1й_курс_2й_семестр_Лекция_04 (959043)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1й курс. 2й семестр. Лекция 41Лекция 4. Закон сохранения энергии в механике.Работа и кинетическая энергия. Консервативные силы. Работа в потенциальном поле. Потенциальная энергия тяготения и упругих деформаций. Связь между потенциальной энергией исилой. Закон сохранения энергии.Рассмотрим движение материальной точки в некоторой инерциальной системе отсчета.Второй закон Ньютона имеет видdv m=F.dtВектор скорости точки v направлен по касательной к траектории.

Поэтому вектор малого пе ремещения точки dr = vdt тоже направлен по касательной к траектории (здесь dt – малый промежуток времени). Умножаем скалярно уравнение движения на вектор малого перемещения иинтегрируем вдоль пути  dv m,drF=∫ dt  Путь∫ ,dr .Путь ()Левая часть равенства. mv 2 1d  dv   dv  dv m,drm,dtm,dtm,dtd=v=v=vv=() 2  dt dt  dt dt  2  mv 2   mv 2  mv 2  dv m,dr=d=− .∫  dt  Путь∫  2   2 2 НАЧПуть КОНЕЧКинетической энергией материальной точки массы m, которая движется скоростью v, называется величинаm ⋅ v2WКИН =.2Единицы измерения кинетической энергии – Дж (Джоуль).

Иногда кинетическую энергию выm ⋅ v2p2ражают через импульс тела ( p = mv ): WКИН ==.22mЗамечание. Кинетическая энергия зависит от системы отсчета. Например, в сопутствующей системе отсчета кинетическая энергия равна нулю.FРассмотрим правую часть равенства.Работой постоянной силы F , действующей на материальную точку, прималом перемещении dr этой точки называется произведение A = F, dr = F ⋅ dr ⋅ cosα ,(α)где α - угол между вектором силы и вектором перемещения.Единицы измерения работы – Дж (Джоуль).Работу величиной в один Джоуль совершает постоянная сила в 1 Ньютон, совпадающая понаправлению с перемещением длиной 1 метр.Работа переменной силы A = ∫ F ,dr = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) ,dr(Путь)Путьгде dr = ( dx,dy,dz ) - малый вектор перемещения.ИтогПриравняем правую и левую части равенства  dv m,dr=F∫  dt  Путь∫ ,drПуть Или, с учётом приведённых обозначений:()1й курс.

2й семестр. Лекция 42КОНЕЧНАЧWКИН− WКИН=AТеорема об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии материальнойточки на участке пути равно работе действующих на нее сил на этом участке.Мощность силы.Средней мощностью силы F называется отношение работы этой силы к интервалу времени, за который была совершения эта работаAPСР =.∆tЕдиницы измерения мощности Вт (Ватт), мощность силы в 1 Вт соответствует работе в 1 Дж,совершаемой силой за 1 секунду.Мгновенной мощностью силы называется мощность этой силы за малый промежутоквремени F ,dr P== F ,v ,dtгде v - вектор скорости точки. Следствие. Если в каждый момент времени F ⊥ v , то работа данной силы равна нулю.()()Кинетическая энергия твердого тела,вращающегося вокруг неподвижной оси.В этом случае скорость вращения каждой точки вокруг оси равна vi = ωri ⊥ , где ri ⊥ - расстояние от точки до оси вращения, поэтому суммарная кинетическая энергия всех точекm v2m ω2 r 2 ω2ω2ВРАЩ2WКИН= ∑ i i = ∑ i i⊥ =mr=∑ i i⊥ 2 I z ,222 iiiгде I z - момент инерции тела относительно оси вращения.Рассмотрим уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг осиdωIz= Mz .dtПри малом угле поворота d ϕ = ωdt отсюда следуетdωIzdϕ = M zdϕdtДля левой части равенства I ω2 dωIzωdt = I z ωd ω = d  z  .dt 2 Если рассмотреть поворот на конечный угол ∆ϕ :dω∫∆ϕ I z dt d ϕ = ∆ϕ∫ M z d ϕ ,откуда I z ω2  I z ω2 −= ∫ M zdϕ 2  КОН  2  НАЧ ∆ϕТак как слева стоит выражение для изменения кинетической энергии вращающегося тела, тосправа стоит выражение для работы сил при повороте тела.

Таким образом, если известен момент сил M z относительно оси вращения z, то работа этих сил при повороте тела вокруг осивычисляется по формулеA = ∫ M zdϕ .∆ϕ1й курс. 2й семестр. Лекция 43А мгновенная мощность силP = M zω .С учетом векторной записи угла поворота и угловой скорости эти равенства можно записать A = ∫ M ,d ϕ , P = M ,ω .()()∆ϕКИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА (СИСТЕМЫ ТОЧЕК).Рассмотрим систему движущихся точек. Кинетическая энергия системы - это суммарнаяэнергия всех точек: mi ( vi , vi )mi vi2WΣ = ∑ Wi = ∑=∑.22iii Скорость каждой точки представим в виде vi = vC + vi _ ОТН ,где vC - скорость центра масс системы (одинаковая для всех точек системы),vi _ ОТН - относительная скорость точки (в системе отсчета, где центр масс покоится).

mi ( vC + vi _ ОТН , vC + vi _ ОТН )mi ( vC , vC ) + 2mi ( vC , vi _ ОТН ) + mi ( vi _ ОТН , vi _ ОТН )WΣ = ∑=∑.22iiВ правой части равенства mi ( vC , vC ) ( vC , vC )mvC2=m=∑i∑i i 2 - кинетическая энергия центра масс системы;22mi ( vi _ ОТН , vi _ ОТН )mi vi2_ ОТНОТН- кинетическая энергия движения точек относительно== WКИН∑i∑22iцентра масс; 2mi ( vC , vi _ ОТН )  =  vC , ∑ mi vi _ ОТН  , но ∑ mi vi _ ОТН = mvC _ ОТН , где vC _ ОТН - скорость центра∑i2iiмасс в системе отсчета, где центр масс покоится.

