1й_курс_2й_семестр_Лекция_04 (959043), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

НАЧКОНF∫ ,dl = WПОТ − WПОТ .()ПутьНАЧКОНДля замкнутого пути WПОТ= WПОТ, поэтому ∫ ( F ,dl ) = 0 . (Кружок в знаке интеграла показыПутьвает, что путь замкнутый.)Замечание. Нельзя сказать, что если работа силы по замкнутому контуру равна нулю, то эта сила – консервативная. Например, вектор магнитной составляющей силы Лоренца всегда направлен перпендикулярен вектору скорости, поэтому работа этой силы по любой траектории, в томчисле и по замкнутой, равна нулю, но эта сила не является консервативной.Рассмотрим две близкие точки в пространстве, смещенные друг от друга на малый вектор dr = ( dx,dy,dz ) , т.е.

координаты которых ( x, y,z ) и ( x + dx, y + dy,z + dz ) .Работа консервативной силы F при перемещении между этими точкамиНАЧКОНA ≈ Fx dx + Fy dy + Fz dz = WПОТ− WПОТ.Но изменение потенциальной энергии при перемещении между точками можно записать в виде∂W∂W ∂WКОННАЧWПОТ− WПОТ≈ ( gradW ,dr ) =dx +dy +dz .∂x∂y∂zили∂W∂W∂WFx dx + Fy dy + Fz dz = −dx −dy −dz∂x∂y∂zТак как вектор dr = ( dx,dy,dz ) произвольный, то поэтому должно быть∂W∂W∂W, Fy = −, Fz = −,∂x∂y∂zт.е.

должно выполняться равенствоF = − gradW .Fx = −1й курс. 2й семестр. Лекция 46Изоэнергетической поверхностью в пространстве называется поверхность уровня энергии, т.е. поверхность на которой величина энергии остается постоянной. Изоэнергетическая поверхность для потенциальной энергии называется также эквипотенциальной поверхностью.Таким образом, вектор консервативной силы направлен в сторону скорейшего убыванияпотенциальной энергии перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.Примеры потенциальной энергии.mm1) Найдем потенциальную энергию для силы гравитационного взаимодействия FГРАВ = G 1 2 2 .RПусть R – радиус-вектор, откладываемый от материальной точки m1.

Тогда вектор гравитационной силы, действующей на материальную точку m2, направлен в противоположную сторонуm1m2  R FГРАВ = -G 2 eR , где eR =   - единичный вектор направления для вектора R .RRДолжно выполняться равенство НАЧКОН∫ F ,dr = WПОТ − WПОТ .()ПутьЭтот интеграл не должен зависеть от траектории, поэтому будем интегрировать вдоль радиусвектора dr = dR . Так как векторы FГРАВ и dR направлены противоположно, тоFГРАВ ,dr = − FГРАВ dR .()RRКОНRКОНm1m2m1m2 КОНmmmmFГРАВ ,dr = ∫ ( − FГРАВ dR ) = ∫  −G 2 dR  = G= G 1 2 −G 1 2∫RR RНАЧRКОНRНАЧПутьRНАЧRНАЧ mmmmНАЧКОНСравниваем: WПОТ− WПОТ= G 1 2 −G 1 2 .RКОНRНАЧТак потенциальная энергия гравитационного взаимодействия определяетсяmmWПОТ.ГРАВ = -G 1 2 + С .RОбратите внимание на знак минус! (Обычно С=0.)2) Для силы тяжести FТ=mg потенциальная энергия WП = mghzЗдесь высота h определяется выбором начала отсчета энергии.Проверим соотношение F = − gradW .mgВведем систему координат так, чтобы ось z была направлена вверх (противyсилы тяжести), тогда потенциальная энергия WП = mgz + C , где С определяетxся началом отсчета координаты.

Эквипотенциальная поверхность – горизонтальная плоскость z=const , поэтому вектор силы должен быть направлен ейперпендикулярно, т.е. вертикально. Величина энергии увеличивается вверх, поэтому вектор си∂W∂Wлы должен быть направлен вниз. Действительно, Fx = −= 0 , Fy = −= 0,∂x∂y∂WFz = −= − mg . Т.е. вектор силы F = ( 0,0, − mg ) в этой системе координат направлен верти∂zкально вниз.|q q |3) Для силы кулоновского взаимодействия: FКУЛ = k 1 22 потенциальная энергия:Rq1q 2WПОТ.КУЛ = k+C.R(Обычно С=0. В этом случае если заряды разного знака, то потенциальная энергия отрицательна.)()1й курс. 2й семестр. Лекция 44) Для силы упругости FУ = kx потенциальная энергия: WПОТ.УПР = k7x2+C2(Обычно С=0.)Потенциальная энергия для обобщенного закона Гука2( εl ) = kl ε2 SlklИз соотношений x = εl , E = , получаем WПОТ.УПР = kS2S 2Учитывая, что объем деформируемого тела V = Sl , находим энергию при возникновении относительной деформации величиной ε:Eε 2WПОТ.УПР =V.2ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ.Определение.

Полной механической энергией тела (системы) называется сумма потенциальной и кинетической энергийWМЕХАН = WКИН +WПОТ.Рассмотрим тело, на которое действуют только консервативные силы. Изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе действующих на нее сил:WKИН_КОНЕЧ - WKИН_НАЧ = A .Но, так как в системе действуют только консервативные силы, то для них можно ввести потенциальную энергию и выразить работу через уменьшение потенциальной энергии:A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОНЕЧ .Следовательно, WKИН_КОНЕЧ - WKИН_НАЧ = A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОНЕЧили WKИН_КОНЕЧ + WПОТ_КОНЕЧ = WПОТ_НАЧ + WKИН_НАЧ . Т.е.WМЕХ_КОНЕЧ = WМЕХ_НАЧ .Формулировка закона сохранения механической энергии.

Если на тело или в системе тел действуют только консервативные силы, то механическая энергия тела или системы тел остается постоянной.Пример. Найти величину второй космической скорости для Земли.(Второй космической скоростью называется наименьшая скорость старта тела с поверхностипланеты, при которой тело может улететь от планеты «навсегда» – т.е.

уйти на бесконечнобольшое расстояние, так что сила притяжения к планете обратится в ноль.)Решение. Когда тело массой m стартует со скоростью V с Земли, полная механическая энергияmM З mV 2системы тело-Земля равна WМЕХ_НАЧ = -G+. (Здесь принято, что постоянная С=0).RЗ2Предположим, что тело улетело от Земли на бесконечно большое расстояние и там остановилось. Тогда полная механическая энергия должна быть равна нулю. Гравитационная сила является консервативной, поэтому в системе планета-тело выполняется закон сохранения механической энергии: WМЕХ_КОНЕЧ = WМЕХ_НАЧ илиmM З mV 2-G+= 0 , откуда V =RЗ22GM ЗRЗС учетом выражения для ускорения свободного падения близи поверхности Земли: g =получаем V = 2gR З . Видим, что эта скорость больше первой космической в2 .♣GM З,R З21й курс.

2й семестр. Лекция 48Консервативные силы сохраняют механическую энергию. Поэтому они так и называются.(Название «консервативные» – переводится как «сохраняющие»).Помимо консервативных сил в механике вводятся также диссипативные силы - силы «рассеивающие» механическую энергию. Диссипация – это перевод энергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов (в конце концов – в тепло).К диссипативным силам относятся, в частности, сила трения скольжения и сила сопротивлениядвижению тела в жидкости или газе.Во всех системах, независимо от типа действующих сил, всегда выполняется основнойзакон природы – закон сохранения энергии.

Энергия замкнутой системы не убывает и не увеличивается – она только переходит из одной формы в другую.Пусть в системе действуют консервативные и неконсервативные силы. ТогдаКОННАЧWКИН− WКИН= AКОНС + AНЕКОНСНАЧКОНДля консервативных сил AКОНС = WПОТ− WПОТ. ПоэтомуКОННАЧНАЧКОНКОНКОННАЧНАЧWКИН− WКИН= WПОТ− WПОТ+ AНЕКОНС или WКИН+ WПОТ− (WКИН+ WПОТ) = AНЕКОНС , т.е.КОННАЧWМЕХ− WМЕХ= AНЕКОНС .Изменение механической энергии системы равно работе неконсервативных сил.Пример. Диск массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с горки высотой H. Найти скорость диска в конце спуска.

(Силой сопротивления воздуха пренебречь).Решение. В данном случае в системе есть сила трения, которая заставляет вращаться диск. Но т.к. диск катится безскольжения, то скорость в точке касания равна нулю. ПоэтомуHмощность силы трения равна нулю, следовательно, и её рабоvКОННАЧта равна нулю. Тогда WМЕХ− WМЕХ= AНЕКОНС = 0 , т.е.КОННАЧWМЕХ= WМЕХили mgH =Откуда mgH =mv 2 I z ω2+.2243 2mv , v =gH .43Пример. Рассмотрим удар двух тел.Под ударом подразумевается кратковременное взаимодействие тел. Если соударяются два телаконечной массы, то выполняется закон сохранения вектора импульса.Удары можно подразделить на упругие и неупругие. При упругом (абсолютно упругом)ударе сохраняется суммарная кинетическая энергия тел.

При неупругом, соответственно, не сохраняется. При абсолютно неупругом ударе тела слипаются и далее движутся вместе.По характеру взаимодействия удар можно описать как центральный и нецентральный.При центральном ударе силы взаимодействия направлены вдоль линии, проходящей через центры масс тел. После центрального удара у тел, двигавшихся до удара только поступательно, небудет вращательного движения вокруг центра масс.По виду движения тел можно ввести прямой и непрямой удары. При прямом ударе существует такая система отсчета, в которой сила взаимодействия направлена вдоль относительной скорости движения тел. В такой системе отсчета при прямом ударе тела до и после ударабудут двигаться вдоль одной прямой.Пример.

Тело массой m1 , движущееся со скоростью V налетает на неподвижное тело и послеупругого центрального соударения отскакивает от него по углом 900 к первоначальному направлению своего движения со скоростью V/2. Определить массу неподвижного тела.1й курс. 2й семестр. Лекция 49Решение. Перейдем в систему отсчета, в которой плоскость движения совпадает с плоскостьюXY системы отсчета. Так как удар упругий, то сохраняетсяимпульс и механическая энергия. Закон сохранения импуль p2са: p0 = p1 + p2 , где p0 – начальный импульс налетающегоp1тела, p1 – конечный импульс налетавшего тела, p2 – конечный импульс тела, масса которого неизвестна.Из рисунка видно, что векторы импульса образуют прямоугольный треугольник.

Поэтому по теореме Пифагора:p0p 22 = p 02 + p12 или m 22 V22 = m12 V 2 + m12 V12 .m1V 2 m1V12 m 2 V2 2=+.222 m 22 V22 = m12 V 2 + m12 V12Получили систему уравнений  m V 2 m V 2 m V 21= 1 1 + 2 2 22222Второе уравнение умножим на 2m2: m1m 2 ( V - V1 ) = m 2 2 V2 2 и в правую часть подставим перЗакон сохранения энергии:вое уравнение: m1m 2 ( V 2 - V12 ) = m12 V 2 + m12 V12 .Отсюда m 2 =m1 ( V 2 + V12 )V 2 - V12или с учетом заданных значений скоростей:V2 m1  V 2 +4  5m2 == m1 . ♣232 VV 4Пример. Два шарика одинакового размера с массами m1 и m2 движутся со скоростями V1 иV2 вдоль одной прямой и упруго соударяются.

Характеристики

Список файлов лекций