Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Границы ксегмента получаются путем вычисления точек пересечения кривой, ограничивающей пересекаклциеся поверхности, с кривой, по которой пересекаются эти поверхнцсти (относящиеся к разным телам). После получения границ ксегмента нужно сделать еще один шаг, чтобы разделить кривую пересечения в точках пересечения. Аналогичная процедура выполняется при создании и модифицированин кривых в системах автоматизированной разработки чертежей н системах поверхностного моделирования.
В этой главе мы кратко рассмотрим различные методы представления уравнений кривых и методы работы с ними. В часпюсги, мы изучим методы обработки пересечений н объединений кривых Более подробные сведения на тему этой главы можно найти в книгах по аналитической геометрии 149, 48, 72, 21]. наине (6.3), и явной нвпнрамэгярнввскоя язявахйэ нвигйжьйдярн'4авээгй ф э) фиг 'й у(уза,; " „"* фо ме. У 'каждого тяпа уравнений, примеры которых приведены 'выше, есть евпгг 'црйФ вЂ”: ь-:;:;; имущества и недостатки, определяющие удобство нх применения для:различнйк' целей. Мы сосредоточим внимание на применении уравнений к отобран(енащз ; ф;;:, .
кривых, поскольку интерактивная графика является одной нз важнейших ф)чщ": цнй САПР. Кривая, отображаемая на экране, в действительности представэгя~ч) собой набор коротких отрезков. Поэтому постоянно возникает иеобходиьгоогг; вычислять координаты точек кривой, находящихся на равном расстоян~йгщу)1 от друга. Это называется оычисэеяием кривой (шгпе ева!ипгюп), Можно ожидать, что точки окружности, зачаг1ной уравнением (6.1), могут быть получены подста', ~-:,' нонкой последовательных значений параметра, отличающихся друг от друга'цв небольшую величину.
При использовании уравнения (6.2), однако, мы не щгаеьг-, какую переменную следует выбрать в качестве независимой и последовательной увеличивать от точки к точке. Даже если мы выберем независимую переменнукь для каждого ее значения мы будем получать два значения зависимой перемен»:: (1 ной. Это означает, что нам придется выбирать одну из ннх таким образом, чтобы-: -,,:, она располагалась по соседству с предыдущей на(щенной нами точкой. Уравие ние (6.3) обладает тем же недостатком, несмотря на то, что в нем независимая' переменная уже выделена Из-за перечисленных недостатков пепараметрического представления в снеге' мах автоматизированного проектирования чаще всего используются параметрн:,," '::.
ческне уравнения кривых н поверхностей', поэтому в данной главе мы будем об: суждать только их. 6.1. Типы уравнений Уравнения кривых могут быть разделены на два основных типа. К первому типу относятся параметрические уравнения, описывающие связь координат х, у и г точки кривой с параметром. Ко второму типу относятся непараметрические уравнения, связывающие координаты х, у и г некоторой функцией. Проще всего продемонстрировать различие между ними на примере. Рассмотрим окружность радиуса 11, расположенную в начале системы координат. Если окружность лежит в плоскости ху, ее параметрическое уравнение может быть, например, таким: х — йсозО, у = йэ1пО, г =О (О < О ь2л).
(6.1) Ту же окружность можно описать уравнением и без параметра О: х +у -Я~ =О, г=О (6.2) или (6.3) 1 Центр, радиус и вектор нормали к плоскости, в которой лежв1 окружность, — примеры характеристических параметров, эквивалентных уравнению окружности. э Ксегл~е ятом называется часть крявон по когорои пересекаются лве грани относящиеся к разным объемным телам. Ксегмент принадлежит обеим граням. 6.2. Конические сечения Кривые или части кривых, получаемые сечением конуса плоскостью, называяи.'"- ся кояическвми сечениями (сокйс ээсг(опэ). В зависимости от положения н ориен". тации секущей плоскости по отношению к конусу кривая сечения может быть окружностью, эллипсом, параболой или гиперболой.
В большинстве случаев профили деталей могут быть представлены в виле конических сечений, посколь'- ку детали машин чаще всего обладают осевой симметрией. 6.2.1. Окружность и дуга окружности Окружность нлн дуга окружности, лежащие в плоскости ху, с заданным радиусом Я н коордннатамн центра Х„У, могут быть представлены уравнениями !',-" х = НсозО+Х, у = Яэ1пО+У„. В некоторых случаях точки пересечения кривых удобно искать, если одпэ из кривых эа-.
'; лана в параметрической форме, э другая — в пепараметряческой. Поэтому в отлельяьПГ системах используется преобразование уравнений иэ параметрической формы в неш1я~- метрическую я обратно. Это преобразование рассматривается в книге (69~. у =ЬяпО г =О. ение см( — 90" ) 0 яп(-90" ) 0 0 1 О 0 -яп(-90" ) О соз(-90" ) 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 ! Решение 0 1 =[О у+1 х+1 1'[.
х' =0; у =у+1= ЛяпО+1; г* = х + 1 = т1 соя 6+ 1 (О < 0 ~ 2я). 10 0Х,. 0 1 0 У, 0 0 1 0 0 0 0 1 сы тр -э!птр 0 0 яптр соз тр 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 у О 1 'у~КЕ цтМВЧВЛОКВ1::-ей![1!Э)щтИЕ' Крнацй яюяГЭКФХ"::)йягПШГ1ягЬж'1~йучпяг':)итйия3В)я 'тельной пОдстзз(ОВЙЙ Й:а~Зияние фйвчещъй 6 р птагом: п(т-Значение. О,.м(пфт йгвть 2я,для,' налццй йкру)киосш йли меньшего числа для пути'окру~щось, вчсние ЬО'должий быть'.подобрано таитм образом, чтобы выццсление было татт)чцо быстрым, но окружность не попучилась бы похожей на миогоугольЙтт' Уравнение окружности, лежащей в другой плоскости, может быть получено риагейеиием матриц преобразования к уравнению (6А). Матрицы преобразовафж..рэссьтатривзются В разделе 3.7.
6.1 Яружность единичного радиуса с центром п точке (О, 1, 1) лежит в плоскости ' гсщ показано на рисунке'. Выведите т[араметрическое уравнение этой окружасти; 'применив соответствующие матрицы преобразований к уравнению (6.4). сходная единичная окружность, лежашзя в плоскости ху, изображена на рикв пунктиром, а интересующая нас окружность — сплошной линией. Сплошокружность получается из пунктирной поворотом на угол -90' вокруг оси у последующей трансляцией на 1 в направлениях у и г. Обозначим координаты ' чек сплошной окружности буквами х, у' и г', а координаты точек пунктирной ужности буквами х, у и г. Тогда преобразования запишутся следующим образом: [х у' 0 1[~ = Траты(01,1)Кот(у,— 90:)[х у 0 1[~ = Равнение зтон кривой может храниться в памяти п визе характеристических парзмет'4х1э, таких как вектор нормали (1, О, О), координаты центра (О, 1, 1) я радиус 1. Как уже отмечалось.
задание этих параметров эквивалентно написанию уравнения. 6,4.,Ъ Эдипе и эг1пиптичесиая д!гге Эллипс, как и окружность, может быть задан параметрическим уравнением, За'-' пишем такое уравнение для эллипса, лежащего в плоскости ху, с центром в на'.Йдв координат. Положим, что болыпая ось эллипса направлена вдоль оси х и имеет длину а, а малая ось направлена вдоль оси у н имеет длину Ь. Параметрическое 1 уравнение эллипса будет таким: х =асмО; (6.5) Диапазон значений параметра для эллипса составляет [О, 2[, а для дуги эллипса может быть более узким. Произвольный эллипс на произвольной плоскости.с произвольными направлениями большой и малой осей получается в результате применения матриц преобразования, подобно тому, как мы делали это с окружностью. Пример 6.2 Получить параметрическое уравнение эллипса, лежащего в плоскости ху, с коор-' динатами центра Х У,.
Оси эллипса направлены так, как показано на приведен- ном ниже рисунке. Требуемый эллипс может быть получен поворотом исходного эллипса на угол вокруг оси г и трансляцией его на величину Х, в направлении х и на величину У, С в направлении у. Обозначим ксюрдинаты точек интересующего нас эллипса бук'- вами х', у' н г', а координаты точек исходного эллипса буквами х, у и г.
Тогда преобразования запишутся следующим образом: [х' У' 0 1[~ = 7тапз(Хт,'т'„, 0) Кгх(г,тз)[х У 0 1[т = х спятся-уз(в<я+ Х, хягнр+ у созтр+ г', 0 1[. Х'-.'= Х ббпр]Ь'-'' у З)ПЛр+ Жг'='"а ССВФоййоеь ЬаПОМйт)Г+ 'Х,; у',=' хзпир+ у соз а+ У, =' асов Озлив+ Ьз(пОсоз луг+ У;; =О (О<9<2п). - 6.3.3. Гипербола ',"Известно, что неявное уравнение гиперболы (рис. 6.1) имеет следующий вид: — — =1. х у (6.6) а Ь Рис. 6.1. Гипербола : Уравнение (6.6) может быть записано в параметрической форме'. х = а сп и; .
б.2.4. Парабола Парабола, симметричная относительно оси х и проходящая через начало коорди- нат, может быть задана следующим явным уравнением: х =су'. Это уравнение может быть преобразовано к параметрическому вилу: х =пг; г (6.8) (6.9) 'Н Напомним, что сЬи = (е" + е ")/2 и з1ли =(е" — е ")/2. Из уравнения (б.б) можно полу' ч "ть и другие параметрические уравнения. у =ЬзЬ и. (6.7) '''Здесь используется известное тождество сЬт и — з)лг и = 1. Диапазон значений параметра и для уравнения (6.7) определяется исходя из координат конечных то' чек описываемой гиперболы. Применение соответствующих матриц преобразо.
ваний к уравнению (6.7) позволяет получить уравнение пшерболы с центром в любой точке пространства, ориентированной произвольным образом. Заметьте,: что параметрическое уравггейие'(6.9) 'не является удикаяьныьг'пг1~-':: . -:; ношению к уравнению 6.8): вы можете выбрать любое удобное єарамегрнччеекбе уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
