1й_курс_2й_семестр_Лекция_15 (959052)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1й курс. 2й семестр. Лекция 151Лекция 15.Статистическое описание равновесных состояний. Функция распределения. Барометрическаяформула. Распределение Больцмана. Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла. Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Фазовое пространство. Распределение Максвелла-Больцмана. Равновесные флуктуации. Статистическое обоснование второгоначала термодинамики. Формула Больцмана для статистической энтропии.Математическое отступление.Пусть при каком-то эксперименте было проведено N испытаний, в результате чего былполучен ряд значений искомой величины x: {x1, x2, x3, x4, , xN}. Составим таблицу ( или как говорят, распределение значений).Значение xx1x2…xkКоличествоN1N2…NkkПри этом N = ∑ N i .i =1Определим частоту появления величины x1 как отношение p i = p ( xi ) =Ni.NN∑xikkxiN= ∑ xi i = ∑ pi xi .NN i =1i =1 Ni =1В случае повторных экспериментов в тех же условиях можно ожидать, что новое значениесредней величины будет несильно отличаться от прежнего значения.

В предельном случае бесконечного числа испытаний величинаNpi = lim p ( xi ) = lim iN →∞N →∞ Nназывается вероятностью появления значения xi .Предположим, что вероятность pi уже известна для данного эксперимента. Тогда можнорассчитывать, что при проведении N испытаний величина xi выпадет Ni=pi N раз.В некоторых случаях математический анализ условий проведения эксперимента даётоценку для вероятности появления величины x в виде определённого интегралаСреднее значение величины x =i =1N=∑x2p ( x1 < x < x2 ) =∫ f ( x ) dxx1- это вероятность того, что числовое значение величины x (которая называется случайной величиной) находится в пределах x1<x<x2.Если интервал ∆x=x2−x1 имеет малую величину, то p ( x1 < x < x2 ) ≈ f ( x0 ) ⋅ ∆x , где x1<x0<x2.x2Среднее значение величины в этом случае ищется в виде x = ∫ x ⋅ f ( x ) dx .x1Функция f(x) называется плотностью распределения.

Для неё выполняется условие нормировки+∞∫ f ( x ) dx = 1 .−∞Например, нормальное распределение (распределение Гаусса) (x − x) 1f ( x) =exp  −.2σ2 σ 2πЕсли задана какая-то функция от случайной величины ϕ(x), то среднее значение этой функцииx2ϕ = ∫ ϕ ( x ) ⋅ f ( x ) dxx11й курс. 2й семестр.

Лекция 152Если при измерениях получаются две случайные величины x и y, то вероятность задается с помощью двумерной функции распределенияy2 x2p ( x1 < x < x2 , y1 < y < y2 ) =∫ ∫ f ( x, y ) dxdy .y1 x1Если случайные величины x и y независимы друг от друга, то f ( x, y ) = f1 ( x ) ⋅ f1 ( y ) .Замечание. В случае если случайная величина задается функцией распределения, то вероятx0ность того, что она примет конкретное значение равна нулю p ( x = x0 ) =∫ f ( x ) dx = 0 .x0Распределение Больцмана.Пусть идеальный газ находится во внешнем поле силы тяжести.Рассмотрим равновесие малого объёма газаpS − dmg − ( p + dp ) S = 0z(p+dp)S− dpS = ρSdzgm pµгде плотность газа ρ = =dzV RTµgz−pµdpµg− dp =dzg ,=−dz , p = Ce RTpSRTpRTdmgµgzЗадавая давление при z=0 p=p0, получаем p = p0 e−RT.Делим числитель и знаменатель на число Авогадро: m0 =масса молекулы, k =µNAR- постоянная БольцманаNA−µgz−m0 gzp = p0 e RT = p0 e kTэто барометрическая формула для изотермического столба газа в однородном поле силы тяжести.Замечание.

Хотя температура атмосферы и уменьшается с высотой, эта формула достаточно хорошо согласуется с экспериментом.−m0 gzС учётом основного уравнения МКТ p=nkT получаем n = n0 e kT , где n0 – концентрациямолекул при z=0. Если учесть, что WП=m0gz – потенциальная энергия молекул в поле сил тяжести, то получаем распределение Больцмана−WПkTn = n0 eЗамечание. Отсюда следует, что при T→0 молекулы собираются вблизи z=0.Найдем среднее значение потенциальной энергии молекул по высоте WП =∞∞00WΣ = ∫ W ⋅ n ⋅ dz = ∫ m0 g ⋅ z ⋅ n0 en ( kT )= 0m0 g2 ∞−m0 g ⋅zkTn ( kT )dz = 0m0 g2n0 ( kT ) −t∫0 t ⋅ e dt = m0g −t ⋅ e−t∞02−ti.N m0 gz t=∞m0 g ⋅zm0 g ⋅ z − kT  m0 gz  kT ⋅ed== kT  ∫0 kT  z = kT t m0 g  n ( kT )+ ∫ e dt  = 0m0 g0∞∑W21й курс.

