Методические указания по кручению (864171), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВПринимаем начало координат на свободном конце стержня (рис.2,а).Стержень имеет три участка загружения.1-й участок: ( 0.0 ≤ x 1 ≤ 0.4м , рис.3). Сечением 1-1 мысленно рассекаемстержень на две части. Рассматривая часть стержня между началом координат исечением 1-1 и приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осиX, получим1314∑mx= 0, M x − 1.6 = 0, M x = 1.6кНм.Рис.

3. Первый участок загружения.2-ой участок: ( 0.4м ≤ x 2 ≤ 1.6м, рис.4).∑mx= 0, M x − 1.6 − 1.5 = 0,M x = 3.1кНм .Рис.4. Второй участок загружения.3-й участок: ( 1.6м ≤ x 3 ≤ 2.4м, рис.5).Рис.5. Третий участок загружения.∑mx= 0, M x − 1.6 − 1.5 + 2 + 3 ⋅ ( x 3 − 1.6 ) = 0, M x = 5.9 − 3 ⋅ x 3 .Приx 3 = 1.6мM x = 1.1кНм,приx 3 = 2.4мM x = 5.9 − 3 ⋅ 2.4 = −1.3кНм.Определим координату сечения, в котором M x = 0 .5.95.9 − 3 ⋅ x 3 = 0. Отсюда x 3 == 1.97 м .3Эпюра крутящих моментов M x представлена на рис. 2.б.153.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАМЕТРА СТЕРЖНЯ СПЛОШНОГОКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯНаибольший по абсолютной величине крутящий момент от нормативнойнагрузки по эпюре M x равен M nx max = 3.1кНм (см. рис.2,б). Наибольший расчетный крутящий момент равенM x max = M nx max ⋅ γ f = 3.1 ⋅ 1.2 = 3.72кНм .Диаметр круглого поперечного сечения определяем из условия прочности (1)Mπ ⋅d3Wx ≥ x max , где W x =(см.

табл.1).16[ τ]16 ⋅ M x max 3 16 ⋅ 3.72 ⋅ 10 −3Отсюда d[ τ] ≥ 3== 0.0574м = 5.74см .π ⋅ [ τ]π ⋅ 100Из условия жесткости (2)Mnx maxπ ⋅ d4Jx ≥, где J x =G ⋅ [ θ]32(см. табл.1).32 ⋅ M nx max 4 32 ⋅ 3.10 ⋅ 10 −3Отсюда d[ θ] ≥ 4== 0.0838м = 8.38см .π ⋅ G ⋅ [ θ]π ⋅ 8 ⋅ 104 ⋅ 8 ⋅ 10 −3Из двух полученных значений принимается наибольший диаметр сокруглением в большую сторону d = 8.4см .π ⋅ d 2 π ⋅ 8.42Площадь поперечного сечения А === 55.4 см 2 .4444π⋅dπ ⋅ 8.4Полярный момент инерции J x === 488.8 см 4 .3232π ⋅ d 3 π ⋅ 8.4 3Полярный момент сопротивления Wx === 116.4 см 31616Из условия прочности (1) допускаемый крутящий момент равен[ M x ] [τ] = [ τ] ⋅ Wx = 100 ⋅ 10 3 ⋅ 116.4 ⋅ 10 −6 = 11.6 кНм .Из условия жесткости (2)[ M x ] [θ] = [ θ] ⋅ G ⋅ J x ⋅ γ f = 8 ⋅ 10 −3 ⋅ 8 ⋅ 107 ⋅ 488.8 ⋅ 10 −8 ⋅ 1.2 = 3.75 кНм .В качестве допускаемого расчетного момента принимаем наименьшее изэтих двух значений [ M x ] = 3.75 кНм .3.4.

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ УГЛОВ ЗАКРУЧИВАНИЯОтсчитываем углы поворота ϕ(x) сечений относительно неподвижногоопорного сечения ( x = 2.4м ). По (12) составим выражения для ϕ(x) на участках загружения стержня и определим значения ϕ(x) в характерных сечениях.163-й участок (1.6 м ≤ x 3 ≤ 2.4 м; рис. 2.а)2.4ϕ(x 3 ) = ϕ(2.4) −∫x3M x (x 3 )⋅ dx 3 .G ⋅ JxПри G ⋅ J x = 8 ⋅ 107 ⋅ 488.8 ⋅ 10 −8 = 391 кНм 2 , ϕ(2.4) = 0 иM x = ( 5.9 − 3 ⋅ x 3 ) кНм (см. п.3.2) будем иметь2.4()11 5.9 ⋅ ( 2.4 − x 3 ) − 1.5 ⋅ 2.4 2 − x 32  рад .5.93xdxϕ(x 3 ) = −−⋅=−()33∫391 x 3391 Для построения эпюры ϕ(x 3 ) на 3-м участке задаем значения x 3 через0.25 ⋅ a = 0.25 ⋅ 0.8 = 0.2 мϕ(2.2) = 5.12 ⋅ 10 −4 рад , ϕ (2.0) = 7.16 ⋅ 10 −4 рад , ϕ(1.97) = 7.20 ⋅ 10 −4 рад ,ϕ(1.8) = 6.14 ⋅ 10 −4 рад , ϕ(1.6) = 2.05 ⋅ 10 −4 рад .2-й участок (0.4 м ≤ x 2 ≤ 1.6 м; рис.

