Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Хотя зту функцию можно выбирать достаточно произвольной, рекомендуется все же пользоваться простыми по форме выражениями. : 2. Граничная поверхность 5 из формулы (5.4) может рассматриваться как наба 1раней объекта 5,. Поэтому интеграл по всей поверхности преобразу сумму по отдельным граням: Цо(х,У,г)1Ь = ~~~ 1эо 5 ~=! где 15, = Ц С(х, у, г ) 1Ь, а п — количество граней. ,3. К . К' . "ый из поверхностных интегралов 1!1, в формуле (5.5) может быть преобразован в лвойной интеграл по области изменения параметров, определяющих уравнение поверхности грани 5,. Если быть более точным, двойной интеграл запишется так, как показано ниже, при условии, что уравнение поверхности для грани 5, имеет вид Р(и, о) = х(и, о)! + у(и, о)] + г(и, о)11'.
1!1, = Ц б]х(и,о) у(и,о) г(и,о)](.]] йи(о, (5.6) к гле Н, — конечная область плоскости ио, соответствующая 51, а Ц ~ — это якобиан. Якобнан компенсирует разницу между бесконечно малым участком 1Ь и бесконечно малой областью параметрического пространства 1(иг(о. Определяется якобиан так: таблица 5.2. Значения параметров и веса для квадратуРы Гаусса 1 0,500 000 000 0,211 324 865 0,788 675 135 0,500 000 000 н,т=З 0,112 701 665 1 0,277 777 778 0,500 000 000 2 0,444 444 444 0,887 298 335 0,277 777 778 0,069 431 844 0,173 927 423 0,326 072 577 0,330 009 478 0,669 990 522 0,930 568 156 3 0,326 072 577 4 0,173 927 423 0,046 910 077 ОсП8 46З 44З 0,230 765 345 0,239 314 335 Подынтегральное' выражейие в формуле (5.6) мохсет 6!ать ' Пуедстайде)гозн:: виде функции н(и, о) от переменныа, и и о заменой правой част74',у]нэн56':;.:.
1„ ния (5.7) для (.) ]. Тогда из уравнения (5.6) получим: 1у, =ЦН(и,о)г(иг(о. (5,~:,-' Если область Щ представляет собой квадрат, описываемый неравенсткайй]! ' 0 < и <1 и 0 < о <1, то двойной интеграл в уравнении (5.8) можно оценйть яг4е"' ' лепно при помощи квадратуры Гаусса: 1У, = П Н(и и) йн1о и г ~ и! и, Н(и„о! ) (5.й~:; я -11--1 ' ' Как видно из формулы (5.9), квадратура Гаусса может использоваться:7ос]Г(!: оценки интеграла путем выборки некоторых значений, присваивания ж:1 весов и суммирования с учетом этих весов. Точность результата, таким абра "! зом, зависит от размеров выборок я и гл, а также от значений параметров !Ре;"'-' комендуемые значения и и о, а также веса для конкретных значений и и1.и,.
приведены в табл. 5.2. Другие значения и и э! требуют использования других!" групп. Квадратура Гаусса мажет использоваться только для интегралов, дий' ':;. назон значений которых лежит в интервале ат 0 до 1. 0,500 000 000 0,284 444 444 (5.7) ~ дР(и, г ) дР(и, о) ди 5(о различные формы Р(и,о) лля разных поверхностей рассматриваются в главе 7. Поскольку площади выражаются через двойные интегралы, подход, использованный ~:; вычисления выражения (5.8), может использоваться н для расчета поверхноэт(вг~Ё свойств. ОЛ18 463 443 л;т=б 0,180 380 787 0,233 956 967 0,233 956 967 0,180 380 787 0,085 662 246 0,033 765 243 0,169 395 307 0,380 690 407 0,619 309 593 0.830 604 693 0,966 234 757 '.
Грань 5; не всегда отображается на квадрат. У атой грани может быть более ,-- четырех криволинейных границ и множество внутренних отверстий. Область общего вида, на которой вычисляется двойной интеграл (5.8), может выгля' деть так, как показано на рис. 5.43. Двойной интеграл на области неправильной формы нельзя вычислять методом квадратуры Гаусса. Однако его можно преобразовать в контурный интеграл вдоль границ области неправильной формы по теореме Грина: Ц ' — ' ~ «СшЬ = ~(Р(игп)«Си+ а(ип) «««], (5ЛО) Гда(и,п) дР(и,п) ] ди «Ъ ' где под символом у понимается контурный интеграл по замкнутой границе области )Со Для многосвязной области, подобной изображенной на рис.
5.43, интеграл распадается на сумму контурных интегралов по внешней границе и внутренним границам. Направление внутренней границы, обозначаемое С,(с), противоположно направлению внешней границы Сг(с), чтобы интеграл по контуру С, автоматически вычитался при суммировании. Существует множество комбииацМ:а«(й.в):и Р(и,в) удоилетворямФФкг у]хФ:, нению (5.11). Один из простейпп«х наборов а(и и) и Р(игв) молснц плуг«итгь.
положив Р(и,п) = 0: (5:12» '-: Однако нелегко получить Н(и, о) и а(игв) в явном виде„если уравнение пггр верхности Я; задано в такой форме, которую нелегко раскрыть„например'в., виде уравнения В-сплайна. Тиммер обошел зту проблему, приблизив Н(и, 'и). полиномом от и и р по численным значениям Н(и, р). Тогда вта функция ~.- жег быть выражена следующим образом: Н(и, о) = ~~~,'~ а„и'о'. (5.13): -а С=а Подстановка (5.13) в (5.12) дает следующее выражение: и м 1 а(и,п) = ч~ ч~ — ави'"и'. (5Л'4)— =ог=ос+1 Отсюда формулу (5,8) можно раскрыть в форме «р, = 1а(и,о) «Сп. (5.15) 5. Контурный интеграл по замкнутой границе может быть разложен в сумму интегралов по каждому из сегментов кривой.
