М.Н. Кирсанов - Задачник термех (2005) (853867), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Записываем их в симметричную матрицуb11 b12B=.b21 b224. Вычисляем собственные значения λ1,2 матрицы B.5. Находим частоты собственных колебанийpωk = 1/ mλk , k = 1, 2.Решение1. К шарниру C, наделенному массой, прикладываем единичную(безразмерную) горизонтальную силу (рис. 24). Находим реакцииопор XA , XB , YB от единичной силы.YBСоставляемдля этого три уравнения6XB1-C3равновесия фермы как жесткого целого:1XA-24Рис. 24XA + XB + 1 = 0;YB = 0;XA l sin 60◦ = 0.5D(IV.3)Очевидное решение системы: XA = 0, YB = 0, XB = −1. Методомвырезания узлов 1) определяем усилия в стержнях (рис. 25 — 27).Рассматриваем равновесие узла, прикладывая к нему внешние силы(если таковые имеются) и усилия отброшенных стержней, направляяS1◦60 S4XAAРис. 25]S260◦S4 Рис.
26S5 60◦YB 6S3- XB60◦S5Рис. 27векторы усилий по стержню из узла к стержню. Номера стержнейуказаны на рис. 24.1)Не менее эффективно использовать Риттера или метод сечений [6].78Колебания узла фермыРаздел IVРавновесие узла A (см. рис. 25):XA + S1 cos 60◦ + S4 = 0;S1 sin 60◦ = 0.(IV.4)Равновесие узла D (см. рис. 26):− S2 cos 60◦ + S5 cos 60◦ − S4 = 0;S2 sin 60◦ + S5 sin 60◦ = 0.(IV.5)Равновесие узла B (см. рис. 27):XB − S3 − S5 cos 60◦ = 0;YB − S5 sin 60◦ = 0.(IV.6)Последовательно решая системы (IV.4 — IV.6), получаем S1,1 = S1,2 == S1,4 = S1,5 = 0, S1,3 = −1. В обозначении для ответов S1,k первыйиндекс указывает направление приложенной единичной силы.
Индекс 1соответствует горизонтальной единичной силе, 2 — вертикальной силе.Второй индекс — номер стержня.2. К шарниру C прикладываем единичную вертикальную силу(рис. 28). Находим реакции опор от единичной силы. Составляемдля этого уравнения равновесия ферYBC 61мы в целом (проекции на оси и сумма6XBмоментов относительно точки B):XA-DРис. 28XA + XB = 0;YB + 1 = 0;XA l sin 60◦ − 1 · l = 0.(IV.7)Пользуясь теми же уравнениями (IV.4 — IV.6), но с реакциямиопор вычисленными из (7), определяем усилия в стержнях: S2,1 = 0;S2,2 = 1, 155; S2,3 = −0, 577; S2,4 = S2,5 = −1, 155.3. По формуле Максвелла–Мора (IV.2) находим коэффициентыподатливости bij .
Промежуточные результаты заносим в таблицу:79Пример решенияkS1,kS2,klk2lk S1,klk S1,k S2,k2lk S2,k1234500−10001,155−0, 577−1, 155−1, 1551111100100000,5770001,3330,3331,3331,3331,0000,5774,3335k=1Суммируем три последних столбца, получаем три коэффициента податливости, отнесенные к жесткости EF : b11 = 1, 000/(EF ),b12 = b21 = 0, 577/(EF ), b22 = 4, 333/(EF ), и записываем их в видесимметричной матрицы0, 010, 00577B=.0, 00577 0, 043334. Вычисляем собственные значения λ1,2 матрицы B. Приравниваемнулю определительb11 − λb12.b21b22 − λРешая квадратное уравнениеλ2 − λ(b11 + b22 ) + b11 b22 − b212 = 0,определяем собственные значения:λ1 = 0, 044305, λ2 = 0, 009028.5.
Находим частоты собственных колебаний (круговые частоты):ppω1 = 1/ mλ1 = 1, 584 рад/с, ω2 = 1/ mλ2 = 3, 508 рад/с.VПРЕДЕЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ СИСТЕМЫУсловия задачМеханическая система с двумя степенями свободы состоит изсвязанных между собой цилиндров, грузов и двух линейно упругихпружин с одинаковой жесткостью c1 и c2 .
Три элемента механизманаделены массами, кратными некоторой массе m. Трением пренебречь. Подвижные и неподвижные блоки считать однороднымицилиндрами. Массой пружин пренебречь. Определить собственные ипредельные частоты колебаний системы.Под предельными частотами механической системы с двумя степенями свободы, состоящей из n тел с массами mk , k = 1, 2..n, будемпонимать отличные от нуля пределыω∞k = lim ω1,2 ,mk →∞где ω1,2 — первая или вторая собственная частота. Те массы, длякоторых существует предельная частота называются предельными 1) .Ответы приведены в табл.
