Н.П. Трифонов, В.Н. Пильщиков - Задания практикума на ЭВМ (972293)
Текст из файла
Московский государственныйуниверситет им. М.В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиТрифонов Н.П., Пильщиков В.Н.Задания практикума на ЭВМ(1 курс)Москва2001УДК 681.325.5ББК 22.18Т67Трифонов Н.П., Пильщиков В.Н.Задания практикума на ЭВМ (1 курс). Учебное пособие, 2-е исправленное издание. —М.: МГУ, 2001. — 32 с.Издательский отдел факультета ВМК (лицензия ЛР №040777 от 23.07.96),Приводятся описания заданий практикума на ЭВМ для студентов 1 курса факультетавычислительной математики и кибернетики МГУ. Эти задания относятся к языку программирования Паскаль и языку ассемблера для персональных компьютеров.В разработке заданий принимали участие И.А Волкова, Е.В.
Зима, В.В. Игнатов,В.Н. Пильщиков, В.И. Родин, Т.В. Руденко, Н.П. Трифонов.В новом издании исправлены замеченные ошибки и неточности первого издания (1992г.), в качестве используемой версии языка Паскаль взят язык Турбо Паскаль 7.0. Приподготовке нового издания большую помощь оказала Е.А. Бордаченкова.Рецензенты:доц. Баула В.Г.доц. Корухова Л.С.Печатается по решению Редакционно-издательского совет факультета вычислительнойматематики и кибернетики МГУ им.
М.В. Ломоносова.ISBN 5-89407-102-Х© Издательский отдел факультетавычислительной математики икибернетики МГУим. М.В.Ломоносова, 2001Замечания по данной электронной версии присылайте на сmсmsu.infо@gmail.cоmМетодическое пособиеЗадание 1. ЯЗЫК ПАСКАЛЬ. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙУРАВНЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫХИНТЕГРАЛОВ1.1.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИС заданной точностью ε вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной тремя кривыми, уравнения которых y = f1(x), y = f2(x) и y = f3(x) определяются вариантом задания.При решении задачи необходимо:⎯ с некоторой точностью eps1 вычислить абсциссы точек пересечения кривых, используя предусмотренный вариантом задания метод приближенного решения уравнения F(x)=0; отрезки, где программа будет искатьточки пересечения и где применим используемый метод, определитьвручную;⎯ представить площадь заданной фигуры как алгебраическую сумму определенных интегралов и вычислить эти интегралы с некоторой точностьюeps2 по квадратурной формуле, предусмотренной вариантом задания.Величины ε1 и ε2 подобрать вручную так, чтобы гарантировалось вычисление площадифигуры с точностью ε.1.2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯВо всех вариантах ε = 0.001.А.
Уравнения кривыхy = fi(x):1)f1 = 2x + 1f2 = x5f3 = (1 − x)/32)f1 = 3(0.5/(x + 1) + 1)f2 = 2.5x − 9.5f3 = 5/x (x > 0)3)f1 = exp(−x) + 3f2 = 2x − 2f3 = 1/x4)f1 = exp(x) + 2f2 = −1/xf3 = −2(x + 1)/32x5)f1 = 0.35x − 0.95x + 2.7f2 = 3 +1f3 = 1/(x + 2)6)f1 = 0.6x + 3f2 = (x − 2)3 − 1f3 = 3/x7)f1 = ln(x)f2 = −2x + 14f3 = 1/(2 − x)+68)f1 = exp(x) + 2f2 = −2x + 8f3 = −5/x9)f1 = 3/((x − 1)2 + 1)f2 = sqrt (x + 0.5)f3 = exp(−x)10)f1 = 1 + 4/(x2 + 1)f2 = x3f3 = 2−xБ. Методы приближенного решения уравнений:1)метод деления отрезка пополам;2)метод хорд (секущих);3)метод касательных (Ньютона);1Трифонов Н.П., Пильщиков В.Н.
Практикум на ЭВМ4)комбинированный метод (хорд и касательных).В. Квадратурные формулы:1)формула прямоугольников;2)формула трапеций;3)формула Симпсона (парабол).1.3. ТРЕБОВАНИЯ К ПРОГРАММЕ1.В программе предусмотреть печать как площади заданной фигуры, так и абсциссточек пересечения кривых.2.Описать в программе процедуру root (f, g, a, b, eps1, x), вычисляющую с точностью ε1 корень x уравнения f (x) = g (x) на отрезке [a, b].
(Если используется методкасательных или комбинированный метод, то у root должны быть еще параметрыf1 и g1 — производные функций f и g.)3.Описать в программе функцию integral (f, a, b, eps2), вычисляющую с точностьюε2 величину определенного интеграла от функции f (x) на отрезке [a, b].4.Процедуру root и функцию integral следует предварительно протестировать.1.4.