Следовательно, уравнение мож- л но переписать в виде « «р, = ~~,а(игп) г)а (5Л6)] где ( — интеграл по сегменту криволинейной границы, взятый в направлеНВМ: г! « обхода всей границы (см. шаг 4), а х~ — суммирование по всем сегмеитв]в,' /=1 границы. Любой сегмент криволинейной границы области ип может быть задан привв'-' '." ь денным ниже параметрическим уравнением: и = и(с), и = п(с), 0 < с < 1. (5.17) . Подставляя (5.17) в (5.16), получим ~р, = Ц а]и(с),с(с)] — ««с, (5Л8) ь4 о где каждый интеграл, стоящий под знаком суммирования, может быть взис« ' точно по уравнению кривой каждого из сегментов или приближенно при по-;.
мощи квадратуры Гаусса. Рно. 6.43. Неправильная область длл двойного интеграла : .Чтобы воспользоваться формулой (5.10), нам нужно определить а(игв) и . Р(и, о), удовлетворяющие уравнению дс«(и,п) дР(и,п) ди «ю 5.4. Немногообразные системы моделирования -' В предыдущем разделе мы отмечали, что системы твердотельного моделирошния позволяют пользователю создавать тела с замкнутым объемом, то есть, гоа.'фй":: математическим языком, тела, представляющие собой многообразия (тппфй5.;-'"л.
' Параметрические уравнения различных кривых рассматриваются в главе 6. Мг,ге,бдяаиаы)ъ.тц~~гэ:%гтвтяэпеэаи)ЮЩаитг:~ВЗггаггйЕФРтпгтУР,,'НЕ:ЯагнцйППГХЯОЯ ;.,ого~гбйазн)гМН. НаРУФеннйми. Условия ыйоггя169эднвсти ивлеотея„' например, 'сание'двух йоверхностей в одной точке, касание двух поверхностей вдоль от- й.
или замкнутой кривой, два замкнутых объема с общей гранью, ребрсзи вершиной, ребро, выступающее из точки на поверхности, а также поверхно' и„- образующие структуры типа сот (рис. 5.44). роясиим различие между моделями, являющимися многообразиями, и моде- н„не являющимися таковыми. В многообразии каждая точка на поверхности ' 'яется двумерной, то есть ее окрестностг гомоморфна двумерному дис- 11561. Другими словами, хотя поверхность существует в трехмерном проранстве, с топологической точки зрения она является плоской, если рассмат'"' ть достаточно малый ее участок в окрестности любой заданной точки. сторически все системы твердотельного моделирования с представлением Вар работали только с многообразиями 111, 12, 23, 471.
В модели, не являю'йся многообразием, окрестность некоторой точки на поверхности не обязана плоской. Точка может быть пересечением двух и более топологически плоповерхностей (1гь 1гг и Уг на рис. 5.44, а, б и г) или плоской поверхности ~одномерной кривой ($~ на рис. 5А4, в). Рис. $.44. Модели, не яеляющиеся многообразиями ~ вас может возникнуть вопрос, зачем создавать модели, не являющиеся много>Разними, подобно изображенным на рис.
5.44, Запрет на создание немнопюб1зных мо делей считался одним из достоинств систем твердотельного моделиро ! ванна, посколвку благодаря этому' ,любую...йозданную;и„такой хггвтеме,,:мп4(е7гьможно было бы изготовить. Если же вы хотите'работать с системой.геометрг(че. ского моделирования на протяжении всего процесса разработки,,это доетоийьтвгв оборачивается другой стороной. Конструктор, которому нужен пластиковый' контейнер, мог бы начать с модели, подобной рис. 5.44, г, не вводя заранее дзг1 '..: ных о толщине стенок контейнера.
А геометрическая модель, показанная::на рис. 5А4, в, могла бы стать естественным началом для структуры, состоящей йэт объемного блока и пластины, прицепленной к нему жгутом. Абстрактная модель со смешением измерений удобна тем, что оиа не стеснйбз творческую мысль конструктора. Модель со смешанными измерениями мгэярт. содержать свободные ребра, слоистые поверхности и объемы. Абстрактная',';мо: дель полезна также тем, что она может служить основой для проведения анализа. На каждом этапе процесса проектирования могут применяться свои анадть тические средства.
Например, если иам нужно провести анализ компонбйтэ'. методом конечных элементов, мы будем формировать сетку элементов на базй абстрактной модели, подобной изображенной на рис. 5.44, г, а не из объемнгф модели, стенки которой имеют нужную толщину. Немногообразные модели,пег заменимы как этап развития проекта от неполного описания на низких уровняМ до готового объемного тела.
К сожалению, обычные системы геометрического моделирования (каркасныв,' . -;, поверхностные и твердотельные) не поддерживают представление немнопю6. разных моделей, показанных на рис. 5.44. Большинство абстрактных моделей, появляющихся на промежуточных стадиях процесса разработки, состоят из смб) си одномерных, двумерных и трехмерных элементов (рис.
5А4, в) или только:на элементов пониженной размерности (рис. 5А4, г). Поэтому существует потребность в системе моделирования, которая имела бы схему представления, способ'- ную осуществлять переходы между одномерными, двумерными и трехмерныгги' геометрическими элементами. Такие системы моделирования называются 'нв;-'.';.. многообразными (поплюпЦоЫ тЫв(гни яузгвтз). Они позволяют использовать',:"'', каркасные, поверхностные, твердотельные и сотовые модели одновременно в од«; ной и той же среде моделирования, расширяя диапазон доступных моделей';...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