6 на c. 93.5.15.2c1Bc1BCc2AmB =3 кг, mA =4 кг, mC =4 кг,c2 = 3 Н/м, c1 =2 Н/мCc2AmB =6 кг, mA =5 кг, mC =4 кг,c2 = 5 Н/м, c1 =2 Н/м1)Существуют также маятниковые частоты для системы, содержащей гироскопические силы Aq̈ + gΓq̇ + Kq = 0. Они получаются как предельныезначения собственных частот при g → ∞. См.
[4, с. 193].81Условия задач5.35.4c1c1BACc2Ac2BCmA =4 кг, mB =3 кг, mC =3 кг,c1 = 4 Н/м, c2 =1 Н/мmB =4 кг, mC =3 кг, mA =3 кг,c1 = 5 Н/м, c2 =3 Н/м5.55.6ABc1BAc2c1CCmB =6 кг, mC =5 кг, mA =4 кг,c2 = 8 Н/м, c1 =3 Н/мmB =2 кг, mC =2 кг, mA =4 кг,c1 = 1 Н/м, c2 =4 Н/м5.75.8c1C c2BBc1CAAmB =6 кг, mA =5 кг, mC =7 кг,c2 = 5 Н/м, c1 =3 Н/м5.9 c1c2BmB =4 кг, mA =2 кг, mC =5 кг,c1 = 3 Н/м, c2 =4 Н/мC c25.10C c2Bc1AmB =6 кг, mA =5 кг, mC =7 кг,c2 = 7 Н/м, c1 =3 Н/мAmB =6 кг, mA =5 кг, mC =7 кг,c2 = 8 Н/м, c1 =2 Н/мc282Раздел VПредельные частоты системы5.115.12Cc2c1ABc2BAc1CmA =3 кг, mB =5 кг, mC =8 кг,c2 = 4 Н/м, c1 =5 Н/мmB =5 кг, mC =3 кг, mA =6 кг,c1 = 3 Н/м, c2 =6 Н/м5.135.14c1Ac1CBAc2c2BCmA =7 кг, mB =5 кг, mC =8 кг,c2 = 6 Н/м, c1 =4 Н/мmB =5 кг, mC =3 кг, mA =6 кг,c1 = 5 Н/м, c2 =6 Н/м5.155.16ABc2Cc2c1Bc1ACmB =3 кг, mC =2 кг, mA =4 кг,c1 = 6 Н/м, c2 =5 Н/мmB =3 кг, mA =4 кг, mC =6 кг,c2 = 3 Н/м, c1 =5 Н/м5.175.18c2c1ABCmB =7 кг, mC =5 кг, mA =8 кг,c2 = 5 Н/м, c1 =7 Н/мc2c1BACmB =5 кг, mC =3 кг, mA =6 кг,c1 = 4 Н/м, c2 =7 Н/м83Условия задач5.19c1c2CA5.20c2BCc1ABmA =3 кг, mB =2 кг, mC =4 кг,c1 = 5 Н/м, c2 =4 Н/мmB =5 кг, mA =3 кг, mC =6 кг,c1 = 6 Н/м, c2 =5 Н/м5.215.22Cc1c2CBBc1c2AAmB =3 кг, mA =5 кг, mC =7 кг,c2 = 4 Н/м, c1 =7 Н/мmB =4 кг, mA =2 кг, mC =5 кг,c1 = 2 Н/м, c2 =8 Н/м5.235.24CBc1c1BCc2c2AAmB =5 кг, mA =4 кг, mC =6 кг,c2 = 5 Н/м, c1 =7 Н/мmB =6 кг, mA =4 кг, mC =7 кг,c2 = 6 Н/м, c1 =8 Н/м5.255.26CBc2c1Bc1ACc2AmB =3 кг, mA =2 кг, mC =4 кг,c1 = 5 Н/м, c2 =6 Н/мmB =3 кг, mA =4 кг, mC =4 кг,c2 = 3 Н/м, c1 =4 Н/м84Раздел VПредельные частоты системы5.27c15.28AAc1BBCc2Cc2mA =4 кг, mB =2 кг, mC =3 кг,c1 = 3 Н/м, c2 =2 Н/мmA =6 кг, mB =4 кг, mC =4 кг,c2 = 5 Н/м, c1 =2 Н/м5.295.30c1ABc1ABCc2Cc2mA =4 кг, mB =2 кг, mC =3 кг,c1 = 4 Н/м, c2 =2 Н/мmB =4 кг, mA =2 кг, mC =3 кг,c1 = 5 Н/м, c2 =2 Н/мПример решенияЗадача.
Механическая система состоит из однородных цилиндров 1 2, масса которых m1 = 3кг, m2 = 8кг и бруска массой m3 == 2кг (рис. 29). Цилиндр 2 катится без проскальзывания по бруску. sc2xc1ṡ/2 B23Рис. 291A-ẋРис. 30Брусок скользит без сопротивления по плоскости. Жесткостиc1 , c2 пружин одинаковы и равны c = 1 Н/м. Найти собственные ипредельные частоты системы.Пример решения85РешениеВыбираем обобщенные координаты. Пусть s — удлинение однойпружины, x — удлинение другой (перемещение бруска 3).Вычисляем кинетическую энергию системы через обобщенные скорости ẋ и ṡ. Кинетическая энергия поступательного движения брускаT = m3 ẋ2 /2.
Однородный цилиндр 1, катящийся по поверхности, имеетэнергию (см. (I.6) на с. 33)3m1 v12 ,4где скорость центра цилиндра вдвое меньше скорости верхней точкиего обода (см. рис. 2 на c. 31) v1 = ṡ/2. Кинетическая энергия плоскогодвижения цилиндра 2T =11m2 v 2 + J0 ω22 ,22где скорость центра цилиндра 2 в силу жесткости соединительногостержня равна скорости центра цилиндра 1 и v2 = v1 = ṡ/2. Моментинерции цилиндра J0 = m2 R2 /2. Угловую скорость ω2 найдем, связавскорость точки A обода цилиндра 2 и скорость его центра B (рис. 30)T =Rπ/2графом A −→ B . Из уравнения графа для скоростей в проекции наось x имеем vBx = vAx − Rω2 sin(π/2) или −ṡ/2 = ẋ − Rω2 откудаω2 = (ṡ/2 + ẋ)/R.
Кинетическая энергия системы примет вид 2 223ṡ1ṡ1ṡ/2 + ẋ12T = m1+ m2+ m2 R+ m3 ẋ2 .42224R2Потенциальная энергия пружин определяется выражениемΠ = cs2 /2 + cx2 /2.Уравнения Лагранжа 2-го рода имеют вид:d ∂T∂T∂Π−=−,dt ∂ ẋ∂x∂xd ∂T∂T∂Π−=−.dt ∂ ṡ∂s∂sПодставляем в эти уравнения выражения кинетической и потенциальной энергии и получаем:a11 ẍ + a12 s̈ = −cx;86Раздел VПредельные частоты системыa21 ẍ + a22 s̈ = −cs,где a11 = m2 /2 + m3 , a12 = a21 = m2 /4, a22 = 3/8(m1 + m2 ).Делая подстановку x = A sin ωt, s = B sin ωt, что равносильноформальной замене ẍ = −ω2 x, s̈ = −ω2 s, из условия равенства нулюопределителя системы для коэффициентов A и Bc − ω2 a11−a21получаем частотное уравнение−a12c − ω2 a22ω4 (3m3 m1 + 3m3 m2 + m22 + 1.5m1 m2 ) − ω2 (3m1 + 7m2 + 8m3 ) + 8 = 0.Решая уравнение, находим квадраты собственных частот ω21,2 =√9m21 +17m22+64m23 +16m3 m2 −6m2 m1 −48m3 m1,6m3 m1 +6m3 m2 +2m22 +3m1 m2где ω1 — большая частота (взят знак +), ω2 — меньшая.Находим предельные частоты:r2ω∞1,1 = lim ω1 =,m1 →∞m2 + 2m3r26ω∞3,1 = lim ω1 =.m3 →∞3 m1 + m2=3m1 +7m2 +8m3 ±Все остальные пределы не дают предельных частот:ω∞2,1 = lim ω1 = 0,m2 →∞ω∞1,2 = lim ω2 = ω∞2,2 = lim ω2 = ω∞3,2 = lim ω2 = 0.m1 →∞m2 →∞m3 →∞Подставляя числовые значения, получаем собственные ω1 == 0, 592 c1 , ω2 = 0, 371 1cи предельные частоты ω∞1,1 =11= 0, 408 c , ω∞3,1 = 0, 492 c .Предельными в данной системе будут массы 1 и 3.
Если увеличитьпоочередно каждую из этих масс до бесконечности, что фактическисоответствует наложению связей на соответствующие тела, то система будет иметь одну степень свободы и будет совершать колебания.Наложение связей на тело 2 приводит к полной остановке механизма.Масса 2 не является предельной.
Таким образом, предельный анализсобственных частот системы позволяет качественно оценить вкладкаждого тела в колебательное движение системы.Библиографический список1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика впримерах и задачах.Т.2. — М.: Наука, 1984.Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р., Курс теоретической механики.— СПб.: Лань, 1998.Вильке В.Г. Теоретическая механика. — М.: Изд-во МГУ, 1998.Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2001.Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. — М.: Физматлит, 2001.Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика / Под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