2.а)1.6ϕ( x 2 ) = ϕ(1.6) −∫x2M x (x 2 )⋅ dx 2 .G ⋅ JxПри M x ( x 2 ) = 3.1 кНм (см. п.3.2) получимϕ(x 2 ) = 2.05 ⋅ 10 −4 −3.1 ⋅ (1.6 − x 2 ).391Отсюда находим ϕ(1.6) = 2.05 ⋅ 10 −4 рад , ϕ(0.4) = −93.1 ⋅ 10 −4 рад .1-й участок (0 м ≤ x1 ≤ 0.4 м; рис. 2.а)0 .4ϕ( x1 ) = ϕ(0.4) −∫x11.6 ⋅ ( 0.4 − x1 )M x ( x1 ).⋅ dx1 = −93.1 ⋅ 10 −4 −G ⋅ Jx391Имеем далее ϕ(0.4) = −93.1 ⋅ 10 −4 рад , ϕ(0) = −109 ⋅ 10 −4 рад .Для контроля найдем значение ϕ(0) по следующей формулеM (x)1Ωϕ(0) = − ∫ x⋅ dx = −⋅ ∫ M x (x) ⋅ dx = −=GJGJGJ⋅⋅⋅xx 0x02.42.41  1.1 − 1.3⋅⋅ 0.8 + 3.1 ⋅ 1.2 + 1.6 ⋅ 0.4  = −109 ⋅ 10 −4 рад ,391 2где Ω - площадь эпюры крутящих моментов.По полученным значениям на рис.

2.в построена эпюра углов закручивания поперечных сечений стержня.=−174. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСКАЕМЫХ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ ДЛЯСТЕРЖНЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ФОРМАМИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ4.1. КРУГЛОЕ СЕЧЕНИЕ С ОТВЕРСТИЕМ (рис.6)d0= α = 0.9dИз равенства площадей сплошного A o и полого A nкруглых сечений находим внешний диаметр d кольцевого профиля2π ⋅ d 2   d0   π ⋅ d 2An =⋅ 1 −    =⋅ ( 1 − α 2 ) = A o = 55.4 см 2 ,4   d  4d=4 ⋅ Ao(π⋅ 1− α2)=4 ⋅ 55.4= 19.3см .π ⋅ 1 − 0.9 2()Тогда d 0 = 19.3 ⋅ 0.9 = 17.4 см .Из условия прочности (1) допускаемый крутящий момент равен[ Mx ] [τ] = [ τ] ⋅ Wx ,π ⋅ d3π ⋅ 19.334где Wx =⋅ 1− α =⋅ 1 − 0.94 = 485 см 3 .1616[ Mx ] [τ] = 100 ⋅ 103 ⋅ 485 ⋅ 10−6 = 48.5 кНм .()(Из условия жесткости (2))[ Mx ] [θ] = [ θ] ⋅ G ⋅ J x ⋅ γ f ,π ⋅ d4π ⋅ 19.344где J x =⋅ 1− α =⋅ 1 − 0.94 = 4684см 4 .3232[ M x ] [θ] = 8 ⋅ 10 −3 ⋅ 8 ⋅ 107 ⋅ 4684 ⋅ 10 −8 ⋅ 1.2 = 36.0 кНм .()()В качестве допускаемого расчетного момента принимаем [ M x ] = 36кНм .4.2.

ПРЯМОУГОЛЬНОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ (рис.7)Находим размеры b и h поперечного сеченияA np = b ⋅ h = β ⋅ b 2 = 1.3 ⋅ b 2 = 55.4 см 2 ,b=55.4= 6.53 см , h = 1.3 ⋅ 6.53 = 8.49см .1.318Определяем геометрические характеристики сечения. Значения коэффициентов k 1 и k 3 находим с использованием линейной интерполяции по табл. 2.Для 1.25 ≤ β ≤ 1.5 будем иметьk 1 (β ) = k 1 (1.25) += 0.223;k 3 (β ) = k 3 (1.25) += 0.177 .Тогда1.3 − 1.25β − 1.25⋅ [ k 1 (1.5) − k 1 (1.25) ] = 0.221 +⋅ ( 0.231 − 0.221 ) =1.5 − 1.250.251.3 − 1.25β − 1.25⋅ [ k 3 (1.5) − k 3 (1.25) ] = 0.172 +⋅ ( 0.196 − 0.172 ) =1.5 − 1.250.25Wx = k 1 ⋅ h ⋅ b2 = 0.223 ⋅ 8.49 ⋅ 6.532 = 80.7 см 3 ;J x = k 3 ⋅ h ⋅ b3 = 0.177 ⋅ 8.49 ⋅ 6.533 = 418 см4Из условия прочности (1)[ M x ] [τ] = [ τ] ⋅ Wx = 100 ⋅ 103 ⋅ 80.7 ⋅ 10 −6 = 8.07 кНм .Из условия жесткости (2)[ M x ] [θ] = [ θ] ⋅ G ⋅ J x ⋅ γ f = 8 ⋅ 10-3 ⋅ 8 ⋅ 107 ⋅ 418 ⋅ 10-8 ⋅ 1.2 = 3.21 кНм .Окончательно принимаем [ M x ] = 3.21кНм .4.3.

ТОНКОСТЕННОЕ ТАВРОВОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ (рис.8)Площадь тавраA = δ1 ⋅ h + δ 2 ⋅ b = h ⋅ η ⋅ h + b ⋅ η ⋅ b = η ⋅ ( h 2 + b 2 ) =()()2= η ⋅  ( β ⋅ b ) + b 2  = η ⋅ b 2 ⋅ 1 + β 2 = 0.04 ⋅ 1 + 1.32 ⋅ b 2 == 0.1076 ⋅ b 2 = 55.4 см 2 .Откуда будем иметь b =55.4= 22.7 см .0.1076Учитывая заданные соотношения, получимh = 1.3 ⋅ 22.7 = 29.5 см , δ1 = 0.04 ⋅ h = 0.04 ⋅ 29.5 = 1.18 см ,δ2 = 0.04 ⋅ b = 0.04 ⋅ 22.7 = 0.908 см .Находим геометрические характеристики сеченияδ13 ⋅ S1 + δ23 ⋅ S 2 1.183 ⋅ 29.95 + 0.9083 ⋅ 22.7Wx === 18.7 см 3 ,3 ⋅ δmax3 ⋅ 1.18δ13 ⋅ S1 + δ23 ⋅ S 2 1.183 ⋅ 29.95 + 0.9083 ⋅ 22.7Jx === 22.1 см 4 .3319Из условия прочности[ M x ] [τ] = [ τ] ⋅ Wx = 100 ⋅ 103 ⋅ 18.7 ⋅ 10 −6 = 1.87 кНм .Из условия жесткости[ M x ][θ] = [ θ] ⋅ G ⋅ J x ⋅ γ f = 8 ⋅ 10 −3 ⋅ 8 ⋅ 107 ⋅ 22.1 ⋅ 10 −8 ⋅ 1.2 = 0.170 кНм .Окончательно принимаем [ M x ] = 0.17кНм .4.4.

ТОНКОСТЕННЫЙ ЗАМКНУТЫЙ ПРОФИЛЬ (рис.9)δδh= β = 1.3 , 1 = 2 = η = 0.04 ,bh bA = 2 ⋅  b ⋅ δ2 + ( h − 2 ⋅ δ2 ) ⋅ δ1  == 2 ⋅ ( b ⋅ δ2 + h ⋅ δ1 − 2 ⋅ δ1 ⋅ δ2 ) =()= 2 ⋅ η⋅ b 2 + β ⋅ b ⋅ η⋅β ⋅ b − 2 ⋅ η⋅β ⋅ b ⋅ η⋅ b =()= 2 ⋅ η⋅ b 2 ⋅ 1 + β 2 − 2 ⋅ η⋅β = 0.207 ⋅ b 2 = 55.4 см 2 ,b=55.4= 16.4см, h = 1.3 ⋅ 16.4 = 21.3см ,0.207δ1 = 0.04 ⋅ 21.3 = 0.852см, δ2 = 0.04 ⋅ 16.4 = 0.656 см .Вычисляем геометрические характеристики сечения (табл.1)Wx = 2 ⋅ Ω ⋅ δmin = 2 ⋅ h0 ⋅ b0 ⋅ δmin = 2 ⋅ ( 21.3 − 0.656 ) ⋅ ( 16.4 − 0.852 ) ⋅ 0.656 = 421см3 ,2 ⋅ h02 ⋅ b02 ⋅ δ1 ⋅ δ2 2 ⋅ 20.642 ⋅ 15.55 2 ⋅ 0.852 ⋅ 0.656Jx === 4300 см 4 .h0 ⋅ δ2 + b0 ⋅ δ120.64 ⋅ 0.656 + 15.55 ⋅ 0.852Из условия прочности[ M x ] [τ] = [ τ] ⋅ Wx = 100 ⋅ 103 ⋅ 421 ⋅ 10 −6 = 42.1 кНм .Из условия жесткости[ M x ] [θ] = [ θ] ⋅ G ⋅ J x ⋅ γ f = 8 ⋅ 10 −3 ⋅ 8 ⋅ 107 ⋅ 4300 ⋅ 10 −8 ⋅ 1.2 = 33.0 кНм .Окончательно принимаем [ M x ] = 33.0кНм .5.

ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ПО ПРОЧНОСТИИ ЖЕСТКОСТИ СТЕРЖНЕЙДля оценки прочности и жесткости профиля поперечного сечения заполним табл. 3 данными выполненных расчетов.20Таблица 3Результаты расчетовВеличиныА, м 2wxix[ Mx ][τ] , кНм[ Mx ][θ] , кНм[ Mx ] , кНмТип сеченияСплошное Полое Прямоу- Тонкостенное Тонкостенноекруглое круглое гольноетавровоекоробчатое55.455.455.455.455.40.2821.180.1960.0451.020.1591.530.1360.00721.4011.648.58.011.8742.13.75363.210.17333.75363.210.1733Из данных таблицы следует, что при равных площадях поперечных сечений наибольший крутящий момент воспринимает тонкостенный стержень замкнутого профиля (полое круглое и коробчатое сечения).

Это означает, что полые сечения с малой толщиной стенки являются наиболее рациональными прикручении.6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА НА ЭВМФайл с исходными данными для выполнения рассмотренных выше расчетов по программе SHAFT имеет следующий вид:200// расчетное сопротивление (МПа)200000// модуль упругости (МПа)0.25// коэффициент Пуассона1.2// коэффициент надежности по нагрузке0.008// допускаемый относительный угол закручивания (рад/м)2.4// длина вала (м)1.3// h/b0.9// d0/d0.04// delta1/h=delta2/b3// число сосредоточенных пар-1.6 0// величина 1-ой пары (кНм) и ее координата (м)-1.5 0.4// величина 2-ой пары (кНм) и ее координата (м)2 1.6// величина 3-ей пары (кНм) и ее координата (м)1// число распределенных пар3 1.6 2.4 // величина 1-ой распределенной пары (кНм/м) и ее координаты (м)21Результаты расчетов представлены ниже.Величина максимального крутящего момента:Mmax = 3.100 кНм, Xmax = 0.40 м.Оценка результатов расчета по прочности и жесткости стержней-----------------------------------------------------Тип¦ Сплошное ¦ Полое ¦ Прямоу- ¦ Тавровое ¦ ЗамкнутоеСечения ¦ круглое ¦ круглое ¦ гольное ¦ тонкост.

¦ тонкост.-----------------------------------------------------A,¦ 55.167¦ 55.167 ¦ 55.167 ¦ 55.167 ¦ 55.167кв. см. ¦¦¦¦¦-----------------------------------------------------wx¦0.282¦ 1.171 ¦ 0.195¦0.045 ¦ 1.016-----------------------------------------------------ix¦0.159¦ 1.516 ¦ 0.134¦0.007 ¦ 1.391-----------------------------------------------------Mmax, кНм ¦ 11.56¦ 47.997 ¦ 7.971¦1.857 ¦ 41.611по прочн. ¦¦¦¦¦-----------------------------------------------------Mmax, кНм ¦3.72¦ 35.438 ¦ 3.128¦0.168 ¦ 32.513по жестк. ¦¦¦¦¦-----------------------------------------------------Размеры подобранных сечений:Сплошное круглое сечение: d = 8.381 см, GJx = 387.500 кН*м*м.Круглое сечение с отверстием: d = 19.227 см, d0 = 17.305 см.Прямоугольное сечение: b = 6.514 см, h = 8.469 см.Тонкостенное тавровое сечение:b = 22.643 см, h = 29.436 см, delta1 = 1.177 см, delta2 = 0.906 см.Тонкостенный замкнутый профиль:b = 16.330 см, h = 21.229 см, delta1 = 0.849 см, delta2 = 0.653 см.Эпюры крутящих моментов и углов закручивания(для сплошного круглого сечения)----------------------------------x, м ¦ М(x), кНм ¦ Fi(x)*10000, рад----------------------------------0.0001.600-110.450.4001.600-93.940.4003.100-93.931.6003.1002.061.6001.1002.061.8000.5006.192.000-0.1007.232.200-0.7005.162.400-1.3000.0022КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СДАЧЕ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ1.

Характеристики

Список файлов книги