Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976) (964659), страница 4
Текст из файла (страница 4)
б-а ' е "ж Š— 77- ~б ~/и/с ° /. лжп Ппимееоы 0~/Е-//</, ф ' - . У й /Е-//у(г, / -//рг. Эти области: 1) 2) 3) Лля отысквния этих разложений представляем)ь ( Е ) в виде ' Е7Е и// Е-/ Е/Ет// Е-/ ( Е Е'У/ Рвэл2жвниия 1) / = / = - Х(-// (Е-//' (/Е-//х //", Ю 1Е-1/+4 /й/Е-// дар / 2) — Т / ~ -х~ (/ э (Е-//Р Е -/ /~ Е-/ =д ' /е-/l" Е-/ 1, Найти все Разложениа фУнкции ~(Е/ = —.а-- по эта~х.- и Е1'Е -// ням разности Е -/ Решение.
Особые точки функпни ЕэО Е=/ Е="/. Делаем рис. О, на котором (поскольку иг,,тся разложения по степеням, ~злости Е -/ ) строим охружности с пентром в точке Ею / , проходяшие через точки Ел0 и Е =-/. Этн окружности 'разбивают всю плоскость на три области, в каждой нз которых функпия имеет свое разложение по сте- ф пеням Е-/, Все три разложения будут разложениями в ряд Лорана, так как точка Ев / особая и разложения в ряд Тейлора пь степеням Е -/ не сушествует. Рис. 9 /тх ~/Е-~/л //.
~=о (Е -/l у х,аахен ВП л / / ° ж(г- у/ 3) = - — Ев;-ЕИ лИ Р-//4в. К / /Е-у,/.Е Е /,Е-/.=р г лат (/ / / / / /-// г" гу/ /Е-/р: Е-/ /~ у~ .ф /Е-//"" 1(сиоллэуи равенство (А) и ра:и|еже~и~я 1 н 3, нахопим „„, „...м.я (у .и...
Т об . ((ух/е-,/к / ): ,//Е/.— — ' ИЛ.-//"-~й/" —,".~', =~И~/-,~/(Е-/ . "' Е /лм лаО ))споив я снова 1ввенство (А) и Разложения 2 и 3, нлхо .Зу лим ра.и1ожоние/ ( Е ) во Ц области ( /</Е //С~ ): / " /-//" ° л /Е-1/" У~Еl = — Е . -Е~-// —, чО /Е-//"" »ип г 1 ° а )-// / / и (Е-// =Š—, — — — -Е / // „„. ())) (Е // г Е-/ = г ))лх не1П снова нсполоэуя равенство (А) и разложончн 2 и 4, и ~холил~ раэл 1жеине / ( Е ) в ()) области (/Ел// ТЕу): Е-/ =-о/ -<)"" - й-//"" = [К-//"" Е-Е - ° ь- ° у( 1-.т —,.;.
Е тЕ~"о но степеням Е -~, Решение. Особые точки / ( Е ) — коРни ураяиенииЕ фаоа.хч Е ° Е„жг ~г', Пел~и м рис. 10, иа котором нровопим охр>жностт с и нтрол» в х ~ке Е аЕ, рохопя~пувэ через точки Е и Еа . Эта окружность разбивает плоскость на две области: 1) /г-Г/<~; разложение в этой области— это разложение в ряд Тэйлора, поскольку точка 1 К не особан; 2) /у -~/э2; разложение в этой областн— разложение и ряд Лоране в окрестности бесконечно удаленной точки.
Ищем эти разложения: Рнс. !О ) Е я еэ / Е-1 т, Г"е' / ~~~,~ Ф / ую-г)г Ф ~ (гу $ ~/ яану (/~-г/ г,/; / / - л/г/г ~ ~г" — ЕИ/Я= / (' ~ ) г-г - (г-,г/ ~=гг ~у/г-г/рг/ . 2) кт/ш и ~~/ ~~-г!' ~=~-г (~ ~/Глту шЕ Г-у/ 5 3, Найти все,разложения функнин /(э/- Е5 ЮЕ тУек Уб по степеням й-к (рассматривается та из ветвей ланной лпюгозначнбй функнии, которая на вещественной оси плоскости ~ принимает вещественные значения). )вещание. функння фа/= Г -й' сМР -/6' (Е ~/ 5 г 5 имеет три особые точки Е~ шт', Р~д Уэ ь6, в которых обращается в нуль выражение под радикалом и, следовательно, не существует уже первая производная / ( Е ). 20 11елаем рис.
11, на котором прово- дим окружность с пентром в точ- ке у'и~ , проходящую через все три особые точки. Эта окружность разбивает плоскость ~,на две об- ласти: 1)/Е-Я/С с 1 разложение в этой области - разложение а ряд Тейлора, так как точка л о3 не особая) 2) /еч оягг > 2 1 разложение в втой области - разложение в рнд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Рис, 11 (~~-г~' г ~~-г(й' гх ~~-~~)~ г4: .. /3 -Ф/(г-'~ь ),Чг~гг(зрге~Вг/ УК...
~л г "~=~'Л г ~„М....й. 2) ~(Е(в 1с ~/ В -(Ю 8(~г ~ — у( ° ~в-гг))гг-~[( г )] Лф~~~~г)') „)- / ~ - гк..р -~ г'" =й Ф вЂ” — —.Е ~~-~/ „л2 Ы... ЗУй ) -гР- ~/г-г/~г/. 11щем ети разложения, используя раэложерме бинома: л~ Г р-г ~1~ ~~' Ы4~ ,) У~й~=~~ — ~-гж- 1~-( — '(3'=- ~~ —,-~ — )1~ 6 $.
Фсайыа точки и вычеты в них Пусть для заданной регулярной функпнн холшлексного переменного требуется определить все ее изолированные особые точки, установить их характер н вайтн вычеты в ннх, а тпхже установить, чем для данной функпни является бесконечно удаленная точка, н определить вычет в ней. Решение первой чести задачи — отыскание особых точек— было дано в предьшушем параграфе. Вторая часть залечи — установление характера особенности— может быть решена либо на основании разложения фунхпин в ряд Лорана в окрестности данной особой точки, либо по поведеннш функпии при нриблшкеяии .х..особой тачке.
1. Устранимая особая точка. Разложение в ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки уча не содержит отрнпательных степеней разности Р-й . При приближении х устраниммгй особой точке функпия с~уемится к конечному пределу. Так, например, функляи йуа — „а/'ж а . в точаЬ -/ ке йшд имеют усгранимую особенность: .ЮуЕ . сЛд — / / а — =г; ы —, ~и иначе .т ~ л' — ш/-— с4г-/ — р=ю-у+— е г Ф/ г./ 2. Сушественно .особая точка. Разложение в ряд Лорана в окрестности сушественно особой точки жаку содержит бесконечное множество членов с отринательными степенями разности д-ау; при приближении к сушественно особой точке фуикпия не стремится нн к какому пределу, бесчисленное множество рвэ принимав любое, наперед заданное, комтшехсное значение (кроме, может быть, одного).
31 Такова будет, наприьшр, точка уж0 для фуншшй вас йуэ,й' уМ вЂ” н т.пп / Е Ф у / Ехидн, .Е д/,к ~ '-=г- —,,+ / г (-// лг '' е ~~7 ю 3. Полюс. Разложение в ряп Лорана в окрестности полюса Я»сЕ содержит лишь конечное число членов с отрипательными степенями разности р-~й, причем степень разности ~'-к3 в старшем из этих и~юнов определяет порядок полюса. При приближении к полюсу по любому п„ти модуль функпяи неограниченно возрастает, иными словами, 4Ьтт ~® = ее ° Ф порядок полюса может быль также определен следуюшим образом: в полюсе утт-го порядка ( /уу - делов, положительное) сушествует конечный н отличный от нуля предел для проншюдення / ( 8 ) на (Е-СФ ) ° ~ьл Й-а/ ~~~/ =4 Ф"О.
ат- а' Наконеп, в прости.,кшх случаях, когда функпня может бить предо"авлана в виде ~ГЮ Ф-л,/ (~-г~/'... (~-ю,/~ причем числитель у ° ( Е ) не имеет особенностей в конечной части плоскосгя и не обрашается в нуль в точках рему, ктж Е, ° ", ЯеЕр, все вти последние точки являются полюгзми фтнкпии~ ( ее ). ПРи етом поРЯдок полюса агеж Равен ж порядох пошоса ~л,бк равен А~ и т.г„т.е.
для каждой иэ втнх точек порядок полюса совпадает с показателем соответстьропшго миожятеля в знаменателе дГ . прк ры а) Функпия дух.=-у имеет точки ат э а ь - поюпоов вто(/га ~/ ее' рого поря. ~а. В свмом деле, 8 дгу и множители я'ес, стоят в знаменателе ЬГ во торой степеня, иначе: С~ / Г Д р(~.,'!.'ЕГса — ~-= — Е ~а; (гяь'/ т (км/ы=эч —., = — е ю, .г . е -е . Г- -с'. ~Ф-1 / эю/7.
б) Функпия Ь(к — ямеет в точке,к — О по~нос второго йа порядка. В самом деле, ~Ь ливы (Ьт ~~~ шГ а'-~О и -» О В данном случае нельзя судить по показатешо степени ю- ответствуюшего множителя ( К ) в знаменателю Ь', который 3 равен трем, так как при Р = 0 обрашается в нуль чис ягель,эь'У д . шд~. и, разветвления многозначной функции, здесь не приводятсн, поскольку таких точек в эщанинх нет.
4. Гесконекно удаленная точка. Характер особенности функпии в бесконечно удаленной точке определяется разложением функиии в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; таким разложением может служн1ь разложение по степеням Е или по степеням я-а вне круга достаточно большого радиуса с пентром в нулевой точке (нли в точке йшгх ), внутри которого лежат всв особые точки данной функпнн, находяшиеся в конечной части плоскости. а) Если это разложение будет содержать бесконечное множество членов с положите~ ьными степенями Я (или~-й ), то на бесконечности функпия имеет сушественную особенность (таковы, например, фуншшн 8 ~~ уб~8с ссре Мг, ОМс ).
б) Если это разложение будет содержать лишь конечкое число членов с положительными степенями с (илн ~ -а ) н старшин иэ них иметь степены7т, то бесконечно уде;жилая точка будет полюсом порядка От. в) Накален, сли в этом разложении отсутствуют члены с положительными степенямн к (или с-КЙ ), то фуикпня на бескоиечяосви ймеет устранимую особеиносчь.
В ча тиосги, если зто раэлшхение начинается с члежов, со- держашнх — (илн — ) в степени 4' / / Е Е-су с, с л т + ~ ач / ~-т с дl = — + — + ° . ° й -а~" (к-а/"'" то бесконечно удаленная точха является нулем порядка хс для ленной функпня. Лругнми признаками полюса и нуля в бесконечно удаленной точке для Функции д/-у'(у/являются таюхе1 длн полюса порядка /тт С' — юЛ~О . /Ж г- ° Р для нуля порядха Ч ~ У®=Яу О, Примасы е а) Фунхпня дГю иьеет в бесконечно удаленной тсчй-аР ке сушественную особенность. В самом деле, Й-а/~ ~г-а) ~ (вто раэлокенее пригодно на всей плоскости эа исключением самой точки и ю47 ). ~Э б) Функпня д~л — имеет ла бесконечности полюсы Ъ первого порядке. В самом деле, — х= — т= ~г- — + — — "/ й я ~+.
( г' г+ Р7 (разложение пригони вне круга рапнусом в единицу с нентром в нулевод точке, тл. при /р/ > у ). Иначе, Ытг — =А~ту — = Ытя г жЮО. я ее Е Г-вез У~Х~ д ае / . х в) Функпня д/ж- уйти-а имеет иа бесконечности нуль вто- рого порядка: у е е Я.'У~,5У ух '/ разложение начинается с члене -~~, оно пригодно при любом кр б. В Иначе, Аттр~вГ= Жхт д.ух~у — = Ат —.-~ =Ллт — ~ж / ~ 0 г- Г д- - О и Третья часть задачи - определение вычетов в особых точ- ках. Вычетом функпни аГж~(б/ в ее изолированной особой точ- ке ьтжКу чаэывается,деленное иа,Яь значение интеграла от втой функдии> взятого в положительном направлении по аобому замкнутому контуру, обходяшему один раз данную точку ~=а (при условии, что на етом контуре и внутри него функдня /(у/ других особенностей не имеет).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