ЛИТЕРАТУРА[1]. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т.1 — М.:Наука, 1985.[2]. Абрамов В.Г., Трифонов Н.П., Трифонова Г.Н. Введение в язык Паскаль. — М.:Наука, 1988.[3]. Епанешников А.М., Епанешников В.А. ПрограммированиеPascal 7.0 — М.: «ДИАЛОГ-МИФИ», 2000.всредеTurbo1.5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ1.Для корректного применения предложенных методов приближенного решенияуравнения F(x) = 0 (где F(x) = f (x) − g (x)) необходимо найти отрезок [a, b], на котором уравнение имеет ровно один корень. Достаточное условие для этого таково:на концах отрезка функция F(x) имеет разные знаки и на всем отрезке производная функции не меняет знак.
Кроме того, для методов хорд и касательных, а такжекомбинированного метода обязательно требуется, чтобы на данном отрезке первая и вторая производные функции не меняли свой знак (не обращались в ноль).2.В методе деления отрезка пополам определяется средняя точка c отрезка [a, b] ииз двух отрезков [a, c] и [c, b] выбирается тот, на концах которого функция F(x)имеет разные знаки. К выбранному отрезку применяется та же процедура.
Процесс деления отрезков прекращается, когда длина очередного отрезка станетменьше требуемой точности ε; за корень уравнения можно принять любую точкуэтого отрезка.3.В остальных трех методах следует различать два случая:случай 1 — первая и вторая производные функции F(x) имеют одинаковый знак(F'(x)F"(x) > 0);случай 2 — эти производные имеют разные знаки.2Методическое пособиеВ методе хорд концы (a, F(a)) и (b, F(b)) кривой y = F(x) соединяются прямойлинией и определяется точка пересечения этой линии с осью абсцисс:c=aF (b ) − bF (a ).F (b ) − F (a )Далее выбирается отрезок [c, b] в случае 1 или отрезок [a, c] в случае 2 и к немуприменяется та же процедура.
Тем самым происходит постепенное приближениек искомому корню слева (в случае 1) или справа (в случае 2).В методе касательных проводится касательная к кривой y = F(x) в точке (b, F(b))в случае 1 или в точке (a, F(a)) в случае 2 и определяется точка c пересеченияэтой касательной с осью абсцисс:c=d−F (d ),F ' (d )где d = b в случае 1 и d = a в случае 2. Далее проводится касательная к кривой вточке (c, F(c)) и процедура повторяется.
Тем самым происходит приближение кискомому корню справа (в случае 1) или слева (в случае 2).В методах хорд и касательных можно использовать следующий критерий завершения процесса приближения к корню. Если приближение «идет» слева, то наочередном шаге надо сравнить величины F(c) и F(c + ε): если они одного знака,то процесс продолжается, иначе на отрезке [c, c + ε] имеется корень и потомупроцесс завершается. При приближении справа надо проверять знаки F(c − ε) иF(c).В комбинированном методе одновременно применяется метод хорд и метод касательных, в связи с чем приближение к корню происходит с двух сторон. Критерийокончания — длина очередного отрезка меньше ε.4.При использовании метода хорд, метода касательных или комбинированного метода процедура root должна самостоятельно распознавать, какой из двух случаев,указанных в п.
2, имеет место при текущем обращении к ней. Это можно сделатьпроверкой следующих двух условий:— функция возрастает или убывает;— график функции расположен выше хорды, соединяющей концы графика, илиниже.Поскольку производные F'(x) и F"(x) на отрезке [a, b] не меняют знак, для проверки первого условия достаточно сравнить F(a) с 0 (при F(a) < 0 функция возрастает). Для проверки же второго условия надо сравнить в какой-то внутренней точкеотрезка значения функции и хорды; например, если взять среднюю точку (a + b)/2⎛ a + b ⎞ F (a ) + F (b )отрезка, то соотношение F ⎜означает, что график функции⎟>2⎝ 2 ⎠расположен выше хорды.
Если функция возрастает и ее график расположен нижехорды или если функция убывает и ее график расположен выше хорды, то имеетместо случай 1, иначе — случай 2.5.Квадратурные формулы для приближенного вычисления интеграла I от функцииF(x) на отрезке [a, b] имеют следующий вид (n — число разбиений отрезка [a, b]):Формула прямоугольников:I ≅ In = h(F0 + F1+...+Fn-1),где Fi = F(a + (i + 0.5)h), h = (b – a)/n3Трифонов Н.П., Пильщиков В.Н.
Практикум на ЭВМФормула трапеций:I ≅ In = h (0.5F0 + F1 + F2 + ... + Fn-1 + 0.5Fn),где Fi = F(a + ih), h = (b – a)/nФормула Симпсона (n — чётное):I ≅ In = h/3 (F0 + 4F1 + 2F2 + 4F3 + ... + 4Fn-3 + 2Fn-2 + 4Fn-1 + Fn),где Fi = F(a + ih), h = (b – a)/n6.Для обеспечения требуемой точности ε при приближенном вычислении интегралаI по квадратурной формуле нужно подобрать соответствующее число n разбиенийотрезка интегрирования. Известны формулы, выражающие n через ε, но в этиформулы входят производные подынтегральной функции, что неудобно на практике. Поэтому для достижения требуемой точности обычно используется следующий метод: берется некоторое начальное число разбиений n0 (например, 10или 20) и последовательно вычисляются значения In при n, равном 2n0, 4n0, 8n0 ит.д. Известно правило Рунге| I – In | ≅ p | In – I2n |(для формул прямоугольников и трапеций p = 1/3, для формулы Симпсонаp = 1/15).
