Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976) (964659)
Текст из файла
ангввствр.вво внесввво в вредно- впеапввьпого обоввовяввв г "~"р Мввскоис ио е орасио Лекннн и ерно ~а 'групнвого Еиас~ го 3ианепн пввсиг-.-; техничесиое уиилвМе нм. Н. Э.. в нана Р. Я. й!остах, С. '~. 1,"оган, Т. й. Хереско 'ф) 1ОЯИЧс!" КОЕ ПОСОБНИК К К:4ЛО.'! НРК ИЮ ЛО1|ЛЩН ЕГО 3,'ДЪНИЯ ПО <~У~'",ЦИ<Ц" КОРйРДРКОНОРО ДЕРРЩРННОРО Уе.: вв Министерство высшего и среднего спелиельного обраьования СССР Московское ордена Ленина и ордена Трулового Красного Знамени в.:сшее техническое училише нм. Н.Э.
Баумана Р.Я. Шостак, С.М. Коган, Т.А. Хереско МЕТОЛИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛОМАШНЕГО ЗАПАНИЯ ПО ФУНКПИЯМ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Под редакнией С.В. Фролова Москва Редакточ В.М. Царев Корректор В.Т. Карасева Заказ ~3 З Обьем 8 !/4 п.л, л-ИНИ огЦВ~Вуог. ион трдоп, Тираж 3000 акз. Пвч.
1076 г. 1'отапринт МВТУ. 107005, Москва, Б~З, 2~ Бауманская, 6. Денное методическое пособие к выполнению домашнего задании по фуикпинм комплексного переменного иапаетоя в соответствии с учебным планом. Рассмотрено н одобрено кафедрой прикладной математики 22/Х1-1074 г., Методической комиссией факупьтеча ОТ и Учебнометодическнм управлением. ВВведе»е Нестовцее л»етодическое пособие преднвэ»шчоно для студен- тов, иэучвюших элементы теории функций комплексного пе»юмен- ного. Его цель - помочь студентам нвучиться решать простей- шие задачи тех типов, которые включены в домлшнее эоаи»по по теории функций комплексного переменного и обычно вкшо Ш- ются также в контрольные рвботы и эечетные бипоты.
Уквзан»»я х решению кшкдого типе звдвч снабже»»ы крвтю»м теорет»»ческил» введением, в которол» пргеодятся (без докчзн- тельств) основные положения н фор»4уль» соответствуюшего рнэ- дела курса теории функций комплексного переменного. В»гпзл» пособии двпы указания (с подробно рвзоброн»»ь»л»и примервмн) к решенно следуюшнх типов эвдвч» 1. Действ»»я н»ш комппокснь»м»» чиспвмн: умножение» деле- ние, возведен»»е в степень и нзвпеченне корня нз комплексных чисел, 2.
Геометрия нв комплексной плоскости, Рв»»дол содержит две зада и» ! ) построение области плоскости, заданной теми ипи иными нерввенствемп; 2) отысхвнне в плоскости перемен- ного у,/ области, в которую прн помощи функш»н ь»"и ~(ф~ отобрвжвется эвдвннвя в плоскости к» обпвсть (), ограничен- нвя контуром ~ .
3, Вычисление энвчений заданных функций ~(Е/ прн ука- занных энвченнял й» . 4. Проверка регулярности заданных функш»й кол»ппексного переменного и отысквнце их производных, 5. Восствновпение регулярной функш»и комппексного пере- менного по ее вешественной нли мнил»ой части (с предваритель- ной проверкой воэможности решения предложенной звпвчн). 6. »предепен»»е круге сходлмости степенного ряда и иссле- дование его сходил»ест»» в заданных точках. 7. Отыскание всех рвзпожений заданной функции по степе- ням разности и -»2 (при эадвнном »й ) с установлением обне- с»и пригодности каждого нэ найденных разпожений.
8. Отыскание всех изолированных особых точек заданной функции, определение их характера и иычвта функции в них; установление, чем для данной функпин является бесконечно удаленная точка, н отыскание вычета в ией. 9, Вычисление интеграла от заданной функции комплексного переменного по укаэанному контуру при помощи теоремы о вычетах или формулы Кошм, или формулы уу -й производной. 1О. Решение простейших задач на конформное отооражение: отображение на верхнюю попуплосхость дауугоньника (полукруга, сегмента, лунки), сектора, полооы, полуполосы, а также обпаотей плоскости, ограииченнъш окружностью и касате иной к ней, двумя квсшощил<ноя окружностями н т.п. В хонде пособия помещены все 30 вариантов утаерхденного дохшшнего задания по теории функций комплексного переменного отпельно по каждому из десяти видов задач.
6 1. е с и комплексны числа 1, Сложение, вычитание и умножение комплексныи чисел делается по следуюшим правилам: к«ж кю к«л Л (а„.~кУ ) я~ а„ест б'„ (а, о1,/-фг ек4/ (а, - аг/+ ~~~» 4/ (2,ест,'/~а,, оЮ)а~а,а, -Я/~ с(а~г У а~~,/ 2. Возведение комплексных чисел в степень с нелым положительным показателем степени производится ло формуле биноме Ньютона, причем степени С. 1мнимой еаюшпы) определнются следующимп формулами: ,р "у . «т>г .г .~ н.т .з ..ел'е.е ложу к «С «с ° с «в «у У У (л яу1, .../ Тек, ~а+о г/ жал+ яакб+ (Ео/г «а~+Мое бг ~а-Р)ейю~ (а '~/ =гуээЗа .об~З Ыц +~ р~ж го и' у„~' ~9',й~' д,~г/,„; у~г н т.д. Э. При делении комплексных чисел числитель и энвменатель дроби умножаются на комплексное число, сопрюкенное со онемелая е~юм; а, '"с',4 й;М4/(аг-с'~г/ ~~ +~'Уг (а +агг/Фг-с:4/ г ~«е у у „, а 4 — «.
4 аг б".г аг 'Р г г г 4. 11. *: кор»»н нэ коьшлексиого числа, Д ч б извлечь корень ут -й степени ( Л вЂ” пелое, положительное) иэ к мпш, ного числа ~ зд'е»~, надо прем»де всего представить его и пока гельной»(юрл»е гш гг'". с г блос». К и/~/д )»г ау (л»одуль комплексного числ.),)гл»ХК~~~» 1» л*»н»»ое значение аргумента кол~плекс»»ого числа, т,е. то значеш«. Ящу, которое удовлетворяет иерааеисжтвдтк —.У с ~к Я ).
у» л уро»»р»доляетця либо равенствал»и срХ~ж — = »Е Л'Гйт»Е шэх- - -» в,я, либо формулол С(шККтбЕл Ы Д~ й я »ч»е Ск0»»1»»» Хн01 С «Х пРн Х 40 )»нР ' ~'е -Т ри а<О и«О. »»Г Для отыскания всек значений ~~~7 надо воспользоваться 1~ л»улол К/~" кЛЕ/ а- З гу "» 7~угл У где к О/Г ...е»-Е. б)А ТаКНЛ» ОбразОМ, »/а ГС = /З8 ', Гда,/»я Уе (ЗДЕСЬ КОРЕНЬ ГтХ »»» ннмается в арифметическом смысле), а )й ш — »»вЂ” /т (»с =. 0,1;2, ..., »т -1). так находятся возет различных эначенил нскомогс корня.
фК Таким .браэом, асе»т различных эначениЯ корня ф -й степени нэ некоторого кол»»»лексного числа»н изображаются на плоскости комплексного переменного точками, лежашиьп» на одной и той же '»ружности с радиусом /ухнул/ и пентрол» а нулевой ючке. Поскольку же разности аргументов любол пары соседних (по окружности) иэ этих точек посто:нны и равны -~)- , эти ГУ точки явлшотся вершинами некоторого правильного ЕУ -утолен»»ка, вписанного в эту окружность (см. рис, 1, поясняюшнй пример).
Пример Лань» числа к» р»т -»,' ° Р, = -~ я~а рЯ ) ('е»»е)»ле» а) „у — (ц Е»; б) Е~ = с с'с1/5 к Й-' ~ Ю-' ~ (Б-.Ь-!Д) ъ'-"Ю ' ~' ' У * ~' ~37~ г ,) ~,= Д "с.'; !г,/=г ас~г,=агсй== — ' (~'=,Р( г = Ге ~ У ~ = Фе + =Фе -~ = Фе "- -' .' и = уг~ = ~Ге " ~ = о г г) . л зг х/д „Ий ~/ю Д~ф~~'~~ «ф~ ~ ",ф И*о~,г. ) Рис.
1 М 2. Герше ля на комплексной плоско 1. Пост сенце области плоскости оп е елоннод эл анныШяачю .нн И ° нн. - --,ч рнческие истолкования основных алементов комплексного числа й: /И „атрг, Уег, Уи. Так: ! ) неравенство /Е-й/а и олределяот точки, лежашие внутри круга радиуса ~ с игнтром в точкеСЕ плоскости и и на окружности; нераие..ство /р-~у/и ~ определяет точюл лежлшие вне этого круга1 2) неравенство ф(с дх~)~-су/с ~9 определяет точки, лежаии~е внутри угла с вершиной в точке ~яку, стороны которого образуют с положительной вешествонной полуосью плоскости соответственно углы аС н,/3 (напомним, что положительные углы отсчитываются от осн лротнв часовой стрелки, а отринательныепо часовой); 3) неравенство УЕг лсу определяет тс ки плоскости, лежашне справа от прямол .Сад', а неравенство )тттд' с в - точки, лежашие на н п,д прямой ~=~' ч) неравенство вида /р -Су/и/Е к.;у/и Лу определяет точки, лежашие внутри и на эллипсе с фокусами в точках Р аСу н Ю сСд и большой лолУосью кУ 1 5) аналогично неравенство/Р -Су/ /и -ф~/~Щ олролеляет точки, лежашие внутри той ветви гилерболы с фокусамн Е аСу и ЕиС~ н вещественной полуосью д, которая содержит 4оиус гаСд; 6) днн истолкования более сложшнх неравенств можно рекомендовать лерейти в соответствую:нем ему лредельном равенстве к декарттзым координатам.Ф и~у нлн полярным й н ~я .
Пои~швы 1) Построить область плоскости Р, определяемую неравгнст- /~-~/~/г г~/< уР, /гуФ/ "/г-Ф/ лр. Границы, прчнадлежашие области, нообраоить сплошнылш, но принадиежашие - пунктирнылш пиниялщ. Ре1иение. а) Вправе»ство /Е Ф/+/~ "ф/у КО оир л пнет точюц лежашие внутри и иа эллипсе с фолусакш ь точках кт= яф и бопьшой пол~осью юк2и5 . Определяем малую полуось этого зл- 1и )/а"-С" = ига:,~~ =,У. б) Неравенство /Егф/ - /й-ф/эО опр. деля< т чч ~ки, ложашне внутри правой ветви гиперболы, софокусной с пред~ луишк1 эллипсом. Ее вешестаениая полуось кйш5, мниман У,ЕС'Ьг = Я:У я„Ф (В толь что данному неравенству удовлетворяют точки, пожашие только внутри правой ветви гиперболы, мо кио убедить,я, подставляя в это неравенство две тоню~ - одну ши мим:о и одну внутреинкло, хотя бы с =О и Р аО прн РаО /ОеФ/-/О-~/э Ок б при йи5" /К ик/ /у ~/ По этим данным строям рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
