Гладкий - Формальные грамматики и языки - 1973 (947381), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Лексически размеченный язык (Уз Е, Г) называется о д н о р о д н ы м, если, каковы бы ни были две окрестности, пересекающиеся с одним и тем же семейством, любое семейство, пересекающееся с одной из этих окре'стностей, пересекается и с другой, или, другими словами, если из аЗЕЬ следует, что для любого а'ее?'(а) найдется Ь' ~ Г(Ь) такое, что а'ЗЕЬ' (содержательно — из взаимозамещаемости хотя бы одной формы слова") А с некоторой формой слова В следует, что и любая форма слова А взаимозамещаема с какой-либо формой слова В). 3 а м е ч а н и е. Легко понять, что приведенное определение равносильно следующему: лексически размеченный язык однороден, если, каковы бы нн были два семейства, пересекающиеся с одной и той же окрестностью, любая окрестность, пересекающаяся с одним из этих семейств, пересекается и с другим.
Таким образом, семейства и окрестности в определении однородности равноправны. Пример 1. Рассмотрим шесть предложений; Есть новый дом, Он боится нового дома, Он идет к новому дому, Он любит новый дом, Он знакомится с новым домом( Он говорит о новом доме, Обозначим через множество, состоящее из этих предложений и всех тех, которые можно получить из них, подставляя вместо форм слова дом соответствующие формы слов стол, лампа, грядка и изменяя, если нужно, прилагательные так, чтобы предложение осталось правильным. Через У обозначим множество всех ЛЗ-сегментов*"), встречаю- шихся в цепочках из Е. Эквивалентность Г определим естественным образом (например, дом Г дому, ..., новый Г новым Г новую ... и т.
и.). Легко убедиться, что Вь (дом) = (дом, стол), Зь(лампе) = (лампе, грядке) и т. д. Непосредственно проверяется, что лексически размеченный язык (У, Е, Г) однороден. Имеем, например, дом Вп стол; для ЛЗ-сегмента дому взаимозамещаемой с ним формой слова стол будет столу, для домом — столом и т. п. (рис. 17, а) ).
Добавим теперь к У всевозможные ЛЗ-сегменты, являющиеся формами единственного числа слов ведро, дерево, и к Š— предложения, полученные из шести исходных заменой форм слова дом формами слов ведро, дерево так же, как раньше. Эквивалентность Г доопределим естественным образом.
Новый лексически ') Точнее — лексемы. [Лексема — зто «слово как единица словаря» (Зализияк !967, стр. 201; разумеется, речь здесь идет об обычном словаре, а не о словаре в том смысле, в котором зто слово по. стоянно употребляется в настоящей книге.) "') Фактически мы выписываем сегменты [ср. сноску *) на стр.
327!. «пил[ ОКРЕСТНОСТИ, КЛАССЫ и ТИПЫ ЗЗ[ ЗАМЕ!ПАЕМОСТЬ [П, П размеченный язык — обозначим его (1", (.', Г') — уже не будет однородным. Действительно, легко проверить, что Вс (дом) =(дом, стол) и 5с (дому) =(дому, столу, ведру, дереву). Поэтому 5с (ведру) П Г' (дом) = (дому) чь Ф х[, но [с (ведру) П 5с (дом) =к[ (рис. 17,б)). Если, наконец, добавить к каждому предложению из 1' придаточное который (-ая, -ое) всем понравился Рес. 17. (-ась, -ось) (с соблюдением согласования) и доопределить соответствующим образом [7 и Г', то полученный лексически размеченный язык (У", !.", Г") снова будет однородным, так как в нем каждое семейство существительных содержит формы слов только одного рода; например, ведру нельзя заменить на дому в предложении Он идет к новому ведру, которое всем понравилось.
Множества Г" (дом) () Г" (стол), Г" (лампа) () Г" (грядка) и Г" (ведро) () Г" (дерево), т. е, множества всех форм существительных одного рода, будут, очевидно, в ()7", 1.", Г") классами. Окрестность Г" (новый) образует отдельный класс. Обозначая через 8 алфавитный гомоморфизм ()А»)* на ()7"/Г»)', видим, что все окрестности существительных взаимозамещаемы относительно 0(1.") (поскольку для каждого из слов, согласующихся с существительными, — новый, который, понравился, — формы всех трех родов входят в одну окрестность).
Поэтому существительные образуют тип. Остальные классы и типы. как легко убедиться, совпадают с окрестностями. В частности, особый тип образуют все формы слова яовый; легко понять, что если бы мы добавили к Р'» еще какие- нибудь прилагательные, соответствующим образом расширив 1." и доопределив Г", то все прилагательные составили бы один класс и один тип (а прочие классы и типы остались бы без изменения).
