1й_курс_2й_семестр_Лекция_15 (959052), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2й семестр. Лекция 155+∞=1 1 m 2 −t 21 1 m πmkTt e dt ===.∫π λ 2 −∞π λ 2 24λ20,6Откуда λ =0,5mm, C1 =. Поэтому2kT2πkTmv 2m − 2 kTxϕ( vx ) =e.2πkT0,40,3mv 2m − 2 kTy,Аналогично ϕ ( v y ) =e2πkT0,20,1mv 2m − 2 kTzϕ( vz ) =.e2πkT0-4-3-2-101График функции ϕ ( t ) =2341 −t2eπВ итоге m f ( v) =  2πkT 32emv 2−2 kT m = 2πkT 32e−WКkT.Распределение молекул по абсолютному значению скорости.Вероятность того, что величина скорости молекулы находится в каких-то пределахp ( v1 < v < v 2 ) = ∫∫∫ f ( v ) ⋅ dVv0,9Vv0,8не зависит от направления вектора скорости.

Поэтому в пространстве скоростейнеравенство v1 < v < v2 выделяет шаровойслой. В этом случае объем тонкого шарового слоя имеет видdVv = 4πv 2 dv , поэтому0,70,60,50,40,3v20,2∫ f ( v ) ⋅ 4πv dv .p ( v1 < v < v 2 ) =0,12v1000,511,522,533,544,5Подынтегральная функция323221График функции F ( t ) = 4π   t 2 ⋅ e − t .πлекул по абсолютным значениям скоростей.Максимум этой функции соответствует наиболее вероятной скорости.2  m 3 2 2 − mv ′2kTF ′ ( v ) =  4π v ⋅e =0  2πkT mv 22 kTmv 2mv 2mv 2 − 2 kTm 2  − 2 kT2v ⋅ e−2v ⋅e= 2v 1 −v ⋅e=02kT 2kT Приемлемое решение называется наиболее вероятной скоростью молекулы2kT2 RTv вер ==.mµСреднее значение скорости−mv 2− m 22 kTF ( v ) = 4πv ⋅ f ( v ) = 4π  v ⋅e2πkTназывается функцией распределения мо21й курс.

2й семестр. Лекция 15∞ m v = ∫ v ⋅ 4π  2πkT 0∞=23222v ⋅em 2kT mv⋅e2πkT m ∫0 2kT2kT  − t=2 −teπm ∞0mv 2−2 kT−mv 22 kT m dv = 2π  2πkT  mvd 2kT2∫v2⋅e−mv 22 kTd ( v2 ) =0dp = e − t dt , p = −e− t 2kT−t2=t⋅edt==πm ∫0q = t,dq = dt∞2kT+ ∫ e − t dt  = 2−e − tπm0∞32 ∞6(∞0)=2v =2kT.πm8kT8 RT=.πmπµСредний квадрат скорости∞v2 m = ∫ v ⋅ 4π  2πkT 02322v ⋅e−mv 22 kT1 2kTdv = 4π m4v m  − m2 kT m v⋅edv  =∫0  2kT  2kT ∞21 −t 2 ∞−t 2∞∞8kT 4 − t 23 2 −t 2  dp = t ⋅ e dt , p = − e  8kT  1 3 − t 2=t⋅edt==−te+t ⋅ e dt  =2∫2 ∫0m π00 q = t 3 ,dq = 3t 2 dt m π  21 −t 2 ∞∞−t 21 − t 2  3 8kT π 3kTdp = t ⋅ e dt, p = − e  3 8kT  1 − t 2 − t ⋅e+ ∫ e dt  ==.=2= 4m π 220m0q = t ,dq = dt 2 m π  2Поэтому средняя квадратичная скорость v кв =v2 =3kT(совпадает с уже известным выmражением).WК 2Распределение молекул по кинетической энергии p (WК 1 < WК < WК 2 ) =∫ f (W ) dWККможноWК 1mv 2получить, используя формулу распределения по скоростям, если учесть, что WК =и22WКv=, тоm323 2 v2v2mv 2W−2WК − kTК  2WК  m  m 22 kTp ( v1 < v < v 2 ) = ∫ 4π eded v⋅v=4π⋅ = ∫ 2πkT  2πkT  v1 mv1 m  m = 4π  2πkT Поэтому3 2 v2∫v1vE22WК 12 − kT2⋅e dWК = ∫m 2 mWКkTv1E−1WК e kT dWКπkTW− К21WК e kT .kT πkTОткуда наиболее вероятная кинетическая энергияWE  −WК− К−21  1121  11FW ′ (WК ) =e kT −WК e kT  =−WК  e kT = 0 kT πkT  2 WkT πkT  2 WКkTkTКkTWК вер =.2FW (WК ) =1й курс.

