Кинематика поступательного и вращательного движения с теорией (852543)
Текст из файла
КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГОДВИЖЕНИЯСкорость υr − радиус-вектор, ∆r − вектор смещения (перемещения)t2drυ = , ∆r = r2 − r1 = ∫ υdt ,dtt1t2dxυ x = , ∆x = x2 − x1 = ∫ υ x dt – площадь под кривой υ x от t с учетом знака.dtt1Вектор скорости υ всегда касателен к траектории движения.Ускорение a :d υ d 2ra==dt dt 2t2,∆υ = υ2 − υ1 = ∫ adt ,t12d υx d 2 xax == 2 , ∆υ x = υ2 x − υ1x = ∫ a x dt – площадь под кривой ax от t сdtdtt1tучетом знака.Путь S :tS = ∫ υdt ≥ 0 – площадь под кривой υ от t ; длина участка траектории,0υ=dS≥ 0 – модуль скорости.
Если движение происходит без изменения наdtправления и ось OX направлена вдоль прямолинейной траектории, тоS = ∆r = ∆x.Поступательное прямолинейное движениеРавномерное прямолинейное движение точки ( a = 0)a =0υ = constS = υtax = 0υx = ±υx = x0 + υxt или ∆x = υxtυ ↑↑ OX → υ x = υ, υ ↑↓ OX→ υx = −υ .8Равнопеременное прямолинейное движение точки ( a = const )ax = ± a ,υx = υ0 x + axta = constυ = υ0 ± atat 2S = υ0 t ±2υ0 x = ±υ0ax t 2axt 2x = x0 + υ0 xt +или ∆x = υ0 x t +22a ↑↓ OX→ ax = −a,( + ) ускоренное, ( −) замедленное a ↑↑ OX→ ax = a,υ0 ↑↑ OX→ υ0 x = υ0 , υ0 ↑↓ OX→ υ0 x = −υ0 .υx и ax − одинаковые.Замедленное: υ ↑↓ a , модуль υ уменьшается, знаки υx и ax − разные.Ускоренное: υ ↑↑ a , модуль υ увеличивается, знакиПоступательное криволинейное движениеПри криволинейном движении полное ускорение a можно представитькак сумму нормальной an и тангенциальной aτ составляющих.a = an + aτ ,a = an2 + aτ2υ2an = an n , an = > 0;rdυ> 0 , если aτ ↑↑ υ ,dtdυaτ =< 0 , если aτ ↑↓ υ .dtaτ =aτ = aτ τЗдесь n ⊥ υ, τ ↑↑ υ, r − переменный радиус кривизны траектории.
Еслитраектория – окружность, то r − радиус окружности.aτ > 0τυaτan ⊥ aτnrυ = υτ = υτ τ = υτaanO9Равномерное движение по окружности ( aτ = 0 ):aτ = 0 , an = constυ = constS = υt .Равнопеременное движение по окружности ( aτ = const ):aτ = const , an ≠ constυ = υ0 + aτt = υ0 ± aτ taτ t 2aτ t 2= υ0 t ±S = υ0 t +22Ускоренное:Замедленное:.υ ↑↑ aτ , модуль υ увеличивается,υ ↑↓ aτ , модуль υ уменьшается,aτ > 0.aτ < 0.Вращательное движениеВектор бесконечно малого угла поворота dϕ .
Направлен вдоль оси вращения по направлению поступательного движения правого винта, если еговращать по направлению поворота (Если 1-2, то вверх, если 1-2′, то вниз). Помодулю равен углу поворота dϕ ≥ 0 , проекция d ϕz = ± d ϕ. ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 −вектор конечного углового смещения или угла поворота.dϕzε↓ε↑ω 2′dϕε↑dϕ2ωε↓1dϕУгловая скорость ωω=dϕ.dtВектор угловой скорости ω направлен вдоль оси вращения по направлению dϕ ,t2d ϕzωz == ±ω , ∆ϕ z = ϕ2 z − ϕ1 z = ∫ ωz dt − площадь под кривой ωz от t сdtt1учетом знака.
