Джордж, Лю - Численное решение больших разреженных систем уравнений (947498), страница 32
Текст из файла (страница 32)
1) йЕТОйМ 00 300 К 2, МА МОВЕ АЙНАУ(К) 1 К - 1 1Р (Е .ЕТ. 1) СО ТО 200 1Р ( АййАУ(!.) .ЕЕ. МОВЕ ) АЙНА!'(!.+1) АййАУ(1.) 1. Š— 1 СО ТО 1ОС. АННАУ (2+ 1 ) МОВЕ СЮИТ!МОЕ ЙЕ'П)НМ ЕМО 00 ТО 200 200 300 1Е ( МАВОЙ .СЕ. В1.КВЕС ) СО ТО !00 1Р ( М2ОЧТ .ЕЕ. ИАХМ2 ) МЕЯОВБ(М2ОЧТ) МАВОЙ МЕСМТ М2СМТ + ! СО!(Т1МСЕ УУЮРЯДОЧИТЬ ИНДЕКСЫ 3 - Й СТРОКИ ° лачам2 хмОН2(1) 1Е ( МЕСИТ вЂ” 1 .
ЕЕ. ИАХМ2 ) САЕТ. ЯОЙТБ! (МЕОЧТ - )ХМОМ2, МЕБОВЯ()ХМОМ2)) СОМТ1М(!Е СОМУ!МОЕ ХМОМ2(ВЕКЕМВ+1) МЕСИТ МАХ!2 М2СМТ - 1 НЕТСЙМ ееаэ о1ь Гл 6 Методы фактор-деревьев по значению входного параметра МАХ)4о. Она будет продолжать считать ненулевые элементы, но перестанет хранить их столбцовые индексы.
Перед выходом из подпрограммы переменной МАХНУ присваивается значение, равное числу найденных ненулевых элементов. Поэтому пользователь должен проверить, не было ли значение МАХНУ увеличено подпрограммой. Увеличение свидетельствует, что заданная длина массива ИУЯ)ВЯ недостаточна. РИТАШ (Р1Нб Тгее АШасепсу) Назначение этой подпрограммы — определять структуру смежности заданного монотонно упорядоченного фактор-дерева.
Напомним (раздел 6.2.2), что структура монотонно упорядоченного корневого дерева полностью характеризуется Рис. 6А.З. Пример вектора тАТНЕм. функцией Ра1нег. для узла х соотношение Ранг(х)=у означает, что уеиА6)(х) и (единственный) путь от корня к х проходит через у. Наше представление структуры фактор-дерева является вектором (называемым РАТНЕК) длины р, где р— число блоков. На рис. 6.4.3 показан вектор РАТНЕР для фактор-дерева рисунка 6.3.3.
Заметим, что РАТНЕР(р) всегда полагается равным нулю. Входными данными подпрограммы РЫТАШ являются: структура смежности графа (ХАШ, АШНС'т'), древовидное упорядочение (РЕ(хМ, (г(ЧР) и древовидное разбиение (ИВЕКВ, ХВ) К). Для хранения номеров блоков, соответствующих узлам при заданном разбиении, используется рабочий вектор ВМЗМ длины й(. С ° ° ° ° ° ° ° С ° ° ° С 5ОВКО<ЗТ1МЕ РМТАО) ( ХАО), АО)МСУ, РЕКИ, 1МУР, 1 МВОК5, ХВ1.К, РАТНЕК, В)ЯЗМ ) С С* ° 1 ° * 00 200 К 1, МВОК5 1вткт хвОК(к> 15ТОР ХВОЕ(К+!) - 1 ОО 100 1 15ТЯТ, 15ТОР МООЕ РЕЯМ(1) ЯМОМ(МООЕ) К СОМТ1 МОЕ СОНГ 1 МОЕ 100 200 С С С ДЛЯ КАЖДОГО БЛОКА. РАТНЕЯ(МВОК5) 0 МВМЗ МВОК5 - 1 1Р ( МВМ1 .ЕЕ.
0 ) КЕТЗЗКМ ОО 600 К 1, МВМ1 15ТКТ ХВОК(К) 15ТОР ХВОЕ(К+!) — 1 С С С С С С С С С С С С С С С С С С С РМТАО.З ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ СМЕЖНОСТИ ° ФАКТОР -ДЕРЕВА ° ° ° ~ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ОПРЕДЕЛЯЕТ СТРУКТУРУ СМЕЖНОСТИ ФАКТОР - ДЕРЕВА ДЛЯ ЗАДАННОГО ГРАФА, СТРУКТУРА ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ ВЕКТОРОМ РАТНЕЯ . ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ(ХАОЗ, АОЗМСУ) - СТРУКТУРА СМЕЖНОСТИ ГРАФА, (РЕЯМ. 1МУР) - ВЕКТОРЫ ПЕРЕСТАНОВОК . <мвОК5, хв1к> - ДРЕВОВИДНОЕ РАЗБИЕНИЕ.
ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТРРлтнея - ВектОР отцоВОУВА для ФАКТОР -деРеВА. РАБОЧИЙ ПАРАНЕТРВМОМ - РАБОЧИЙ ВЕКТОР ~ ХРАНЯМЗ,ИЙ НОНЕР БЛОКА ДЛЯ КАЖДОЙ ПЕРЕНЕННОЙ. 1МТЕОЕЯ АО1МСУ(З), ВМОМ(1), РАТНЕЯ(1), !МУР(З), 1 РЕЯМ(1), ХВОЯ(!) 1МГЕОЕЯ ХАО)(!), 1, 15ТОР, 15ТКТ, 3, )ВТОР, 35ТЯТ, 1 К, МАКОВ, МВЕК5, МВМ!, МВЯВЗ.К, МОВЕ ЗАПОЛНИТЬ ВЕКТОР ДЛЯ НОМЕРОВ БЛОКОВ. НАЙТИ ОТЦОВСКИЙ БЛОК В СТРУКТУРЕ ДЕРЕВА ОО 400 1 15ТЯТ, 15ТОР МООЕ РЕЯМ< 1 > 15ТКТ ХАО)(МООЕ) ЗВТОР ХАО1(МООЕ+1) -1 1Р < 15ТОР .ОТ. 15ТЯТ ) 00 ТО 400 00 300 Ю ЮВТЯТ, 35ТОР МАВОК АОЗМСУ(1) МВЯВ1.К ВМОМ(МАЗОК) Х(4 Гв б.
Методы Фвктор-деревьев 1е ( мвавьк .6т. к ) 60 тО 000 СОМТ1 МОЕ СОМТ1МОЕ ВАТНЕЯ(К) 0 60 ТО 000 ЕАТНЕН(К) МВКВ1.К СОМГ1МПЕ аЕтоам емп Работа подпрограммы начинается с заполнения вектора ВЬП)М (цикл ОО 200 К =...). Затеи она проходит циклом ((еО 600 К =...) по блокам разбиения, устанавливая для каждого номер отцовского блока. Если такого блока иет, то соответствующее значение в массиве РАТНЕР пола(ается равным нулю. й 6Л.
Подпрограммы численных этапов Т5ГСТ (Тгее 5упппе(г)с гаСТог(аа((оп) и Т55!.У (Тгее 5ушгпе(Пс 50ЕЧе) В этом разделе мы опишем подпрограммы, реализующие численное разложение и решение блочных линейных систем, ассоциированных с фактор-деревьями и хранимых по разреженной схеме, введенной в разделе 6.4.!.
Подпрограмма ТЗРСТ выполняет асчмметричный вариант разложения, поэтому мы напомнви процедуру асимметричного блочного разложения из раздела 6.!.! и исследуем возможности ее усовершенствования. 6,6.! Вычисление матричной поправки Пусть матрица А, как н в разделе 6.!.), представлена в блочном виде е)' Напомним, что в схеме разложения матричная поправка У"В-'У, используемая для формирования матрицы С = С— — Ут — 'У, вычисляется следующим образом. У (~.
в И и 'У) ) = У Й в ~) = У )У Заметим еще, что матричная поправка Ут)У симметрична и (к)опг (У)(: Р)опг(йг) Поищем теперь эффективный способ вычисления пооизведения Ч')У. Пусть (э — разреженная (гХз)-матрица, Н вЂ” (з)ее) -магри. ца. Для (-й строки (т' положим )((6)=ш(п(! ~д( ~ О), ! <((». (6.6.!) Е 65. Подпрограмма ТКЕТ и Т55'ьт' 215 Таким образом, г,(С) — это столбцовый индекс первого ненулевого элемента (-й строки О. Предположим, что матричное произведение ОН симметрично. Ниже мы покажем, что для вычисления этого произведения нужна лишь часть матрицы Н.
На рис. 6.5П показан пример для г= 4 и в = 8. Если произведение ВН симметрично, то при его вычислении можно игнорировать заштрихованную часть Н, как это вытекает из следующей леммы. могтно гнорородамь Рнс. 6.5Л. Разреженное симметричное матричное произведение Лемма 6.5Л. Если матричное произведение ВН симметрично, то оно полностью определяется матрицей В и следующнл~ подмножеством элементов матрица Н: (йр ~ 1а (6) < ( < з) Доказательство.
Достаточно показать, что каждый элемент матричного произведения можно вычислить по 6 и указанному подмножеству элементов матрицы Н. Так как произведение симметрично, то его элементы в позициях (йй) и (я,г) можно определить по любой из двух формул: или Е йьгйи. т-ге <а> Для определенности положим )'е(6)(Г,(6). Тогда элемент (йй) можно вычислять, пользуясь первой формулой, для чего нужны элементы 6 и те й ы для которых (а(6)((,(6) =(~в. Они принадлежат заданному подмножеству элементов. С другой стороны, если )а(6) ) ),(6), то можно использовать вторую формулу, которая опять-таки требует только элементов заданного подмножества. Это доказывает лемму. й б.б.
Подпрограммы ТзгСТ и Т551.Ч 21т Порядок, в котором вычисляются элементы произведения, зависит от структуры матрицы (или, точнее, от столбцовых индексов 1,(ьг), 1 < г ~ г). Например, при формировании алел для матриц рисунка 65.1 порядок вычислений тот, что указан на рис.
6.5.2. С учетом сказанного можно исследовать преобразование подматрицы С в С=С вЂ” У В 'У=С вЂ” У (г.в (йв У)). Как отмечено в разделе 6.1.1, поправку можно вычислять по столбцам следующим образом: 1) Распаковать столбец и = У„матрицы У. 2) Решить систему Вш = и путем решения треугольных и систем Евв =и и л.эти= ш.
3) Вычислить вектор и = Угв и положить С„, = С, — л. Так как матрица УгФ симметрична, то к этому процессу модификации приложима лемма 6.5.1, и потому нет необходимости вычислять на шаге 2 по и полный вектор то При решении системы а,э (а,в и) = и можно не вычислязь компоненты в,' находящиеся выше первого ненулевого элемента и Таким образом, в действительности достаточно решить меньшую систему.
Это может значительно сократить вычислительную работу в процессе разложения. Пример приведен в упр. 65.1. г!е Пычееяегеечея Перйэгй ченуаеуе элемеит 6.5.2 Подпрограмма ТЯРСТ (Тгее Зупцпе1Нс РаСТолгаВоп) Подпрограмма ТБРСТ выполняет асимметричное блочное разложение ') для системы со структурой фактор-дерева. Способ вычисления матричной поправки — тот, что описан в предыдущем разделе. Входными данными подпрограммы являются: информация о древовидном разбиении, хранимая парой (МВ(.КВ, ХВЕК) и вектором РАТНЕЙ; структура данных, состоящая из ХЕРУ, ХАРОНУ '! Оборот «симмстричнос разложение» относится к точу обстоятельству, что матрица, как и всегда в методе Холссского, представляется яроизвсдс.
кием взаимно трансцонированных множителей, а оборот «асимметричное блочнос разложснись — к тому, что цри этом используется асимметричная схема иэ раздела 6.1.!. — Прим. перев. 218 Гл. б Методы фактор-деревьев и МУЗ()ВЗ, и векторы основной памяти О1АО, ЕМУ и МОМУ. При входе векторы О1АО и ЕМУ содержат ненулевые элементы блочной диагонали матрицы А.
На выходе ненулевые элементы блочной диагонали Т. будут записаны на место одноименных элементов А. Поскольку используется неявная схема, то ненулевые элементы А, расположенные вне диагональных блоков, хранятся в КОМУ без изменения. Используются два рабочих вектора длины М. Вещественный вектор ТЕМР используется для распаковки столбцов внедиагональных блоков, и в нем выполняются операции над распакованными столбцами, предусмотренные численной процедурой. йояВЕП ЯОпЕЫП рмх СО~.ЗкЕ Рис. В.В,З, Иллюстрация роли некоторых важных локальных переменных используемых подпрограммой ТБтСТ. Второй рабочий вектор РЖЬТ вЂ” это целый массив, облегчающий индексирование вектора МУЬБВЬ, (См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