2й семестр. Лекция 15∞∞N = ∫ n ⋅ dz = ∫ n0 e0WП∞dz =0n0 kTem0 g ∫0m g ⋅z− 0kT m0 gz t=∞n kTkT  n0 kT − t m0 gz  d=e dt = 0=∫m0 g kT   z = kT t  m0 g 0m0 g  n0 ( kT ) 2 ∑i W  m0g  n0 ( kT )2 m0g==== kT .Nm0 g n0 kT n0 kT  m0 g Распределение Максвелла.Скорость любой молекулы v = ( v x , v y , v z ) можно задать с помощью коор-vzvvyvxm g ⋅z− 0kT3динат в трехмерном пространстве скоростей так, чтобы каждому векторусоответствовала одна точка.Вероятность того, что координаты скорости молекулы будут находиться вопределенных интервалах должна определяться через плотность распределенияp ( v1x < v x < v 2 x , v1 y < v y < v 2 y , v1z < v z < v 2 z ) =v2 x v2 y v2 z∫ ∫ ∫ f (vx, v y , v z ) dv x dv y dv z .v1 x v1 y v1 zДолжны быть выполнены условия нормировки∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫ f (vx, v y , v z ) dv x dv y dv z = 1 .−∞ −∞ −∞Так значения вероятностей p ( v1x < v x < v2 x ) , p ( v1 y < v y < v 2 y ) , p ( v1z < v z < v 2 z )не зависят друг от друга, то плотность распределения должна имеет видf ( vx ,v y ,vz ) = ϕ ( vx ) ⋅ ϕ ( v y ) ⋅ ϕ( vz ) .v2 xгде p ( v1x < v x < v2 x ) =∫v2 yϕ ( v x ) dv x , p ( v1 y < v y < v 2 y ) =v1 x∫ ϕ ( v ) dvyy,v1 yv2 zp ( v1z < v z < v 2 z ) =∫ ϕ ( v ) dvzz.v1 zДолжны быть также выполнены условия нормировки+∞∫ ϕ ( v x ) dv x = 1 ,−∞+∞∫ ϕ ( v y ) dv y = 1 ,−∞+∞∫ ϕ ( v ) dvzz= 1.−∞Во всех интегралах считается, что проекция скорости принимается любые значения, вплоть добесконечных.

Очевидно, что это не так. Но если подынтегральные функции быстро убывают сростом значений проекций скорости, то эта добавка будет вносить малую погрешность. Такимобразом, к искомым функция предъявляется требование «быстрого убывания на бесконечности».Для поиска вида функцииf ( vx ,v y ,vz ) = ϕ ( vx ) ⋅ ϕ ( v y ) ⋅ ϕ( vz )мы применим принцип детального равновесия: в равновесной системе вероятность протеканияпрямого и обратного процесса одинаковые.

Т.е. если формально обратить направление течениявремени, то это не повлияет на протекание процессов в системе. Например, если в системе молекула движется в каком-то направлении, то при обращении времени она должны будет двигаться в обратную сторону. Но так как обращение не должно изменить состояния системы, тодолжна быть такая же молекула, которая до обращения времени уже двигалась в обратном на-1й курс. 2й семестр. Лекция 154правлении, следовательно, после обращения времени она будет двигаться в прямом направлении.Это означает, что искомая функция может зависеть только от величины скорости молекул, т.е.от v = v2 = v 2x + v 2y + v 2z .Но в пространстве все направления равноправны. Если повернуть систему координат, то изменятся координаты вектора скорости, но не изменится длина вектора.

Потребуем, чтобы функцияf не меняла своё значение при повороте системы координат.Таким образом, при v 2 = v 2x + v 2y + v 2z = const должно бытьf ( v ) = ϕ ( v x ) ⋅ ϕ ( v y ) ⋅ ϕ ( v z ) = constсоответственно ∂ϕ ( v x )∂ϕ ( v y )∂ϕ ( v z ) .gradf = ⋅ ϕ ( v y ) ⋅ ϕ ( vz ) ; ϕ ( vx ) ⋅⋅ ϕ ( vz ) ; ϕ ( v x ) ⋅ ϕ ( v y ) ⋅ ∂v x∂v y∂v z Рассмотрим вектор, параллельный градиенту (учтем, что f ( v x , v y , v z ) ≠ 0 ):gradf  1 ∂ϕ ( v x )1 ∂ϕ ( v y )1 ∂ϕ ( v z ) .=;; ϕ ( v x ) ∂v xf∂v yϕ ( v z ) ∂v z vϕ()y2222Если считать, что v = v x + v y + v z является функцией координат, то grad ( v 2 ) = ( 2v x , 2v y , 2v z ) .Так как в трехмерном пространстве скоростей поверхности уровней функций v2 и f являютсяконцентрическими сферами с центром в начале координат, то их векторы-градиенты параллельны в каждой точке, следовательно, пропорциональны друг другу:gradf= λ ⋅ grad ( v 2 ) .fВ итоге из покоординатных равенств векторов получили систему уравнений1 ∂ϕ ( v y )1 ∂ϕ ( v x )1 ∂ϕ ( v z )= λ 2v y ,= λ 2v x ,= λ 2v z .ϕ ( v x ) ∂v xϕ ( v z ) ∂v zϕ ( v y ) ∂v yПосле интегрированияϕ ( v x ) = C1eλv x , ϕ ( v y ) = C2 e2λv 2y2, ϕ ( v z ) = C3eλv z .+∞Используем условие нормировкиλv∫ C1e x dvx = 1 .

Этот интеграл несобственный. Он сходится2−∞+∞только в случае, если число λ - отрицательное λ = − λ . Интеграл2−λv∫ e x dv x является «таблич-−∞+∞ным»∫e− λ v 2xdv x =−∞ππ, поэтому C1= 1 или C1 =λλНа каждую степень свободы приходится энергияская энергия одномерного движенияλπ.kT. Для идеального газа средняя кинетиче2mv 2xkT=.22С другой стороны+∞mv 2xmv 2x − λ v2x= ∫ C1edv x =22−∞+∞λ m +∞ 2 − λ v2x1 1 m− λ v2vedv=λ v 2x e x d v x λ =xx∫∫π 2 −∞π λ 2 −∞()1й курс.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций