Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пример ~()'барочно(1 фермы, конфигурация которой оптимизировалась вместе с попе'~з~т1ными сечецняьги балок (119(, демонстрирует рис. 9.18. Исходная конфигу',~~и(ия. показана на рис. 9.18, а, а конечная конфигурация и поперечные сече- 'ЙГ(З вЂ” на Рис. 9.18, б. Нагрузка прикладывается к узлам 13, 14 и 15. Значения на ФЙе,:9.18, б представляют собой оптимизированные площади поперечных сече'цйй соответствующих элементов.
В ядогз~их структурах в качестве переменной оптимизации выбирается толшица."ггластины, Такой выбор переменной делает зту задачу задачей оптимизации РЮнэров, потому что форма и топология пластины остаются постоянными. Меняться может только толщина, которая считается постоянной в пределах одного элемента, но может варьировать при переходе от одного к другому.
Сетка построенная в предположении плавности изменения толщины, может оказаться недостаточно точнои. 1З ;1тз 14 6.5 б Рис. 9.18. Оптимизация конструкции фермы ;„-'; 9,5.2. Оптимизация формы Оятимизтщия формы (йоре орйтиа1юп) полразумевает сохранение неизменной топологии при изменении формы. Переменные оптимизации в этом случае задаж:форму конструкции. Заметьте, что побочным эффектом оптимизации формы обычно является оптимизация размеров.
Вообще говоря, оптимизация размеров ,;;,':;::: может считаться всего лишь частным случаем оптимизации формы. Переменные оптимизации могут быть параметрами, определяющими какие-либо "-;;-йеобенности формы или ее важнейшие размеры. Например, переменной оптими';; чации может быть радиус круглого отверстия нли длина стороны квадратного ", йтверстия в детали. Очевидно, что изменение этих параметров может значитель'::;::Зго'изменить геометрию. Чаще всего прн этом требуется перестроение сетки ко- ,„'.~:"-!: Йвчйых элементов.
Примеры оптимизации формы при помощи параметрических ;:.'.Мйременных рассматриваются в работе (22(. При оптимизации формы перемен-'. т;-:;;:~,'!';::, ~ми могут быть и параметры границ объемного тела. В частности, в качестве 1 т-"-" беременных можно взять координаты узлов, расположенных на границе тела. В' этом случае основное требование к модели состоит в том, что она не должна 'Ухудшаться в процессе оптимизации. Это может потребовать регенерации сетки :ЭЬнечных элементов на каждой итерации. Поэтому однозначное соответствие жажду сеткой элементов и переменными оптимизации нежелательно.
Исходная форма реактивной штанги приведена на рнс. 9.19, а. Координаты узлов на внеш:Жй границе считаются переменными оптимизации. Оптимизированная форма показана на рнс. 9.19, б. Заметьте, что вместе с формой изменилась и сетка коИвчных элементов (1631. б Рио. 9.19. Оптимизация формы реактивной штанги " "Ф:.!;6' Цу~~уртнмизэпии формы методом варьирования границ часто используется конц~~~элемента конструкции [73, 251. Элементами конструкции (т[ез1йп е!ешепгз) )~~[[автои области, на которые делится структура.
Границы каждой области за' "' " '"' зтабором переменных оптимизации. Каждый элемент конструкции может из множества конечных элементов. Структуру, состоящую из трех эле" ' '" конструкции, границы которых задаются переменными оптимизации, дерует рис. 9.20. Существует множество способов параметризации границ, и Флюэри [25] предложили представлять границы при помощи куби„;.~и у~~,дилайнов. По сути, они аппроксимировали исходную форму границ эле- т[[я[9[[эв,конструкции кривыми Безье и В-сплайнами.
Задающие точки кривых ,';ф)йз[)пряностей служили переменными задачи структурной оптимизации. Пара)[з[[туизованный В-сплайном элемент конструкции показан на рис. 9.21. Рио. 9.20. Эпемент конструкции о Грзничнью задающие точки ° Внутрвннив задающие точки О Звкрвппвнныв задающие точки Рио. 9.2З. Элемент конструкции, зппроксимироввнный и-сппайном 9.6.3. Оптимизация топологии Глобальная оптиьтнзация обязательно включает и оптимизацию топологии, то есть такнв изменения, которые включают создание новых границ и удаление сущест- вующих. Переменные топологической оптимизации (горо1ойр оркЬт,т д ) до 9. ны определять конкретную топологию детали.
Оптимиза и, мизация, следовательно, заключается в определении значений переменных, соответствующих такой топологии детали, которая делает поведение данной детали оптимал е- имальным по отноше- нию к структуре ":Й Первые попытки сконструировать топологическн оптимальные детали относились к проектированию фермоподобных (скелетообразных) стр . В " об- уктур. этои ласти были проведены достаточно подробные исследования. Обзо р литературы, посвященной оптимизации скелетообразных структур, дается Топпингом [154[.
Наиболее широко используется подход базовой структуры (игринев вппсгпге аррпнтсй), согласно которому пространство конструкции покрывается решеткой узлов. В этих узлах прикладываются нагрузки и задаются ограничения. Базовая структура получается путем соединения каждого узла со всеми остальными. фермоподобных структурах соединения называются элементами (твтпЬвг). Цростой алгоритм поиска позволяет оптимизировать базовую структуру для получения минимального веса при условии, что нагрузка не превысит предел пластичности. В процессе оптимизации лишние элементы базовой структуры удаляются автоматически, когда площадь их поперечного сечения оказывается равной нулю. Получившаяся в результате структура имеет оптимальную топологию. При таком подходе оптимальная структура не обязательно будет единственной, хотя оптимэлыюе значение веса структуры, конечно, единственно.
Если необходимо 4 учитывать ограничения на напряжения или смещения, приходится использовать методы нелинейного программирования. Автоматическое удаление лишних зле:„.-::;::. ментов оказывается существенно затрудненным, так как напряжения в элементах резко возрастают при стремлении площади их поперечного сечения к нулю. ругая проблема состоит в вырождении матрицы жесткости при удалении неко- торых элементов.
Впрочем, существует множество методов преодоления описан'..";,::.=.::,: ных трудностей [154, 621. На анн "ст ни в На ранней стадии в научении задач оптимизации топологии применялся струк- ~~~,',::,:::;-:.';турный анализ методом конечных элементов, после которого выполнялось уда"';.";;-',.- ление элементов с достаточно низкими напряжениями. Этот подход оказался не- ~1 удачным, потому что оказалось, что получающаяся в результате форма зависит плотности сетки конечных элементов.
Странг связал это поведение .':~.; 'от начальной у. е невыпуклой природой поставленной задачи. Кохи и Странг [89[ отметили, что "",~~';.;'.! исходная постановка задачи неудачна, и предложили ослабленную вариацион- :~;";;:,:::: ную задачу, допускающую наличие композитов (пористых материалов), а не .т;.::,;.'::.,:только нулей и единиц (отверстий и материалов) Бендсоу и Кикучи [17[ предположили, что материал является пористым, и , и ре- влачу оптимизации относительно степени пористости. Область конструк[' ции оп Ределялась ими как пространство, внутри которого должна поместиться делится на сетку ячеек, к которым прикладываются нагрузки.
За ,:,:;. '",-.: деталь. Область елит "Рь-:: . целев ю ь ж,. у функцию в данном случае принимается средняя податливость структуРы, а ограничением является максимальный вес. Структурное поведение анализируется методом конечн Ру д конечных элементов. За исходную форму детали п инимается вся область конструкции. Моделируемый материал считается пористым, для чего ., ему сопоставляется определенная микроструктура.
Ячейка такой микрострукту- '$т 'т ' ч х и ч (4з) рэт показана на рис. 9.22, а Предполагается, что материал состоит из бесконеч::: ' ного количества таких ячеек, бесконечно малых в этом пределе. Сузуки и Кику. ',чи (147( предположили, что полость в ячейке имеет прямоугольную форму, при,: чем длины сторон прямоугольника равны а и Ь. Размеры полости внутри ячейки :::,-:.'определяют общую пористость материала или долю незаполненного объема в ',цеэь Каждый конечный элемент имеет фиксированное значение пористости, пойтрму для каждого элемента задаются только два числа а; и Ьь где г — номер элевгеита. Размеры полостей вместе с ориентацией ячеек 0; рассматриваются как пе,-~дйепные оптимизации.
Определение угла ориентации ячеек иллюстрируег --'~~9. 9.22, 6. Изменение размеров полости и угла ее ориентации влечет за собой ")иэ)кипение свойств материала. в б Рис. 9.22. Размеры и ориентация единичной ячейки ';-'.;ай()к)хрешения задачи оптимального распределения пористости использовался :,-"-'з8~88Евяэм крвптврия оптимальяости (орйтайу спгвла а(доттгЬт) (17, 1471. Свой- : '4(1~Вэ,,:материала очевидным образом зависят от микроструктуры, а значит, и от ',:; ((аг)й()вра полости в каждой ячейке. Эти свойства являются непрерывными функ-:-,~81язати размеров полостей, в отличие от нулевых или ненулевых констант. Для ,.а))4(йвной степени пористости или заданных размеров полостей свойства мате- :,!: ~~48(за можно определить методам усредттвиия (Ьотойвииаг(оп твгйотт). Типичное :;:~;.':".;~~ошение между коэффициентом пористостн и размером полости демонст' сг'рис.
9.23. Для квадратной полости плотность единичной ячейки опредевыражением (1 — аг). Для определения коэффициента при каждом зна';:.:;~~йони размера полости необходимо выполнение анализа методом конечных "-,'~~мйтмеитов по всей единичной ячейке. На практике для получения соотношения, ))))казанного на рис. 9.23, коэффициенты Пэ вычисляются для конечного коли'к(встав значений размеров а, после чего функциональная связь определяется пу:- . Мм.интерполяции полученных значений полиномами Лежандра Таким образом, ' ', тлт(геделение соотношения требует многократного выполнения анализа методом )Фйзвчных элементов внутри единичной ячейки. Полученное соотношение будет ййым, если мы рассмотрим микроструктуру с другими геометрическими свойст; -'вз(ми. В процессе оптимизации свойства материала внутри каждого элемента :- ' ттй(Мделяются описанным способом по соответствующим значениям ач Ь, и йь "Алгоритм оптимизации приближается к оптимальному решению, увеличивая , 'размеры ногтостей в тех элементах, где материал нагружен недостаточно сильно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