Очень часто вместо ϕ z пишут ϕ .10Угловое ускорение εd 2ϕ d ωε= 2 =.dtdtВектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения по направлению dω .2d 2 ϕ z d ωzεz === ±ε , ∆ωz = ω2 z − ω1 z = ∫ ε z dt − площадь под кривой ε z отdt 2dtt1t с учетом знака.tУгловой путь ФtФ = ∫ ωdt ≥ 0 − площадь под кривой ω от t , ω =0dФ≥ 0 − модуль угловойdtскорости. Если вращение без изменения направления, тоФ = ∆ϕ = ∆ϕ z = ∆ϕ .Равномерное вращение точки ( ε = 0)ε =0ω = constФ = ωtεz = 0ωz = ±ωϕz = ϕ0 z + ωz t или ∆ϕz = ωz tРавнопеременное вращение точки ( ε = const )ε = constω = ω0 ± εtε z = ±ε , ω0z = ±ω0εt 2Ф = ω0t ±2ε zt 2ε zt 2или ∆ϕ z = ω0 z t +ϕ z = ϕ0 z + ω0 z t +22( + ) ускоренное, ( −) замедленноеωz = ω0 z + ε z tε ↑↑ OZ→ ε z = ε ,ε ↑↓ OZ→ ε z = −ε,ω0 ↑↑ OZ→ ω0 z = ω0 , ω0 ↑↓ OZ→ ω0 z = −ω0 .Ускоренное: ω ↑↑ ε , модуль ω увеличивается, знаки ωz и ε z − одинаковые.Замедленное: ω ↑↓ ε , модуль ω уменьшается, знаки ωz и ε z − разные.11Связь линейных и угловых физических (в радианах) и технических(в оборотах) величинΦ − угловой путь в радианах, ω − угловая скорость в радианах в секунду,N − угловой путь в оборотах, v, n − угловая скорость в оборотах в секунду,S − линейный путь в метрах, υ − линейная скорость в метрах в секунду,r − радиус траектории движения точки.Φ=SυΦωω= , N =,, v=n=,rr2π2πaτ = εr , an = ω2 r , a = r ω4 + ε 2 .Плоское движениеПлоское движение (качение тел) – сумма поступательного движениятела со скоростью центра масс vC (все точки тела движутся одинаково) ивращательного вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела, слинейной скоростью υ ( υ = ω R , R − радиус колеса, шара, цилиндра и т.
д.).AACvCCvCARvCA=+υAv = vC + υ – результирующая скорость для любой точки тела.1 vC υv4 = v + υ2C2v4vCυ4 vC2 vCυRυТочка касания опорыv1 = vC + υvC3v2v 2 = v C2 + υ2v3 = v C − υЕсли тело движется без проскальзывания, то в точке касания опоры (3) егоскорость равна нулю, т. е. v 3 = v C − υ = 0, а это значит, что vC = υ = ωR . Вэтом случае сила трения скольжения есть, а ее работа равна нулю, так как нетдвижения одного тела по поверхности другого.12Тесты с решениями1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано на графике.Угловое перемещение (в радианах) в промежутке времени от 4 с до 8 с равно..0Решениеt2По определению ∆ϕ z = ϕ2 z − ϕ1 z = ωz dt − площадь под кривой ωz от t .∫t1Площадь первого треугольника с учетом знака (от 4 с до 6 с) – это поворот наугол (угловое перемещение)Δφ1 226 40,5 рад .Площадь второго треугольника с учетом знака (от 6 с до 8 с) – поворот на уголΔφ1 228 60,5 рад .(т.
е. в обратном направлении). Следовательно, с 4 с по 8 с тело повернется наугол 0,5 − 0,5 = 0 рад.Примечание. Достаточно было посчитать площади треугольников в клеточках, чтобы понять, что ответ 0.2. Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию угловой скоростиωz (t ) так, как показано на рисунке. Вектор угловой скорости ω и вектор углового ускорения ε направлены в одну сторону в интервалы времени …t1 иот 0 до t1 иот t1 до t2 иот 0 до t1 иот 0 до13ототототt2t1t2t3додододоt3t2t3t4РешениеВектор угловой скорости ω и вектор углового ускорения ε направлены водну сторону при ускоренном вращении, т.е. когда модуль ω растет со временем. Построим зависимость ω |ω | от t .Следовательно, ω растет на участках от 0 до t1 и от t2 до t3 .3.
Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиусаR = 2 м с угловой скоростью, модуль которой изменяется с течением времени2по закону ω = 2t . Отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 секунды равно …88412РешениеНормальное ускорение частицы равноω4,где R – радиус кривизны траектории.Тангенциальное ускорение определяетсявыражениемωω4.Следовательно, отношение нормального ускорения к тангенциальному через2 с равно!8.4. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью"#$ без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска,ориентирован в направлении…143124РешениеКачение однородного кругового цилиндра (диска) по плоскости являетсяплоским движением, которое можно представить как совокупность двух движений: поступательного, происходящего со скоростью "#$ центра масс, и вращательного вокруг оси, проходящей через этот центр (скорость направлена по касательной к окружности).
Тогда "#% "#$ & "#вр (см. теоретическую часть). Вектор скорости "#% точки А ориентирован в направлении 3.Примечание. Отсутствие проскальзывания никакой роли не играет.5. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии сграфиком, представленным на рисунке. Угловое ускорение тела (в единицахСИ) равно …50,50,0550Решение:Так как модуль скорости растет линейно, то это равноускоренное движение по окружности. Тогдаυ − υ0= aτ > 0.tТангенциальное ускорение связано с угловым уравнением aτ = εR .
Тогдаaυ − υ0 4 − 1ε= τ === 5 рад/с2 или с-2.tR6 ⋅ 0,1Rυ(t ) = υ0 + aτt и aτ =156. Точка М движется по спирали с равномерно убывающей скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина полного ускорения точки …уменьшаетсяувеличиваетсяне изменяетсяравна нулюРешениеВеличина(&полного, где ) икорения соответственно)ускоренияопределяетсясоотношением– проекция тангенциального и нормального ус),,где R – радиус кривизны траектории. Так как по условию скорость убывает равномерно (т. е. линейно с ростом t), тоconst.)Так как по условию скорость убывает, а радиус кривизны траектории R растет(смотри рисунок), тоуменьшается. Таким образом, полное ускорение точкишается.()&умень-7. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой.
При этом величина нормального ускорения …увеличивается√ уменьшаетсяне изменяетсяравна нулюРешениеТак как по условию скорость постоянна, а радиус кривизны траектории Rрастет (смотри рисунок), то величина нормального ускорения16уменьшается.8. Точка М движется по спирали с постоянным по величине нормальным ускорением в направлении, указанном стрелкой. При этом проекция тангенциального ускорения на направление скоростименьше нулябольше нуляравна нулюРешениеТак как нормальное ускорениеconst,тоconst√ .Так как со временем (с ростом t) радиус R (смотри рисунок) уменьшается, тоуменьшается и . Тогда проекция тангенциального ускорения на направлениескорости9 0.)9. Материальная точка М движется по окружности со скоростью "# .
График зависимости))от времени (τ"# – единичный вектор положительного направления,– проекция "# на это направление) показан на рисунке. При этом для нор-мальногои тангенциального= 0,)>0> 0,)=0= 0,)=0> 0,)>0)ускорений выполняются условияРешение:и линейно зависит от времени, тоТак как )тельная константа. Тогда17; , где ;положи-;Следовательно,> 0,)< 0,); < 0.> 0.10.
Материальная точка М движется по окружности со скоростью "# . Графикзависимости)от времени ("τ#– единичный вектор положительного направле-ния, ) – проекция "# на это направление) показан на рисунке. При этом длянормальногои тангенциальногоускорений выполняются условия)– увеличивается, ) – постоянно– постоянно, ) – постоянно– увеличивается, ) – величивается– постоянно, ) – увеличиваетсяРешение:и линейно зависит от времени, тоТак как )тельная константа, и;Следовательно,,); , где ;положи-;.– увеличивается, ) – постоянно.11. Тело движется с постоянной по величине скоростью по траектории, изображенной на рисунке.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