Согласно этому правилу, когда на очередном шаге величина p |In − I2n|окажется меньше ε, в качестве приближенного значения для I можно взять In или,что лучше, I2n.7.При реализации функции integral следует учитывать, что в формулах трапеций иСимпсона в сумму I2n входят значения Fi, вычисленные ранее для суммы In, поэтому их не следует перевычислять заново.8.В процедуре root и функции integral используются параметры-функции (f, g и др.).В языке Турбо Паскаль такие параметры описываются следующим образом.В разделе типов необходимо описать т.н. функциональный тип:type TF = function (x: real): real;(вместо TP и x можно использовать любые другие имена), в который автоматически включаются все описанные в программе вещественные функции от одноговещественного аргумента, а затем имя данного типа нужно указать в спецификации формального параметра-функции, например:procedure root (f, g: TF; a, b, eps1: real; var x: real);При обращении же к процедуре root или функции integral указываются, как обычно, имена фактических функций (не стандартных!), например:root(f1, f2, -0.1, 3.5, 0.0001, x12);Что касается самих фактических функций (f1, f2 и др.), то перед их описанием необходимо разместить директиву {$F+} транслятору:{$F+}function f1 (x: real): real; begin f1:=ln(x) end;function f2 (x: real): real; begin f2:=2*x+14 end;...4Методическое пособиеЗадание 2.
ЯЗЫК ПАСКАЛЬ.ДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ДАННЫХ.2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИВарианты 1-11Дана непустая последовательность слов, в каждом из которых содержится от 1 до 6 заглавных латинских букв; соседние слова разделены запятой, за последним словом следует точка.Требуется ввести эту последовательность слов в память ЭВМ, преобразовав ее во внутреннее представление (см. ниже), а затем распечатать в алфавитном порядке:1) все слова последовательности;2) все слова с указанием для каждого из них его порядкового номера в исходной последовательности;3) все различные слова с указанием для каждого из них числа его вхождений висходную последовательность;4) все различные слова с указанием для каждого из них порядкового номера егопервого вхождения в исходную последовательность;5) сначала все однобуквенные слова, затем все двухбуквенные слова и т.д.;6) сначала все однобуквенные слова с указанием для каждого из них его порядкового номера в исходной последовательности, затем аналогичным образомвсе двухбуквенные слова и т.д.;7) сначала все различные однобуквенные слова с указанием для каждого из нихчисла его вхождений в исходную последовательность, затем аналогичнымобразом все различные двухбуквенные слова и т.д.;8) сначала все различные однобуквенные слова с указанием для каждого из нихпорядкового номера его первого вхождений в исходную последовательность,затем аналогичным образом все различные двухбуквенные слова и т.д.;9) та же задача, что и в варианте 1;10) та же задача, что и в варианте 3;11) та же задача, что и в варианте 4.В качестве внутреннего представления последовательности слов использовать:— в вариантах 1-4 — однонаправленный список из слов, упорядоченных по алфавиту;— в вариантах 5-8 — массив из 6 списков, в k-ом из которых хранятся kбуквенные слова, упорядоченные по алфавиту;— в вариантах 9-11 — двоичное дерево поиска (в нем слева от каждой вершиныслова располагаются только те слова, что предшествуют ему по алфавиту, асправа — следующие за ним по алфавиту).5Трифонов Н.П., Пильщиков В.Н.
Практикум на ЭВМВарианты 12-18Дана символьная запись (см. ниже) многочлена (многочленов) от одной переменной X сцелыми коэффициентами. Требуется ввести этот многочлен в память ЭВМ, преобразовав во внутреннее представление (см. ниже), выполнить операцию, определяемую вариантом задания, и распечатать полученный результат.Операции над многочленами:12) вычислить значение заданного многочлена при заданном целочисленномзначении переменной X;13) проверить, имеет ли заданный многочлен хотя бы один целый корень (такими корнями могут быть только положительные и отрицательные делителисвободного члена, а при нулевом свободном члене корнем является 0);14) проверить на равенство два заданных многочлена;15) получить многочлен, являющийся производной заданного многочлена по переменной X;16) получить многочлен, являющийся суммой двух заданных многочленов;17) получить многочлен, являющийся произведением двух заданных многочленов;18) привести подобные члены в заданном многочлене, в котором могут повторяться одночлены с одними и теми же степенями X.Исходный многочлен от переменной X с целыми коэффициентами записывается какалгебраическая сумма одночленов любого из следующих видов (^ — возведение в степень):aX^k,X^k,aX,Xaгде k и a — целые числа (k ≥ 2, a ≥ 1).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
