Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Перемещение точки. Векторы и скаляры Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию. Эта линия называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямо- линейное движение, движение Троенвррия г по окружности, криволинейное движение и т. д. Пусть материальная точка (в дальнейшем мы для кратко- 1 стн будем говорить просто точка) переместилась вдоль некотоРвс.

3. рой траектории из точки 1 в точ- ку 2 (рис. 3). Расстояние от точки 1 до точки 2, отсчитанное вдоль траектории, пред. ставляет собой пройденный путь. Мы будем обозначать его буквой э. Отрезок прямой, проведенный из точки 1 в точку 2, называется перемещением. Обозначим его гиь Перемещение характеризуется, кроме своей величины (равной длине отрезка гм), также и направлением. Действительно, рассмотрим два одинаковых по величине перемещения гм н гм (рис. 4). Несмотря на равенство -длин этих отрезков, они явно представляют собой совершенно различные перемещения.

Величины, подобные перемещению, подчиняются особому правилу сложении, которое можно уяснить на следующем примере. Пусть точка совершает последовательно два перемещевиш гм и гм (рис. 5). Суммой этих двух перемещений естественно назвать такое переме1х щенпе гэа, которое приводит к тому же результату, что и первые два перемещения вместе. Величины такого рода, как перемещение, т.

е. характеризующиеся численным значением и направлением, а также складывающиеся по правилу, показанному на рис. 5, называются векторами. К числу векторов принадлежат скорость, ускорение, сила и ряд других величин. Величины, для задания которых достаточно одного численного значения, называются скалярами. Примерами скаляров могут служить путь, время, масса и т. д. г Рис. 4. Векторы принято обозначать буквами жирного шриф- та. Например, вектор перемещения из точки 1 в точку 2 обозначается г1а.

Та же буква обычного шрифта озна- чает численное значение или, как говорят, модуль соот- ветствующего вектора '). Для обозначения модуля поль- зуются также символом вектора, заключенным между двумя вертикальными черточками. Таким образом, ] А ! = А = модулю вектора А, 1г,з!=г,а= модУлю вектоРа г,а. Модуль вектора — скаляр, причем всегда положи- тельныйй. На чертежах векторы изображаются в виде прямо- линейных отрезков со стрелкой на конце.

Длина отрезка в устанонленном масштабе дает модуль вектора, а ука- занное стрелкой направление отрезка дает направление вектора. Показанная на рис. 5 операция сложения некторов символически записывается следующим образом: г~з+ газ= г~з. В При письме векторы обозначают буквами со стрелкой иад ними (например, Пэ), В этом случае та же буква без стрелки озна- чает модуль вектора. аз й 2. Некоторые сведения о векторах Векторы, направленные вдоль паранлельных прямых (в одну и ту же или в противоположные стороны), называютсн коллинеарными. Векторы, направления которых параллельны одной и той же плоскости, называются компланарными. Одинаковые по модулю коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону, считаются равными друг другу'). Равные по модулю коллн- неарные векторы, имеющие противоположные направления, считаются отличающимися друг от друга по знаку.

Так, 6 например, между векторами, изображенными на рис. 6, и их модулями имеются следующие соотношения: А=В; А= — С; В= — С; А=в-С нли )А)=!В!=~С1 Рис. 6. Рис. 7. несколько подробнее. Пусть нам даны два вектора А и В (рнс. 7,а). Чтобы получить результирующий век- ') Имеются в виду так называемые свободные векторы, т. е. векторы, которые могут быть отложены из любой точки пространства. Кроме свободных, бывают скальзяпгие векторы, начало которых может снользить по прямой, прохадяпьей через вентор, н связанные векторы, т. е, векторы, прилаженные к определенной тачке. Последние два вида векторов могут быть выражены через свободные векторы; па атой причине в основу векторного исчисления по.

ложена понятие свободного вектора, называемого обычно просто векторам. Сложение векторов. О том, как складываются два вектора в результирующий вектор, была уже речь в предыдущем параграфе. Рассмотрим теперь этот вопрос тор С, перенесем вектор В параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось совмещенным с концом вектора А') (рис. 7,6). Тогда вектор С, проведенный из начала вектора А в конец вектора В, будет представлять собой результирующий вектор: С=А+ В.

Можно, однако, осуществить построение несколько иным способом (рис. 7,в). Перенесем вектор В (или А) так, чтобы начала обоих векторов оказались совмещенными. Затем построим на векторах А и В параллелограмль Диагональ этого параллелограмма, очевидно, совпадает с вектором С, полученным по способу, показанному на рис. 7,6. По этой причине иногда говорят, что векторы складываются по правилу параллелограмма. Оба рассмотренных способа — 6) и в) — дают одинаковый результат. Однако в случае сложения более чем двух векторов способ 6) оказывается более простым и удобным.

