Метода (959978)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.С. Ющенко, Д.С. ДелияСТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯМетодические указания к лабораторному практикумупо курсу «Статистическая динамика системавтоматического управления»Под редакцией А.С. ЮщенкоМоскваИздательство МГТУ им.
Н.Э. Баумана2009УДК 519.711.3ББК 22.161.6Ю985Ю985Рецензент д-р техн. наук, проф. В.С. МедведевЮщенко А.С., Делия Д.С.Статистический анализ линейных систем автоматического управления: Метод. указания к лабораторному практикуму по курсу «Статистическая динамика систем автоматического управления» / Под ред. А.С. Ющенко. — М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 52 с.: ил.В работе приведено описание трех лабораторных работ по курсу«Статистическая динамика систем автоматического управления» сиспользованием ПЭВМ и пакета MATLAB 7, посвященных формированию случайных процессов с заданными характеристиками, анализулинейной непрерывной автоматической системы при воздействии нанее случайного процесса и исследованию автоматической системыпри воздействии на нее случайного сигнала и помехи. Методическиеуказания содержат необходимые математические формулы, сведенияо пакете MATLAB 7, необходимые при проведении лабораторных работ, а также примеры проведения исследований.Для студентов старших курсов, обучающихся по направлениямподготовки 220400 «Мехатроника и робототехника» и 220200 «Управление в технических системах».УДК 519.711.3ББК 22.161.6Учебное изданиеЮщенко Аркадий СеменовичДелия Данила СергеевичСТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯРедактор С.А.
СеребряковаКорректор М.А. ВасилевскаяКомпьютерная верстка С.А. СеребряковойПодписано в печать 16.12.2008. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,83.Изд. № 148. Тираж 200 экз. Заказ.Издательство МГТУ им. Н.Э. БауманаТипография МГТУ им. Н.Э. Баумана105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5© МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2009ВВЕДЕНИЕДанное пособие предназначено для самостоятельного проведениястудентами цикла лабораторных работ по курсу «Статистическая динамика систем автоматического управления» на ПЭВМ с использованиемпрограммного пакета MATLAB. Такой курс предусмотрен в учебномплане ряда специальностей, связанных с автоматизацией, мехатроникой иробототехникой. Предполагается, что студенты знакомы с основным курсом теории автоматического управления и с теорией вероятностей. Длятого чтобы облегчить проведение лабораторных работ, в методическихуказаниях даны основные соотношения из курса «Статистическая динамика систем автоматического управления», которые используются пристатистическом анализе линейных стационарных автоматических систем.Приведено краткое описание возможностей пакета MATLAB 7 для проведения такого анализа.В пособии даны указания к проведению трех лабораторных работ,объединенных в общий цикл.
Вначале нужно построить формирующийфильтр, позволяющий получить случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. Затем провести исследование системы, навход которой поступают детерминированный сигнал и случайная помеха.Наконец, предлагается исследовать замкнутую систему автоматическогорегулирования, ко входу которой приложен случайный сигнал, представляющий собой аддитивную смесь полезного случайного сигнала и случайного шума. Описание каждой лабораторной работы сопровождаетсяпримерами.
Для того чтобы правильно интерпретировать получаемыерезультаты, мы рекомендуем предварительно выполнить статистическоеисследование в аналитической форме с использованием приведенных впособии соотношений. Более подробную информацию о методах статистического анализа автоматических систем и о возможностях пакетаMATLAB можно найти в литературе, список которой приведен в концепособия [1 – 4].31.
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕАВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ1.1. Характеристики случайных процессовОсновными характеристиками случайных величин являютсяфункция распределения вероятности и плотность распределениявероятности. Функция распределения случайной величины ξ, принимающей любые вещественные значения, определяется соотношениемFξ (x) = P{ξ < x}(1)и представляет собой вероятность того, что случайная величина ξпринимает значения, меньшие заданного значения x.Плотность распределения вероятности случайной величины ξможет быть определена по функции распределения вероятностис использованием формулыpξ (x) =dFξ (x)dx.(2)Случайный процесс определяется множеством случайных реализаций ξ(t), 0 ≤ t ≤ T.
Фиксируя произвольным образом моментывремени ti, i = 1, 2, …, N, можно получить N-мерную случайную величину ξ = [ξ(t1), ξ(t2),…,ξ(tN)], т. е. случайный вектор, компонентами которого являются случайные величины, представляющие собойзначения реализаций ξ(t) в дискретные моменты времени. Такимобразом, случайный процесс характеризуется множеством функцийраспределения вероятности, определяющих векторную случайнуювеличину ξ:4Fξk (x1 , x2 ,..., xk , t1, t2 ,..., tk ) = P{ξ(t1 ) < x1, ξ(t2 ) < x2 , ..., ξ(tk ) < xk }, (3)где k = 1, 2, …, N, или соответствующим множеством плотностейраспределения вероятности:p ξ k ( x1 , x 2 , ..., x k , t1 , t 2 , ..., t k ) ==∂kFξ k ( x1 , x 2 , ..., x k , t1 , t 2 , ..., t k ), (4)∂ x1∂ x 2 ...∂ x kгде k = 1, 2, …, N.Используя плотности распределения вероятности, можно определить моменты различного порядка для случайного процессаξ(t). Наиболее часто применяют начальный момент первого порядка (математическое ожидание):∞mξ (t ) = M {ξ(t )} =∫ xpξ1(x, t)dx(5)−∞и центральный момент второго порядка (корреляционную (автокорреляционную) функцию):K ξ (t1 , t2 ) = M {ξ(t1 ) ξ(t2 )} ==∞ ∞∫ ∫ ( x1 − mξ (t1 ))(x2 − mξ (t2 )) pξ2 ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2 .