Таким образом, классы в ([7", 1.", Г") попарно не пересекаются, так что отношение «принадлежать одному классу» есть эквивалентность на )[". Сразу видно, что эта эквивалентность является 1."-регулярным укрупнением Г" и ее 1.»-производная эквивалентность совпадает с Гс- г-. Следующие рассмотрения показывают, что такая же ситуация имеет место для всякого однородного лексически размеченного языка. Теорема ПП.б.
В однородном лексически размечеинолс(языке всякий класс порождается любым семейством (любой окрестностью), пересекающимся (-ейся) с ним. Д о к а з а т е л ь с т в о ввиду замечания, сделанного после определения однородности, достаточно провести для случая класса, порожденного семейством. Пусть (17, 1., Г) — однородный лексически размечен ный язык и х — класс, порожденный семейством о.
Рассмотрим произвольное семейство о'„пересекающееся с х, и порожденный им класс х'. Условие о' П х Ф Я означает, что о' пересекается с некоторой окрестностью, пересекающейся с о; поэтому, по вышеупомянутому замечанию, любая окрестность, пересекающаяся с о, пересекается и с о', и обратно, что дает х = х'. Пусть теперь у — произвольная окрестность, пересекающаяся с х, и х" — порожденный ею класс. Окрестность у пересекается с некоторой окрестностью, пересекающейся с о, и, значит, совпадает с ней; таким образом, у П о Ф Е[. Если а ~ х, то Г(а) пересекается со и, стало быть (пр определению однородности), 5е(а) пересекается с у, что означает 5е(а): — х", так что а~х".
Следовательно, х — х". Если Ь ен х", то 5А(Ь) пересекается с у; поэтому, по использовавшемуся выше замечанию, 1'(Ь) пересекается с о, т. е. Г(Ь) ~ х и Ь ~ х; итак, х" с: — х. 332 ЗАМЕШАЕМОСТЬ (п, и 4 пн.з1 ОКРЕСТНОСТИ. КЛАССЫ И ТИПЫ ззз 3 а меч ание. Обращение этой теоремы также справедливо, и притом в усиленной форме (см. упражне-, ние ПП. !0). С л е д с т в и е. Если (У, Е, Г) — однородный лексически размеченный язык, то любые два его класса либо совпадают, либо не пересекаются. Иначе говоря, суи(ествует эквивалентность Кь г на У такая, что аКь,г Ь ' тогда и только тогда, когда а и Ь принадлежат одному классу. Ясно, что Кь,г является укрупнением для бь и для Г.
Но сверх того имеет место Те о р е м а ПП. 6. Если (У, Ц Г) — однородный лексически размеченный язык, то Кь,г является Е-регулярным укрупнением Г. До к аз а тельство. Нам нужно показать, что в условиях теоремы любые две окрестности, содержащиеся в одном классе, взаимозамещаемы относительно языка ' Ог(Е), где Ог — алфавитный гомоморфизм У' на (У/Г)'. Пусть х — класс, у, н у, — окрестности, содержащиеся ' в х, и $, г) — цепочки окрестностейтакие, чтобу!Т) ~ Ог(Ц. Тогда найдутся такие цепочки х, у ее У* н такое а е ун что Ог(х)=$, Ог(у)=г) и хауенЕ. Ввиду однородности (У, Ц Г) класс х порождается некоторым семейством, а отсюда по той же причине следует, что в у, ' найдется элемент Ь, взаимозамещаемый с а, так что ' хбуеэ.Ц и поэтому йузт)~Ог(Е).
Итак, у,Фу,; обрат-. ное доказывается так же. Пусть теперь Кс,г — Е-производная эквивалентность для Кцг По теореме ПП.О и лемме ПП.4 Кс,г есть 1:регулярное укрупнение Г; поэтому Т, г является укрупнением Кс, г. В то же время по теореме ПП.З из взаимозамещаемости двух окрестностей относительно Ог(Е) следует взанмозамещаемость содержагцих эти окрестности классов относительно Ок г(Ц (Ок г— алфавитный гомоморфизм У" на (У(КЫ г)"), а это озна-, чает, что Кс, г есть укрупнение Тц г Итак, Кс г = Тс, г.
В русском языке однородность имеет место лишь . для «малых» фрагментов, наподобие рассмотренного в примере 1; как мы сейчас увидим, при существенном расширении этого фрагмента однородность не сохра. няется. Но для языков с более простой системой имен- ' ного словоизменения (идеальный случай — эсперанто) можно, видимо, обеспечить однородность и в довольно представительных моделях.
Понятие класса может, впрочем, служить основой содержательно интересных «категоризаций» и при отсутствии однородности; что же касается понятия типа, то на его лингвистическую интерпретацию условие однородности, видимо, существенным образом не влияет. Проиллюстрнруем это на примере, которым мы и завершим настоящее приложение. П р и м е р 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