Пусть даны векторы А, В, С и 0 (рис. 8). Перенесем векторы параллельно самим себе таким образом, б) в) Рис. 8. чтобы начало последующего вектора оказалось совмещенным с концом предыдущего. Получится ломаная линия. Результирующий вектор будет представлять собой вектор Е, проведенный из начала первого из слагаемых векторов А в конец последнего )). Легко убедиться в том, что результирующий вектор Е не завислп от последовательности, в которой складываются заданные векторы. г(а рис. 8, 6 показан случай Е = А + В + С + О, а на рис.

8,в — случай Е = л) + В + С + А. ') Такой перенос можно рассматривать как замену вектора В равным ему вектором, имеющим начало, совпадающее с концом вектора Аь Вычитание векторов, Разностью двух векторов А — В называется такой вектор С, который в сумме с векто- Ряс. иь Ряс. з. ром В дает вектор А (рис. 9). Поскольку разность А — В может быть представлена в виде А — В=А+( — В), вектор С = А — В можно получить, сложив вектор А с вектором, равным по величине вектору В, но имеющим противоположное ему направление. На рис.

! 0 сопоставлены сумма и разность векторов А н В. Разложение векторов иа,составляющие. М Каждый вектор А модг жно заменить несколькими векторами Аь Аг и т. д., которые в сум- А,, ме дают вектор А. $ В этом случае векторы Аь Аг и т.д. называкп- Ю ся составляющими векрис.

!!. тора А. Саму операпню замены вектора А не- сколькими векторами называют разложением вектора А на составляющие. На рис. 11 показано разложение век- тора А на составляющие, имеющие направления пря- моугольных координатных осей, Символами А„, А„, А, обозначены составляющие вектора А по осям х, у и Проекция вектора иа ось. Пусть нам даны вектор А и некоторое направление в пространстве (ось), которое мы обозначим, например, буквой и (рис.

12). Проведем через начало и конец вектора А плоскости, перпендикулярные к направлению и. Точки 1' и 2', в которых пересекаются эти плоскости с осью и, называются проекциями начала и конца вектора А на ось н. Величина отрезка оси, заключенного между плоскостями, называется проекцией вектора А на направление (илн на ось) и. Проекция вектора — скаляр. Если направление от точки 1' к точке 2' совпадает с направлением и, проекция считается положительной; в противном случае проекция отрица- л 1 тельна.

Проекция обозначается той же буквой, что и сам вектор, ' У с добавлением индекса, обозна- гз чающего то направление, на которое спроектирован вектор. Например, проекция вектора А на Рис. 12. направление а обозначается А„. Введем в рассмотрение угол <р, который образует вектор А с осью и (рис. 12).

Проекция Ав, очевидно, может быть вычислена следующим образом: А„= А соз <р, (2.1) где А — модуль вектора А. Если вектор образует с данным направлением острый угол, косинус этого угла положителен, проекция вектора также положительна. Если вектор образует с осью тупой угол, косинус этого угла отрицателен, проекция также отрицательна. Если вектор перпендикулярен к данной оси, проекция его равна нулю. На рис. 13 показаны проекции нескольких векторов на координатные оси к и у.

Для этих проекций имеют место следующие соотношении: А„=С )О, В„<0; А„=В„>О, С„<0. Если вектор А образует с осями х, у и г углы я, р и у, то его проекции будут равны: (2.2) 2 И. В. Савельев. т. 1 А =А сова, А„=Асозй, А,= А сову, Легко понять„что по ааданным проекциям вектора на три координатные оси может быть построен сам вектор. Следовательно, всякий вектор может быть определен тремя числами — проекциями его на оси координат. Напомним, что скаляр задаетсн одним числом.

У Рассмотрим сумму нескольких векторов Е = = А+ В+ С+Р (ркс. 14). Очевидно, что Ек=.йх+~.к+Се+ ~'х. (2.3) т. е. проекция суммы векторов на некоторое направление равна сумме проекций слагаемых векторов на т. же направление. !В Радиус-вектор. Радиусом-вектором тачки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис. 15). Радиус-вектор г однозначно определяег положение точки в пространстве. Его проекции на координатные ося равны, как видно из рисунка, декартовым координатам точки: х» га р гд а (2.

4) Квадрат модуля вектора г равен сумме квадратов координат: г'= ха+уз+аз. (2.5) Умножение вектора ф на скаляр. В результате умножения вектора А на скаляр а получается новый вектор В, модуль которого в 1а~ раз боль* Рис. 15. ше модуля вектора А, а направление совпадает с направлением А, если скаляр а положителен, и противоположно ему, если скаляр а отрицателен.

Характеристики

Список файлов книги