Математический анализ 2 семестр (957837), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-ого порядка равна n.

Доказательство.

1. Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку проходит единственная интегральная кривая – решение. Через точку проходит решение , через точку

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

1. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

..........................................................................

, где

.

Второе решение – это линейная комбинация решений с теми же коэффициентами .

Вычисляя начальные условия в точке для решения , убеждаемся, что они совпадают с начальными условиями для решения . Следовательно, по теореме Коши, произвольное решение представляется в виде линейной комбинации линейно независимых решений .

Таким, образом, существует n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения . Поэтому размерность пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка равна n. .

Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную систему решений.

Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.

Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы.

.

Доказательство. Покажем, что линейная комбинация

является общим решениям (удовлетворяет пунктам определения общего решения)

1. - решение линейного однородного уравнения как линейная комбинация решений.

2. Зададим произвольные начальные условия , покажем, что можно подобрать константы такие, что удовлетворяет этим начальным условиям.

.

.

.

.........................................................................

.

Это – система линейных алгебраических уравнений относительно констант . Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом.

Следовательно, - общее решение.

Замечание. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n – мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

.

Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля

.

Вывод формулы Остроградского – Лиувилля.

Известна формула для производной определителя

.

Вычислим ...+

0+...+0+ .

, .

Замечание. В формуле Остроградского – Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.

Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка.

. Здесь формулу Остроградского – Лиувилля можно вывести проще. Рассмотрим - два частных решения

. , . Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем первое уравнение из второго.

.

Так как , то = .

Теперь уравнение можно переписать в виде . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского – Лиувилля

Формула для построения второго частного решения по известному

(построение фундаментальной системы).

.

Разделим обе части уравнения на

.

Отсюда . Нам надо найти частное решение, поэтому выберем С=1, C ₁=0, получим .

Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения.

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

.

Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.

1. - решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).

2. Зададим произвольные начальные условия , . Вычислим начальные условия для выбранного частного решения неоднородного уравнения . Получим систему линейных алгебраических уравнений для определения констант:

.

.

.

.........................................................................

.

Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом. Следовательно, - общее решение неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. . ( ).

Здесь обозначено , заметим, если - решение однородного уравнения, то .

Заметим, всегда, применяя метод вариации, надо делить на коэффициент при старшей производной, т.е. приводить уравнение.

Пусть найдено решение однородного уравнения

.

Варьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде

.

Дифференцируем это соотношение

.

Потребуем, чтобы

.,

тогда .

Дифференцируем еще раз

.

Потребуем, чтобы

.,

тогда .

Вновь дифференцируем и т.д., в результате, после n-2 дифференцирования получим

.

.

Дифференцируем и подставляем

+ .

в неоднородное уравнение .

+ =

Так как - решения однородного уравнения, то .

Получим .

Это – последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберем все уравнения в систему для определения констант.

.,

.,

........................................................

.

Так как определитель системы – определитель Вронского, не равный нулю в силу линейной независимости решений, то функции определяются из этой системы однозначно.

Теперь общее решение неоднородного уравнения определяется по формуле .

Лекции 17-18. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Начнем изучение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с однородных уравнений второго порядка. Дело в том, что в приближенных инженерных расчетах, в инженерной практике, в исследовании процессов и систем все часто строится на анализе систем, моделями которых служат линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядка. Вспомним, например, что вся механика строится на втором законе Ньютона, который можно записать в виде дифференциального уравнения второго порядка. Основные элементарные функции являются решениями уравнений первого и второго порядков. Экспонента является решением уравнения , - решения уравнения .

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

.

Будем искать его решение в виде . Подставляя в дифференциальное уравнение, получим

Так как то имеем

- характеристическое уравнение. Решая его, получим корни

.

Возможно три случая:

1) действительны и различны,

2) - комплексно сопряженные корни,

3) - действительный кратный корень.

В случае действительных, различных корней получаем решения

.

Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в виде

,

надо проверить линейную независимость . Составим определитель Вронского

, так как

.

Заметим, что для уравнения второго порядка проверять линейную независимость можно проще. Надо показать, что . Тогда столбцы определителя Вронского линейно независимы и . В нашем случае при .

В случае комплексно сопряженных корней , применяя формулу Эйлера получим комплексно сопряженные решения . Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже является решением, то являются решениями. Они линейно независимы, так как .

Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле

.

В случае кратного действительного корня одно из решений можно выбрать в форме .

Второе решение будем выбирать в виде . Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить .

,

Так как - корень характеристического уравнения, то . Так как еще и кратный корень, то по теореме Виета . Поэтому . Для определения имеем уравнение , отсюда . Выберем , получим .

Следовательно, . Решения линейно независимы, так как .

Характеристики

Список файлов лекций