2й семестр. Лекция 157Экспериментальная проверка распределения МаксвеллаПервым экспериментальным подтверждением существования распределения молекул по скоростям можно считать результаты опыта Штерна, описанного выше. Но точность этого опыта бы-123ϕ465LСхема опыта Ламмерта: 1 –печь; 2 – коллиматор; 3 – узкиещели; 4 – траектория молекул; 5 – детектор; быстро вращающиеся дискиhла недостаточной для установления конкретного вида распределения.Прямые измерения скорости атомов ртути в пучке были выполнены в 1929 году Ламмертом.Атомы легкоплавкого металла, разогретого до высокой температуры, вылетали из печи1, проходили коллиматор (направляющие щели) 2 и по траектории 4 попадали на соосные быстровращающиеся диски 6, в которых сделаны щели 3, повернутые на угол ϕ, а затем регистрировались детектором 5. (В дисках было сделано несколько щелей для увеличения интенсивности).

Вся система находилась в вакуумированной камере.Атомы могли пролететь щели в дисках, если величина их скорости попадала в определённый интервал [v0-∆v1, v0+∆v2], где скорость v0, определялась из равенстваL ϕ=v0 ωL - расстояние между вращающимися дисками, а величины ∆v1 , ∆v2 определялись размерамищелей, геометрией пучка и т.д.2Изменяя угловую скорость вращения дисков ω можнобылоотбиратьиз пучка молекулы, имеющие определенную1скорость v, и по регистрируемой детектором интенсивностисудить об относительном содержании их в пучке.Таким способом удалось экспериментально проверитьстатистический закон распределения молекул по скоростям.Позже, когда при создании ядерного оружия возникла необходимость выделения нейтронов с определенной кинетической энергией, подобная схема была применена в устройстве,названным нейтронным монохроматором, позволяющим поLлучать энергетические спектры нейтронов.3Несколько иначе был организован эксперимент по определениюраспределения по скоростям для атомов цезия,Схема опыта Эстермана.1 – печь; 2 – диафрагма с узкой выполненный в 1947 году немецким физиком - экспериментатором Иммануэлем Эстерманом (1900 - 1973) совместно сщелью; 3 – детектор.О.

Симпсоном и Штерном. Пучок атомов цезия вылетал че-1й курс. 2й семестр. Лекция 158рез отверстие в печи 1 с некоторой скоростью v и под действием силы тяжести начинал двигаться по параболе. Атомы, прошедшие через узкую щель в диафрагме 2, улавливались детектором 3, который можно было располагать на различных высотах h. Величина отклонения hпучка в гравитационном поле Земли зависела от скорости атома. В этих опытах отклонение hсоставляло величину порядка нескольких долей миллиметра при расстоянии L от печи до детектора равном 2 метрам. Перемещая датчик и регистрируя количество атомов цезия, попадающих в детектор за единицу времени, можно было построить зависимость интенсивностипучка от величины h.

Последующий пересчет, с учетом известной зависимости высоты h отскорости атома v, давал распределение по скоростям атомов цезия.Все проведенные эксперименты подтвердили справедливость полученного Максвелломраспределения по скоростям для атомных и молекулярных пучков.Распределение Максвелла-Больцмана.Если ввести 6-мерное пространство, координатами молекулы в котором являются величины ( x, y, z, v x , v y , v z ) , то функция распределения в таком пространстве будет зависеть от этихшести переменных: n f ( x, y,z, v x , v y , v z ) .