Очевидно vC _ ОТН = 0 , поэтому 2mi ( vC , vi _ ОТН )   =  vC , ∑ mi vi _ ОТН  = 0 .∑i2iОкончательноmС vС2ОТНWСИСТЕМЫ =+ WКИН.2Полная кинетическая энергия тела (системы точек) равна сумме кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии движения относительно центра масс.Пример. Определить кинетическую энергию диска массой m и радиуса R, катящегося без проскальзывания со скоростью V.Решение.

Так как диск катится без проскальзывания, то скорость центра масс равна V и скорость вращения обода диска относительно центра масс тоже равна V. Следовательно, полнаякинетическая энергия:mvC2WK =+ WK. ВРАЩ .21й курс. 2й семестр. Лекция 4При вращении диска вокруг центра масс угловая скорость всех точек равна ω =4v, поэтому киRI zC ω2нетическая энергия вращения равна WK.

ВРАЩ =. Момент инерции диска относительно оси2mR 2вращения, проходящей через центр масс равен I zC =.2m ⋅ V2Кинетическая энергия центра масс равна WKC =.22Следовательно WK = WKC + WK. ВРАЩm ⋅ v 2 1 mR 2  v 3 2=+  = mv .♣22 2 R4Математическое отступлениеПусть задана функция от нескольких аргументов, являющаяся непрерывнодифференцируемой по каждому из них f ( t ,x, y,z ) .

Нахождение производной такой функции поодному из аргументов (например, по x) при условии, что остальные не меняются, называется∂fчастной производной по данному аргументу и обозначается.∂xПусть в трехмерном пространстве задана непрерывно дифференцируемая функцияU ( x, y,z ) . Рассмотрим значения этой функции в двух соседних точках пространства, отстоящихдруг от друга на малый вектор dr = ( dx,dy,dz ) :U1 = U ( x, y,z ) и U 2 = U ( x + dx, y + dy,z + dz ) .Тогда разложение в ряд Тейлора для функции U вблизи точки ( x, y,z ) имеет вид:∂U∂U∂Udx +dy +dz + ...∂x∂y∂z ∂U ∂U ∂U Если ввести вектор gradU = ,, , который называется градиентом функции U, и ∂x ∂y ∂z отбросить остальные слагаемые в разложении (которые обозначены точками), то для изменениязначений U можно записать∆U = U 2 − U1 ≈ ( gradU ,dr ) = gradU ⋅ dr ⋅ cos α ,где α - угол между векторами gradU и dr .Свойства градиента функции1) В каком направлении нужно двигаться, чтобы увеличение функции было максимальным?Видно, что при постоянных величинах gradU и dr значение ∆U будет максимальным приcos α = 1 или α = 0 , т.е.

вектор dr должен быть сонаправлен вектору gradU .Вектор градиента функции gradU направлен в сторону максимального роста функции U.2) Поверхностью уровня функции U называется поверхность в пространстве, на которойU ( x, y,z ) = const . Если сместиться вдоль поверхности уровня на малый вектор dr , то значениефункции не изменится, поэтому ∆U = 0 . Это означает, что ( gradU ,dr ) = 0 , т.е. векторы gradUи dr перпендикулярны.Вектор градиента функции направлен перпендикулярно к поверхности уровня функции.U 2 = U1 +ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.Существует определенная группа сил, которые зависят только от взаимного положенияточек. Такие силы называются консервативными.1й курс.

2й семестр. Лекция 45Консервативными силами являются:1) Сила всемирного тяготения. Она зависит только от расстояния между телами.2) Сила тяжести. Она является частным случаем силы всемирного тяготения.3) Сила кулоновского взаимодействия.4) Сила упругости.Для каждой из консервативных сил можно определить потенциальную энергию.Потенциальная энергия для консервативной силы - это физическая величина, зависящаятолько от положения точки (тела), уменьшение которой равно работе соответствующейсилы, действующей на точку (тело).WΠОТЕНЦ_НАЧАЛЬНАЯ - WΠОТЕНЦ_КОНЕЧНАЯ = A(Обратите внимание на порядок индексов).

Потенциальная энергия, как и работа, измеряется вДжоулях. Потенциальная энергия – это энергия, определяемая положением тела. В одном итом же положении тело будет иметь одинаковую потенциальную энергию.1) Следовательно, работа консервативной силы не зависит от пути, вдоль которого двигалосьтело, а только от него начального и конечного положений.Замечание. Поскольку в определении сказано о разности энергий, то энергию можно определить несколько «произвольным образом» - к определяющим соотношениям можно прибавитьлюбую постоянную величину С, которая при взятии разности пропадет:WΠ_НАЧ + C - WΠ_КОН + C = A .()()2) Таким образом, потенциальная энергия определена с точностью до константы. Поэтомунельзя говорить об абсолютном значении потенциальной энергии без указания «начала отсчета».3) Работа консервативной силы по замкнутому пути равна нулю.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций