Свойства логарифмов (968708)
Текст из файла
5. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâÐàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäàax = b,(1)ãäå a è b èçâåñòíûå ÷èñëà, à x èñêîìàÿ âåëè÷èíà. Èçâåñòíî, ÷òîïðè a > 0 è a 6= 1, ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ y = ax ÿâëÿåòñÿ ñòðîãîìîíîòîííîé è ïðèíèìàåò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå (0, ∞).Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óñëîâèÿõa > 0,a 6= 1,b > 0,(2)óðàâíåíèå (1) èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü, êîòîðûé íàçûâàþò ëîãàðèôìîì÷èñëà b ïî îñíîâàíèþ a è îáîçíà÷àþò loga b.Òåïåðü äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ.Îïðåäåëåíèå.Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2). Ëîãàðèôìîìb ïî îñíîâàíèþ a íàçûâàþò òàêîå ÷èñëî c, ÷òî ac = b, è ïèøóòc = loga b.Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî ÷èñëà c åãî îáîçíà÷åíèå, ïîëó÷èì èç îïðåäåëåíèÿëîãàðèôìà ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî÷èñëàaloga b = b,(3)êîòîðîå íàçûâàþò îñíîâíûì ëîãàðèôìè÷åñêèì òîæäåñòâîì.Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî loga 1 = 0, loga a =1 äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî √îñíîâàíèÿa.
Ïðèâåäåì ïðîñòûå ïðèìåðû:√112log3 9 = 2, log9 3 = − 2 , log2 2 = 2.Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ.Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî.Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2) èñóùåñòâóþò ÷èñëàc > 0(òî åñòüloga b è loga c). Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëàbloga c è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàloga bcèloga bc = loga b + loga c,(4)b= loga b − loga c.c(5)loga1Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëà loga bc è loga cb ñóùåñòâóþò,ïîñêîëüêó a > 0, a 6= 1 è bc > 0 è cb > 0.Ïðèìåíÿÿ (òðèæäû) îñíîâíîå ëîãàðèôìè÷åñêîå òîæäåñòâî (3) èèñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, ïîëó÷èìÄîêàçàòåëüñòâî.aloga bc = bc = aloga b aloga c = aloga b+loga c ,òàê êàê èç ðàâåíñòâà ax = ay ñëåäóåò x = y , òî ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî(4) (ìû èñïîëüçîâàëè ñâîéñòâî ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ïîêàçàòåëüíîéôóíêöèè).Àíàëîãè÷íî,baloga c =b aloga b= log c = aloga b−loga c ,c a aîòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (5).
Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ëåâûå ÷àñòè ðàâåíñòâ (4) è (5) îïðåäåëåíû è â ñëó÷àå,êîãäà îáà ÷èñëà b è c îòðèöàòåëüíû (òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå bc > 0 èbc > 0). Ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ â ýòîì ñëó÷àå íå îïðåäåëåíû. Äëÿòîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà è â ýòîì ñëó÷àå, çàìåòèì,÷òî bc = |bc| = |b|·|c| è ðàâåíñòâà (4), (5) ñëåäóåò ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèìîáðàçîì:b= loga |b| − loga |c|.c ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâàõ b è c ìîãóò áûòü ëþáûìè äåéñòâèòåëüíûìè÷èñëàìè îäíîãî çíàêà.loga bc = loga |b| + loga |c|,logaËîãàðèôì ñòåïåíè.Òåîðåìà 2.Ïóñòüñóùåñòâóåò ÷èñëîñóùåñòâóåò ÷èñëîâûïîëíÿþòñÿóñëîâèÿ(2)(òîloga b). Òîãäà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãîloga (bc ) è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîloga (bc ) = c loga b.åñòü÷èñëàc(6)Òàê êàê ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî b â ëþáîé ñòåïåíèïîëîæèòåëüíî, òî loga (bc ) ñóùåñòâóåò.
Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (6)ñëåäóåò èç öåïî÷êè ðàâåíñòâÄîêàçàòåëüñòâî.caloga (b ) = bc = (aloga b )c = ac loga b .Òåîðåìà äîêàçàíà.2 ñëó÷àå, åñëè c ÷åòíîå ÷èñëî, òî ëåâàÿ ÷àñòüðàâåíñòâà (6) îïðåäåëåíà è ïðè b < 0 (òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå bc >0). Ïðàâàÿ ÷àñòü (6) â ýòîì ñëó÷àå íå îïðåäåëåíà. Äëÿ òîãî ÷òîáûóñòàíîâèòü àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî è â ýòîì ñëó÷àå, çàìåòèì, ÷òî bc = |b|cè ðàâåíñòâî (6) ñëåäóåò ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Çàìå÷àíèå.loga (bc ) = loga |b|c = c loga |b|. ïîëó÷åííîì ðàâåíñòâå b ìîæåò áûòü ëþáûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì,îòëè÷íûì îò íóëÿ.Ðàññìîòðèì òàêæå ñëó÷àé, êîãäà îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ÿâëÿåòñÿñòåïåíüþ íåêîòîðîãî ÷èñëà.Òåîðåìà 3.Ïóñòüñóùåñòâóåò ÷èñëîc,âûïîëíÿþòñÿloga b).óñëîâèÿ(2)(òîåñòüÒîãäà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëàîòëè÷íîãî îò íóëÿ, ñóùåñòâóåò ÷èñëîlog(ac ) bè ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâî1loga b.(7)cÄîêàçàòåëüñòâî.
