Математический анализ 2 семестр (957837), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Пусть 1) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по ,

2) .

Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.

Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть , то тривиальное решение неустойчиво.

Пример.

Система первого приближения

Тривиальное решение неустойчиво.

Пример.

Система первого приближения

Тривиальное решение устойчиво.

Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя, то зная поведение решений в окрестности различных точек покоя, мы выясним тем самым поведение траекторий систем.

Классификация точек покоя для автономных систем второго и третьего порядков.

Система второго порядка.

Запишем уравнение автономной системы второго порядка

. Точка покоя .

1. Корни характеристического уравнения действительны..

а) .

При . Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.

З

аметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось , второе слагаемое – проекция на ось .

Такая точка покоя называется

устойчивый узел.

б) .

Этот случай можно рассматривать как предыдущий, если формально положить t < 0. Получим те же траектории, что и в п. а), но стрелки на них будут направлены в другую сторону. Направление движение другое (t<0). Такая точка называется неустойчивый узел.

в) .

П о вектору мы, находясь на траектории, стремимся к нулю, по вектору , наоборот, удаляемся от нуля.

Такая точка покоя - седло.

г) .

Это – тоже седло, но стрелки

направлены в другую сторону.

Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.

Седла – неустойчивые точки покоя.

З аметим, в ситуациях узлов и седла траектория, начавшись в определенном квадранте, в нем и остается.

д ) .

Точка покоя – дикритический узел,

Устойчивый при , неустойчивый при

е )

Точка покоя - вырожденный узел, при устойчивая, но не асимптотически устойчивая. Если , то точка покоя - неустойчивая (стрелки направлены в обратную сторону)

ж) . Точка безразличного равновесия. При изменении времени любая точка остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.

2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

Параметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат (в периодической составляющей).

а) Если , то траектория приближается к началу координат с ростом t (спираль), так как - убывающая функция. Точка покоя устойчивый фокус асимптотически устойчива

б) если , то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как - возрастающая функция. Точка покоя неустойчивый фокус неустойчива

в) если , то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя центр устойчива, но не асимптотически устойчива.

а) б) в)

Пример. , ,

Классифицировать точки покоя в зависимости от параметра.

,

а) седло,

б) неустойчивый узел

в) вырожденный узел

1. - комплексно сопряженные.

Так как , то точка покоя – неустойчивый фокус

3) , точка покоя – неустойчивый дикритический узел.

Система третьего порядка.

Запишем уравнение автономной системы третьего порядка

.

1. Все корни характеристического уравнения действительны и различны.

.

Картину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях, натянутых на пары собственных векторов. Этот случай уже изучен выше.

а)

В плоскостях , , , имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя так и называется – устойчивый узел.

б) В плоскостях , , , имеем неустойчивые узлы. Такая точка покоя называется – неустойчивый узел.

а) б)

в) один корень имеет знак, противоположный остальным двум корням. Точка покоя в этом случае называется седло – узел и является неустойчивой точкой покоя.

Пусть, например, . Тогда в плоскости имеем неустойчивый узел, а в плоскостях , - седла. Если , то в плоскости имеем устойчивый узел, а в плоскостях , - седла.

.

Заметим, что в ситуациях узлов и седла – узел траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.

2) - действительный корень характеристического уравнения, - комплексно сопряженная пара корней.

Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.

В плоскости имеем фокус, устойчивый при , неустойчивый при .

а) . Такая точка покоя называется устойчивый фокус.

б) . Такая точка покоя называется неустойчивый фокус.

в) или . Такая особая точка называется седло – фокус и является неустойчивой.

В первом случае по оси точка по траектории приближается к плоскости и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеем неустойчивый фокус.

Во втором случае на плоскости имеем устойчивый фокус, поэтому траектория стремится к оси , но удаляется от начала координат по этой оси, так как .

Функция Ляпунова, «вторая метода Ляпунова».

Рассмотрим автономную систему и

функцию .

Назовем эту функцию знакоположительной, если ,

знакоотрицательной, если

Назовем функцию положительно определенной, если

1. она знакоположительна,

Назовем функцию отрицательно определенной, если

1. она знакоотрицательна,

Назовем функцию знакоопределенной, если она является отрицательно определенной или положительно определенной.

Введем производную функции в силу системы : . Заметим, что . Поэтому, если , то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движению по фазовым траекториям внутрь линии уровня =С.

На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводится к трем теоремам Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функция (функция Ляпунова), положительно определенная и имеющая знакоотрицательную в некоторой окрестности точки .

Тогда тривиальное решение автономной системы устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существует функция , положительно определенная и имеющая отрицательно определенную в некоторой окрестности точки .

Тогда тривиальное решение автономной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть . Пусть знакоопределена в некоторой окрестности точки . Если в любой окрестности точки найдутся такие точки, в которых знаки и совпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво.

Пример.

Выберем

положительно определена, отрицательно определена. Поэтому тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Пример.

Выберем

и положительно определены, поэтому тривиальное решение неустойчиво.

Лекция 25. Приближенное вычисление интеграла.

Часто нужно вычислить интеграл , а аналитически это сделать невозможно (интеграл не берется) или слишком громоздко. Тогда применяют приближенные методы вычисления интеграла на отрезке, по которым пишут алгоритмы и программы реализации этих методов на ЭВМ. Численный расчет дает значение интеграла с некоторой погрешностью, которая зависит как от погрешности метода, так и от погрешности вычислений. Чаще всего рассматривают равномерную сетку, разбивая отрезок на отрезки длины шагом h: .

1. Формулы прямоугольников.

Обозначим . Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотами .

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим первую формулу прямоугольников

.

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим вторую формулу прямоугольников

.

Оценим погрешность формул прямоугольников. Разложим в ряд Тейлора и оценим остаточный член.

Для первой формулы прямоугольников

где .

Для второй формулы прямоугольников

где .

Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.

Можно повысить точность формулы прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получаем третью формулу прямоугольников

Характеристики

Список файлов лекций