈ Е ^т и f (А) ≠ 0, то Ǝ такая ε‒окрестность точки А, в пределах которой во всех точках области своего задания f (М) не обращается в 0 и имеет знак, совпадаю­щий со знаком f (А) .

Док‒во. и = f (М) непрерывна в А => по О1 Ǝ , где b = f (A) ≠ 0 и по О2 для ε > 0 Ǝ δ > 0, что для всех М из области задания ф‒и : ρ (М, А) < δ, выполняется | f (М) ‒ f (A) | < ε =>

b ‒ ε < f (М) < b + ε при ρ (М, А) < δ. Если взять ε < |b|, то b ‒ ε,

b + ε и b будут одного знака => всюду в ε‒окрестности f (М) сохраняет знак числа b = f (A).

4°. Т2. Пусть и = f (М) непрерывна во всех точках связного мн‒ва {М} евклидова пр‒ва Е^т, причем f (А) и f (В) ‒ значения этой функции в точках А и В этого мн‒ва. Пусть С ‒ число между

f (А) и f (В). Тогда на непрерывной кривой L, соединяющей А и В и целиком расположенной в {М}, Ǝ N : f (N) = С.

Док‒во. Пусть x₁ = φ₁(t), …, x_m = φ_m(t), α ≤ t ≤ β ‒ уравнения непрерывной кривой L, соединяющей А и В {М} и целиком расположенной в {М}. На [α, β] определена сложная ф‒я и = f (х₁, ..., х_т), где x_i = φ_i(t), i = 1, …, m, α ≤ t ≤ β, ее значения на

[α, β] совпадают со значениями и = f (М) на кривой L. Эта слож-ная ф‒я 1 пере­менной t по У2 непрерывна на [α, β] и по теореме о прохождении непрерывной функции от 1 переменной через про-межуточное зна­чение в некоторой точке ξ [α, β] принимает зна-чение С => в N L с координатами φ₁ (ξ), ..., φ_m (ξ): f (N) = С.

5°. Т3 (1‒я Вейерштрасса). Если и = f (М) непрерывна на замкну-том ограниченном мн‒ве {М}, то она ограничена на этом мн‒ве.

Док‒во. Пусть и = f (М) не ограничена сверху на {М}. Выделим послед‒сть {М_n} точек мн‒ва {М} : f (М_n ) > п. По Т Больцано ‒ Вейерштрасса из {М_n } можно выделить сходящуюся подпослед‒сть { М_kn } → М, M {М}. Послед‒сть { f (М_kn) } бес­конечно большая. Но из непрерывности f (М) в М = > { f (М_kn) } должна сходиться к f (М). Противоречие.

6°. Т4 (2‒я Вейерштрасса). Если и = f (М) непрерывна на замкнутом ограниченном мн‒ве {М}, то она достигает на этом множестве своих ТВГ и ТНГ.

Док‒во. Пусть f (М) на замкнутом ограниченном мн‒ве {М} не достигает своей ТВГ N => для всех точек мн‒ва {М} : f (М) < N и функция F(M) = 1/ (N ‒ f (M)) > 0, не обращается в 0 и по У1 непрерывна на {М} => по Т3 F(M) ограничена на {М}, т.е. Ǝ В, что для всех М {М}: F(M) = 1/ (N ‒ f (M)) ≤ В =>

т.к. N ‒ f (M) > 0, то f (M) ≤ N ‒ 1/В для всех М {М} => противоречит тому, что N ‒ наименьшая из всех верхних граней.

7°. Функция и = f (М) называется равномерно непрерывной на мн‒ве {М} евклидова пр‒ва Е ^т, если для ε > 0 Ǝ δ = δ (ε) > 0, что для М' и М" {М}: ρ (М', М") < δ, выполняется | f (М") ‒ f (М') | < ε.

Т5 (о равномерной непрерывности). Непрерывная на замкнутом ограниченном мн‒ве {М} функция равномерно непрерывна на {М}.

Док‒во. Пусть непрерывная на замкнутом ограниченном мн‒ве {М} функция и = f (М) не является равномерно непрерывной на {М}, т.е. Ǝ ε > 0: δ > 0 Ǝ М' и М" {М}, удовлетворяющих условию ρ (М', М") < δ, но | f (М") — f (М') | ≥ ε =>

для δ_n = 1/n Ǝ М_n' и М_n" {М}: ρ (М_n', М_n") < 1/n, но

| f (М_n") — f (М_n') | ≥ ε. Т.к. {М_n'} ‒ послед‒сть точек замкнутого ограниченного мн‒ва {М}, то по Т Больцано ‒ Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся к некоторой А подпослед‒сть {М_kn'}. Подпослед‒сть {М_kn''} послед‒сти { М_n"} также сходится к А. f (М) непрерывна в А => {f (М_kn' )} → f (А) и {f (М_kn'')} → f (А) => {f (М_kn' ) ‒ f (М_kn'')} ‒ бесконечно малая послед‒сть, это противоречит | f (М_n") — f (М_n') | ≥ ε => и = f (М) равномерно непрерывна на {М}.

20. Понятие дифф-сти функции нескольких переменных. Достаточное условие дифф-сти. Касательная плоскость.

М (х₁, ..., х_т) ‒ внутренняя точка области задания и = f (х₁, ..., х_т). Отношение частного приращения Δ_xk u в фикси­рованной

М (х₁, ..., х_т) к соответствующему приращению Δx_k аргумента x_k

является ф-цией от Δx_k, определен­ной для всех, ≠ 0, значений Δx_k, для которых М (x₁, …, x_k‒1, x_k + Δx_k, x_k+1… , x_m) области задания и.

О. Если Ǝ предел отношения (1) част­ного приращения Δ_xk u функции в М (х₁, ..., х_т) к соот­ветствующему приращению Δx_k аргумента x_k при Δx_k → 0, то этот предел называется частной производной функции и = f (х₁, ..., х_т) точке М по аргументу х_k :

Полное приращение и = f (х₁, ..., х_т) в М (х₁, ..., х_т), соответ­ствующее приращениям Δx₁ , …, Δx_т :

Δu = f (х₁ + Δx₁, … , х_m + Δx_m) ‒ f (х₁, … , х_m)

О. Ф‒я и = f (х₁, ..., х_т) называется диф­ференцируемой в М (х₁, ..., х_т), если ее полное приращение в М можно представить:

где А₁, ..., А_т ‒ некоторые не зависящие от Δx₁, … , Δx_m числа, а α₁, ..., α_т ‒ бесконечно малые при Δx₁ →0, … , Δx_m →0 функции, равные 0 при Δx₁ = … = Δx_m =0.

(2) ‒ условие дифференцируемости ф‒и в М. Другая форма:

где ρ ‒ бесконечно малая при Δx₁ →0, … , Δx_m →0 функция , ρ = 0 при Δx₁ = … = Δx_m =0. Условия (2) и (3) эквивалентны, т.к. : 1) при ρ ≠ 0

=> сумма является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ρ, о (ρ) =0 при ρ = 0.Т.о.(2) => (3)

2) пусть не все Δx₁ ,…, Δx_m равны 0 =>

и учитывая, что α_i ‒ бесконечно ма­лая при ρ → 0 ( и при Δx₁ →0, … , Δx_m →0) функция, получим (2) => (3) =>(2)

Если хотя бы 1 из А₁, ..., А_т отлично от 0, то А₁ Δx₁ + ...+ А_т Δx_m ‒ главная, линейная относительно приращений аргументов часть приращения дифференцируемой функции.

Т1. Если и = f (х₁, ..., х_т) дифф-ма в М (х₁, ..., х_т), то в этой точке Ǝ част­ные производные по всем аргументам, причем , где А_i определяются из условия (2) или (3) дифф‒сти функции.

Док‒во. Из (2) => частное приращение функции в этой точке:

Сл1. Условие (3) диффе-сти функции в М можно записать в форме (все частные производные берутся в М)

Сл2. Если и = f (х₁, ..., х_т) дифферен­цируема в М (х₁, ..., х_т), то представление ее приращения Δ u в форме (2) или (3) единственно. (т.к. коэффи­циенты А_i этих представлений = частным производным в данной М => определяются единственным образом).

Если и = f (х₁, ..., х_т) диф­ф-а в М (х₁, ..., х_т), то она и непрерывна в М. (т.к. из (2) => => функция непрерывна в М )

Пло­скость π, проходящая через точку N₀ поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N₀ и точку N₁ поверхности, стремится к 0, когда N₁ → N₀.