Считая пространственные переменные ( x, y,z ) и компоненты скорости ( v x , v y , v z ) статистически независимыми друг от друга, можно записать:n f ( x, y,z, v x , v y , v z ) = n ( x, y, z ) ⋅ f ( v x , v y , v z )Откуда получаем распределение Максвелла-Больцмана32W +W m  − ПkT Кn f ( x, y,z, v x , v y , v z ) = n0 . e 2πkT При получении закона распределения Максвелла-Больцмана предполагалось, что температура газа не зависит от координаты точки. В частности, температура газа на всех высотах надповерхностью Земли при термодинамическом равновесии должна быть одинакова.

С этим утверждением связан парадокс, всесторонне рассмотренный Максвеллом. Дело в том, что придвижении вверх молекулы газа должны затрачивать свою кинетическую энергию на преодоление силы тяжести, и поэтому их средняя кинетическая энергия (а, следовательно, и температура) должна уменьшаться. Но этого не происходит вследствие того, что при этом не все молекулы, из-за недостатка их кинетической энергии, смогут преодолеть силу тяжести. Молекулы,имеющие недостаточную кинетическую энергию, не могут подняться высоко, что приведет, всоответствии с распределением Больцмана, к уменьшению их концентрации с высотой. Поэтому температура газа останется неизменной.Функция распределения в случае, когда кинетическая энергия зависит только от скорости v , а потенциальная - только от радиус-вектора r частицы, имеет вид: WП ( r ) + WК ( v ) 1 f ( r , v ) = exp  −ΘkT W ( r ) + WК ( v ) где Θ = ∫ ∫ exp  − ПdVdVv .kTVv VЗдесь: V - объем, занимаемый системой в координатном пространстве, Vv - соответствующий объем в пространстве скоростей.

Формула позволяет описывать равновесное распределение для достаточно произвольной термодинамической системы.Полученные выше функции распределения описывают случай, когда полная энергиячастицы W принимает непрерывный ряд значений. При статистическом описании системы, частицы которой могут принимать только некоторый дискретный набор значений энергии W1, W2,W3, …, Wm, необходимо использовать вместо функции распределения вероятность P(Wi) нахождения частицы в состоянии со значением энергии Wi: В случае дискретных состояний можнозаписать следующее выражение для этой вероятности P(Wi):1й курс.

2й семестр. Лекция 15P (Wi ) =91 W exp  − i Θ kT m W где Θ = ∑ exp  − i  . Формула называется распределением Больцмана для дискретных состоя kT i =1ний. Если полное число частиц в системе равно N, то число частиц Ni в состоянии с энергиейWi определяется по формуле: N i = P (Wi ) N .Равновесные флуктуации.Флуктуации – это случайные отклонения какого-либо параметра термодинамическойсистемы от его среднего значения. Флуктуации возникают из-за хаотического теплового движения частиц термодинамической системы. В любой, даже равновесной системе существуютслучайные отклонения от средних значений параметров, которые можно экспериментально наблюдать при долговременных измерениях. Например, флуктуации давления проявляются вброуновском движении малых твёрдых частичек, взвешенных в жидкости.Если среднее значение некоторого параметра x равно <x>, то флуктуация этого параметра определяется как отклонение значения от среднего∆x = x − xОчевидно, что среднее значение флуктуации равно нулю ∆x = x − x = x − x = 0 .Однако средний квадрат уже, вообще говоря, не равен нулю( ∆x )2=(x −x)2= x2 − 2x x + x2= x2 − 2 x x + x22= x2 − x .Аналогично, для некоторой функции параметра ϕ ( x )( ∆ϕ ( x ) )Величина( ∆ϕ ( x ) )22=(ϕ( x))22− ϕ( x) .( ∆ϕ ( x ) )называется средней квадратичной флуктуации, аϕ( x)2- сред-ней квадратичной относительной флуктуации.Флуктуациям в равновесном состоянии подвержены и внутренняя энергия, и давление, итемпература и т.д.Для всех термодинамических параметров их относительные флуктуации обратно пропорциональны корню из числа частиц в системе:( ∆x )2β.xNКоэффициент можно принимать за единицу β=1 при оценочных расчетах.Пример.

Характеристики

Список файлов лекций