Òàê êàê ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî a â ëþáîé ñòåïåíèïîëîæèòåëüíî, à èç óñëîâèé a 6= 1 è c 6= 0 ñëåäóåò, ÷òî ac 6= 1, òî log(ac ) bñóùåñòâóåò. Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (7) ñëåäóåò èç öåïî÷êè ðàâåíñòâlog(ac ) b =(ac )log(ac ) b = ac log(ac ) b = b = aloga b .Òåîðåìà äîêàçàíà.Èç ñîîòíîøåíèé (6), (7) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãîðàâåíñòâà:loga b = log(ac ) (bc ),ãäå c ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ, òî åñòü ÷èñëî èîñíîâàíèå ëîãàðèôìà ìîæíî âîçâåñòè â îäíó è òó æå ñòåïåíü.Ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ.Òåîðåìà 4.Ïóñòüâûïîëíÿþòñÿóñëîâèÿ(2)(òîåñòüñóùåñòâóåò ÷èñëîcòàêîãî, ÷òîloga b). Òîãäà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëàc > 0, c 6= 1, ñóùåñòâóþò ÷èñëà logc b è logc a èñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîloga b =3logc b.logc a(8)Ñóùåñòâîâàíèå ÷èñåë logc b è logc a ñëåäóåò èçòîãî, ÷òî ÷èñëà a, b, c ïîëîæèòåëüíû è c 6= 1.
Îòìåòèì, ÷òî logc a 6= 0,òàê êàê ÷èñëî a 6= 1. Ïîýòîìó äðîáü â ïðàâîé ÷àñòè (8) ñóùåñòâóåò èäîñòàòî÷íî äîêàçàòü ðàâåíñòâîÄîêàçàòåëüñòâî.(logc a)(loga b) = logc b.Ñïðàâåäëèâîñòü ïîñëåäíåãî ñëåäóåò èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ:clogc b = b = aloga b = (clogc a )loga b = clogc a·loga b .Òåîðåìà äîêàçàíà.Îïðåäåëåíèå çíàêà ëîãàðèôìà.Òåîðåìà 5. Åñëè ÷èñëî è îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ëåæàò ïî îäíóñòîðîíó îò åäèíèöû, òî ëîãàðèôì ïîëîæèòåëåí. Åñëè ïî ðàçíûåñòîðîíû, òî ëîãàðèôì îòðèöàòåëåí.Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2) ñóùåñòâóåòëîãàðèôì loga b, è ïóñòü a > 1, b > 1. Çàïèøåì îñíîâíîåëîãàðèôìè÷åñêîå òîæäåñòâîÄîêàçàòåëüñòâî.aloga b = b.(3)Åñëè loga b < 0, òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3) ìåíüøå åäèíèöû,à ïðàâàÿ ÷àñòü áîëüøå åäèíèöû è ðàâåíñòâî íåâåðíî.
Åñëèloga b = 0, òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3) ðàâíà 1, à ïðàâàÿ ÷àñòü áîëüøå åäèíèöû, ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, loga b > 0.Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ îñòàëüíûå ñëó÷àè. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñðàâíåíèå ëîãàðèôìîâ. Ëîãàðèôìèðîâàíèå íåðàâåíñòâà.Òåîðåìà 6.Åñëèîñíîâàíèåëîãàðèôìàáîëüøååäèíèöû,áîëüøåìó ÷èñëó îòâå÷àåò áîëüøèé ëîãàðèôì, ò.å. åñëèb > c > 0,òîloga b > loga c.òîa > 1èÅñëè îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ìåíüøååäèíèöû, òî áîëüøåìó ÷èñëó îòâå÷àåò ìåíüøèé ëîãàðèôì, ò.å.
èç0<a<1èb>c>0ñëåäóåòloga b < loga c.Âîñïîëüçóåìñÿñâîéñòâîììîíîòîííîñòèxïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè: ïðè a > 1 ôóíêöèÿ a âîçðàñòàåò, ïðè0 < a < 1 ôóíêöèÿ ax óáûâàåò. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a > 1. Èñïîëüçóÿîñíîâíîå ëîãàðèôìè÷åñêîå íåðàâåíñòâî è ñîîòíîøåíèå ìåæäó b è c,ïîëó÷èìÄîêàçàòåëüñòâî.aloga b = b > c = aloga c ,4îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî loga b > loga c.
Ñëó÷àé 0 < a < 1 ðàññìàòðèâàåòñÿàíàëîãè÷íî. Òåîðåìà äîêàçàíà.5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