Если в N₀ Ǝ касательная плоскость, то касательная в N₀ к кривой, расположенной на поверхности и проходящей через N₀, лежит в указанной плоскости.

Убедимся, что из условия дифф‒сти функции и = f (х, у) в данной М₀ (х₀, у₀) => существование касательной плоскости к графику S этой ф‒и в точке N₀ (х₀, у₀, u₀). Пусть Δx = х ‒ х₀, Δy = y ‒ y₀ , Δu = u ‒ u₀ , где и = f (х₀, у₀ ), и = f (х, у) => условие (2):

u ‒ u₀ = A(х ‒ х₀) + B(y ‒ y₀) + αΔx + βΔy= A(х ‒ х₀) + +B(y ‒ y₀) + o(ρ)

где A и В ‒постоянные , α и β ‒ бесконечно малые при Δx→ 0, Δy→ 0,

Уравнение U ‒ u₀ = A(х ‒ х₀) + B(y ‒ y₀) опре­деляет в декар-товой системе (х, у, U) некоторую плоскость π, проходящую через N₀ (х₀, у₀, u₀) и имеющую нормальный вектор n = {A, В, ‒ 1}.

Косинус угла φ между n и вектором N₀ N₁ секущей с координатами х ‒ х₀, y ‒ y₀, и ‒ и₀ :

Из условия дифференцируемости и = f (х, у) => A(х ‒ х₀) +

+B(y ‒ y₀) ‒ (u ‒ u₀) = o(ρ) =>

=> , т. е. и π ‒ касательная плоскость к S в точке N₀ .

Т.о., дифф-сть и = f (х, у) в М₀ (х₀, у₀) геометрически означает наличие касательной плоскости к графику функции и = f (х, у) в точке N₀ (х₀, у₀, u₀). Т.к. А и В = производным, вычисленным в

М₀ (х₀, у₀), то уравнение каса­тельной плоскости :

Нормальный вектор n = { , , ‒ 1} касательной плоскости называется нормалью к поверхности и = f (х, у) в N₀ (х₀, у₀, u₀).

Т2 (достаточное условие дифф‒сти). Если и = f (х₁, ..., х_т) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности М₀ (х₁°, ..., х_т°), причем все эти частные производные непре­рывны в М₀, то функция дифф‒ма в М₀ .

Док‒во. Для ф‒и 2 переменных и = f (х, у). Пусть f_x' и f_y' Ǝ в ок-рестности М₀ (х₀, у₀) и непрерывны в ней. Дадим х и у столь малые приращения Δх и Δу, чтобы М (х₀ + Δх, у₀ + Δу ) этой окрестно­сти М₀. Полное приращение

Δu = f (х₀ + Δх, у₀ + Δу) ‒ f (х₀, у₀ ) = [ f (х₀ + Δх,

у₀ + Δу) ‒ f (х₀, у₀ + Δу)] +[f (х₀, у₀ + Δу ) ‒ f (х₀, у₀ )]

Выражение [ f (х₀ + Δх, у₀ + Δу) ‒ f (х₀, у₀ + Δу)] ‒ прира-щение ф-ции f (х₀, у₀ + Δу) пере­менной х на [х₀, х₀ + Δх]. Т.к. и = f (х, у) имеет частные производные, то f (х₀, у₀ + Δу) дифф-ма и ее производная по х ‒ это f_x'. По Т Лагранжа, Ǝ такое θ₁ из

0 < θ₁ < 1: [ f (х₀ + Δх, у₀ + Δу) ‒ f (х₀, у₀ + Δу)] =

= f_x' (х₀ + θ₁Δх, у₀ + Δу) Δх

Ан‒но, для некоторого θ₂ из 0 < θ₂ < 1:

[f (х₀, у₀ + Δу ) ‒ f (х₀, у₀ )] = f_y' (х₀, у₀ + θ₂Δу ) Δу

f_x' и f_y' непрерывны в М₀ =>

f_x' (х₀ + θ₁Δх, у₀ + Δу) = f_x'(х₀ , у₀ ) + α,

f_y' (х₀, у₀ + θ₂Δу ) = f_y' (х₀, у₀ ) + β,

где α и β ‒ бесконечные малые при Δx→ 0, Δy→ 0 =>

Δu = f_x' (х₀ , у₀ ) Δх + f_y' (х₀, у₀ ) Δу + α Δх + β Δу

=> и = f (х, у) дифф‒ма в М₀.