LINALG7 (957118), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Предположим, однако, что многочлен делится на степень , большую, чем , т.е., предположим, что .

Отсюда сразу вытекает, что определитель делится на . Но этот последний определитель есть не что иное как характеристический многочлен оператора , являющегося сужением исходного оператора на подпространство (его матрица совпадает с подматрицей матрицы исходного оператора ). Следовательно, оператор имеет собственный вектор, принадлежащий его собственному числу . Этот вектор , с другой стороны, есть элемент собственного подпространства , что невозможно, так как , а (см. утверждение 1.13).

Итак, есть наибольшее число, такое, что характеристический многочлен оператора делится на . Но это и значит, что совпадает с алгебраической кратностью числа .

Теорема доказана.

На основании доказанного выше можно предложить следующий алгоритм вычисления спектра и собственных векторов самосопряженного линейного оператора.

1. Найти корни характеристического многочлена данного самосопряженного оператора (все эти корни суть собственные числа оператора, так как его спектр целиком лежит в вещественной области).

2. Выписать все попарно различные собственные числа:

1. Для каждого проделать следующее:

если кратность корня равна единице, то, решив однородную систему для вычисления собственного подпространства, принадлежащего данному собственному числу, пронормировать фундаментальное решение системы;

если кратность корня больше единицы, то множество фундаментальных решений соответствующей однородной системы следует ортогонализировать согласно процедуре Грама - Шмидта (п. 1.5, доказательство теоремы 1.1) - в результате будет построен ортонормированный базис собственного подпространства, принадлежащего данному собственному числу.

Пример. Оператор в задан матрицей (в каноническом базисе):

Так как матрица симметрическая, она (в выбранном ортонорме) определяет самосопряженный оператор, и его можно диагонализировать.

Характеристическое уравнение:

Раскрывая детерминант, получим:

Для первого корня (кратности 2) получим однородную систему, матрица которой совпадает с исходной. Ранг матрицы равен 1, и, полагая, , будем иметь:

Общее решение:

Фундаментальные векторы данной системы не являются ортонормированными. Используем процедуру ортогонализации для построения ортонорма в собственном подпространстве, принадлежащем собственному числу .

При имеем:

Совершая элементарные преобразования, состоящие в прибавлении ко второй и к третьей строке, умноженным на два, первой строки, получим:

Ранг матрицы, как и следовало ожидать, равен двум. Полагая , получим , и общее решение соответствующей однородной системы будет иметь вид:

Пронормировав, получим третий вектор в искомом ортонорме из собственных векторов:

В итоге диагонализированная матрица исходного оператора примет вид:

,

а матрица перехода от канонического базиса в к новому, состоящему из векторов , равна

Интересно дать геометрическую интерпретацию полученного результата. Если рассматривать исходный оператор как преобразование пространства геометрических векторов , изоморфного , то этот оператор, ранг которого равен единице, все векторы «укладывает» на прямую с направляющим вектором . Естественно, что все векторы, параллельные этой прямой, будут собственными. Остальные собственные векторы, принадлежащие нулевому собственному значению, переводятся в нулевой вектор. Заметим, что собственное подпространство, принадлежащее нулевому собственному числу, образует ядро оператора, а собственное подпространство, принадлежащее собственному числу 3, будет образом.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)