Математический анализ 2 семестр (957837), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пусть 1) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по
,
Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.
Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть , то тривиальное решение неустойчиво.
Тривиальное решение неустойчиво.
Тривиальное решение устойчиво.
Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя, то зная поведение решений в окрестности различных точек покоя, мы выясним тем самым поведение траекторий систем.
Классификация точек покоя для автономных систем второго и третьего порядков.
Система второго порядка.
Запишем уравнение автономной системы второго порядка
При
. Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.
З


Такая точка покоя называется
устойчивый узел.
Этот случай можно рассматривать как предыдущий, если формально положить t < 0. Получим те же траектории, что и в п. а), но стрелки на них будут направлены в другую сторону. Направление движение другое (t<0). Такая точка называется неустойчивый узел.
П
о вектору
мы, находясь на траектории, стремимся к нулю, по вектору
, наоборот, удаляемся от нуля.
Такая точка покоя - седло.
Это – тоже седло, но стрелки
направлены в другую сторону.
Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.
Седла – неустойчивые точки покоя.
З
аметим, в ситуациях узлов и седла траектория, начавшись в определенном квадранте, в нем и остается.
Точка покоя – дикритический узел,
Устойчивый при , неустойчивый при
Точка покоя - вырожденный узел, при устойчивая, но не асимптотически устойчивая. Если
, то точка покоя - неустойчивая (стрелки направлены в обратную сторону)
ж) . Точка безразличного равновесия. При изменении времени любая точка
остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.
2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.
Параметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат (в периодической составляющей).
а) Если , то траектория приближается к началу координат с ростом t (спираль), так как
- убывающая функция. Точка покоя устойчивый фокус асимптотически устойчива
б) если , то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как
- возрастающая функция. Точка покоя неустойчивый фокус неустойчива
в) если , то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя центр устойчива, но не асимптотически устойчива.
а) б) в)
Классифицировать точки покоя в зависимости от параметра.
Так как , то точка покоя – неустойчивый фокус
3)
, точка покоя – неустойчивый дикритический узел.
Система третьего порядка.
Запишем уравнение автономной системы третьего порядка
-
Все корни характеристического уравнения действительны и различны.
Картину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях, натянутых на пары собственных векторов. Этот случай уже изучен выше.
В плоскостях ,
,
, имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя так и называется – устойчивый узел.
б) В плоскостях
,
,
, имеем неустойчивые узлы. Такая точка покоя называется – неустойчивый узел.
в) один корень имеет знак, противоположный остальным двум корням. Точка покоя в этом случае называется седло – узел и является неустойчивой точкой покоя.
Пусть, например, . Тогда в плоскости
имеем неустойчивый узел, а в плоскостях
,
- седла. Если
, то в плоскости
имеем устойчивый узел, а в плоскостях
,
- седла.
Заметим, что в ситуациях узлов и седла – узел траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.
2) - действительный корень характеристического уравнения,
- комплексно сопряженная пара корней.
Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.
В плоскости имеем фокус, устойчивый при
, неустойчивый при
.
а)
. Такая точка покоя называется устойчивый фокус.
б)
. Такая точка покоя называется неустойчивый фокус.
в)
или
. Такая особая точка называется седло – фокус и является неустойчивой.
В первом случае по оси точка по траектории приближается к плоскости
и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеем неустойчивый фокус.
Во втором случае на плоскости имеем устойчивый фокус, поэтому траектория стремится к оси
, но удаляется от начала координат по этой оси, так как
.
Функция Ляпунова, «вторая метода Ляпунова».
Рассмотрим автономную систему и
Назовем эту функцию знакоположительной, если
,
Назовем функцию положительно определенной, если
Назовем функцию отрицательно определенной, если
Назовем функцию знакоопределенной, если она является отрицательно определенной или положительно определенной.
Введем производную функции в силу системы
:
. Заметим, что
. Поэтому, если
, то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движению по фазовым траекториям внутрь линии уровня
=С.
На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводится к трем теоремам Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функция (функция Ляпунова), положительно определенная и имеющая знакоотрицательную
в некоторой окрестности точки
.
Тогда тривиальное решение автономной системы устойчиво по Ляпунову.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существует функция , положительно определенная и имеющая отрицательно определенную
в некоторой окрестности точки
.
Тогда тривиальное решение автономной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть . Пусть
знакоопределена в некоторой окрестности точки
. Если в любой окрестности точки
найдутся такие точки, в которых знаки
и
совпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво.
положительно определена,
отрицательно определена. Поэтому тривиальное решение асимптотически устойчиво.
и
положительно определены, поэтому тривиальное решение неустойчиво.
Лекция 25. Приближенное вычисление интеграла.
Часто нужно вычислить интеграл , а аналитически это сделать невозможно (интеграл не берется) или слишком громоздко. Тогда применяют приближенные методы вычисления интеграла на отрезке, по которым пишут алгоритмы и программы реализации этих методов на ЭВМ. Численный расчет дает значение интеграла с некоторой погрешностью, которая зависит как от погрешности метода, так и от погрешности вычислений. Чаще всего рассматривают равномерную сетку, разбивая отрезок
на отрезки длины шагом h:
.
-
Формулы прямоугольников.
Обозначим . Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотами
.
Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника
. Получим первую формулу прямоугольников
Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника
. Получим вторую формулу прямоугольников
Оценим погрешность формул прямоугольников. Разложим в ряд Тейлора и оценим остаточный член.
Для первой формулы прямоугольников
Для второй формулы прямоугольников
Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.
Можно повысить точность формулы прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получаем третью формулу прямоугольников