(6)−∞ −∞Из последнего выражения можно также найти дисперсию случайного процесса:Dξ (t ) = M {ξ(t ) ξ(t )}.(7)Взаимнокорреляционную функцию двух случайных процессовξ(t) и η(t) определяют по формулеKξη (t1, t2 ) = M{ξ(t1) η(t2 )} ==∞ ∞∫ ∫ (x1 − mξ (t1))(x2 − mξ (t2 )) pξη2(x1, x2 ,t1, t2 )dx1dx2.(8)−∞ −∞5Напомним, что случайный процесс ξ(t) называется стационарным (в широком смысле), если его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разностиаргументов:mξ (t ) = mξ = const ,(9)Kξ (t1, t2 ) = Kξ (t1 − t2 ) = Kξ (τ).(10)Для стационарных процессов можно определить спектральнуюплотность случайного процесса как преобразование Фурье корреляционной функции:∞Sξ (ω) =∫ Kξ (τ)e− j ωτd τ.(11)−∞По заданной спектральной плотности можно определить корреляционную функцию:∞K ξ (τ) =1j ωτ∫ Sξ (ω)e d ω.2π −∞(12)Из последней формулы следует и выражение для вычисления дисперсии стационарного случайного процесса по его спектральнойплотности:∞1(13)Dξ = K ξ (0) =∫ Sξ (ω)d ω.2π −∞При статистической обработке случайных сигналов используются методы и формулы математической статистики.Пусть на интервале времени [0, T] экспериментально полученоn реализаций случайного процесса ξ(t), которые мы обозначимxi(t), i = 1, 2, …, n.
Тогда оценка математического ожидания случайного процесса может быть определена по формулеmˆ ξ (t ) =1 n∑ xi (t ).n i =1(14)Оценка (14) является несмещенной, т. е. M {mˆ ξ } = mξ , и состоятельной, поскольку выполняется условие lim D{mˆ ξ } = 0.n →∞6Вычислив оценку математического ожидания случайного процесса, можно найти оценку его автокорреляционной функции поформуле1 nKˆ ξ (t1 , t2 ) =∑ (xi (t1) − mˆ ξ (t1 ))(xi (t2 ) − mˆ ξ (t2 )).n − 1 i =1(15)11, а не , чтобы обеспечитьn −1nнесмещенность оценки (15).
Ее состоятельность, как и состоятельность оценки математического ожидания, можно легко проверить.Для оценки дисперсии из последней формулы получим:Здесь используется множитель1 nDˆ ξ (t ) =∑ (xi (t) − mˆ ξ (t ))2 .n − 1 i =1(16)При исследовании статистических характеристик стационарных случайных процессов часто применяют эргодическую гипотезу, позволяющую существенно упростить их вычисление. В этомслучае вместо усреднения значений множества реализаций в однии те же моменты времени, как в формулах (14) – (16), усредняютзначения одной реализации, взятые в различные моменты времени.Стационарный процесс называется эргодическим по отношению к математическому ожиданию, если является несмещенной исостоятельной следующая статистическая оценка математическогоожидания, определяемая по одной его реализации x(t), измеряемойна интервале времени [0; T]:T1mˆ ξ = ∫ x (t ) dt .T 0(17)Эта оценка является несмещенной и состоятельной, если выполняются условия M {mˆ ξ } = mξ и lim D{mˆ ξ } = 0.
Нетрудно непосредn →∞ственно убедиться в несмещенности оценки (17). Для ее состоятельности нужно дополнительно потребовать, чтобы выполнялосьусловиеlim K ξ (τ) = 0.τ→∞(18)7Смысл последнего условия состоит в том, что значения случайныхвеличин ξ(ti) и ξ(tj) становятся слабо коррелированными при увеличении временного интервала (tj – ti).Для практических расчетов по формуле (17) используют приближенное соотношение1 Nmˆ ξ =(19)∑ x(ti ).N + 1 i =0В частности, если интервал [0; T] разбит на N элементарных интервалов длиной Δt = T/N, то ti = iΔt, i = 0, 1, …, N.
Можно также записать, что N = T/Δt = Tfd, где fd = 1/Δt — частота дискретизации, Гц.Рассмотрим теперь оценку корреляционной функции стационарного случайного процесса:Kξ ( τ) = M {(ξ(t ) − mˆ ξ )(ξ(t + τ) − mˆ ξ )}.(20)Обозначив x(t) отдельную реализацию случайного процесса ипринимая во внимание, что интервал, на котором происходит вычисление оценки корреляционной функции, равен [0; T – τ], получим следующую формулу для оценки корреляционной функции:Kˆ ξ ( τ) =1T −τилиT −τ∫( x (t ) − mˆ ξ )( x (t + τ) − mˆ ξ ) dt ,(21)01Kˆ ξ (τ) =T −τT −τ∫ˆ ξ2 .x(t )x(t + τ) dt − m(22)0Эти оценки являются несмещенными, а для их состоятельностидостаточно выполнения условия (18).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
