Динамика вращательного движения с теорией (852541)
Текст из файла
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯМатериальная точка(произвольное движение)Момент L импульса p материальной точки относительно т. О равенL[rL = rp sinα = lp,p ],где l – плечо вектора p (длина перпендикуляра, опущенного из т. О на линиювектора p ), r радиус-вектор материальной точки относительно т. О. Если rи p параллельны (α = 0) или антипараллельны (α = π), то L0.Момент M силы F , действующей на материальную точку, относительнот.
О равенM [rM = rF sinα = lF,F ],где l – плечо вектора F (длина перпендикуляра, опущенного из т. О на линиювектора F ), r радиус-вектор точки приложения силы относительно т. О. Если r и F параллельны (α = 0) или антипараллельны (α = π), то MCCr b ;0.;bαOlrbαМожно показать, что M z и Lz (проекции векторов моментов силы M иимпульса L ) одинаковы относительно любых точек лежащих на произвольной неподвижной оси OZ.
Говорят, что M z и Lz – это моменты силы иимпульса относительно оси.Связь моментов импульса и силыdLdtЗдесь MtM, LL0dLzdtMdt ;0tM z , LzL0 zM z dt.0сумма моментов сил, приложенных к материальной точке. Моменты импульса и сил взяты относительно одной и той же точки пространства.40Частный случай для произвольного движенияЕсли Mconst и L00 , то LMt , L Mt илиdLdtM (движение из покоя).Закон сохранения момента импульсаЕсли MЕсли M zdL0 ( L const, L const, LzdtdLz0 ( Lz const).0 , тоdt0 , тоconst) .Твердое тело(вращение вокруг неподвижной оси)Пусть материальная точка или твердое тело вращается с частотойотносительно неподвижной оси, направленной по OZ.
Тогда проекция моментаимпульса равнаLzJzJ ,где z и J проекция угловой скорости на ось вращения и момент инерциитвердого тела относительно оси вращения.Момент инерции твердого тела J относительно осиr 2 dm,JVгдеr расстояние от положения малой массы dm тела до оси.Чем дальше части тела от оси и чем они массивнее, тем больше моментинерции относительно этой оси.материальнаяточкаJсплошной цилиндрJmr 2rrmr2стержень2Jrml 212mrlmmцилиндрическая поверхность,трубаJmrJmmшар J2412mr52CamJcтеорема ШтейнераJJ c ma 2Теорема ШтейнераJ момент инерции тела относительно заданной оси, J c момент инерциитела относительно оси, параллельной заданной и проходящей через центринерции (масс, тяжести) тела (точка С), m масса тела, a расстояние междуосями (длина перпендикуляра)J Jc .J J c ma 2 ,Связь моментов импульса и силы для вращательного движения(основное уравнение динамики вращательного движения)JM z (JzM z ),гдепроекция вектора углового ускорения. Предполагаем, что моzмент инерции тела не меняется.Закон сохранения момента импульса для вращательного движенияЕсли M z0 , то LzJconst (Jzconst).Предполагаем, что момент инерции тела в общем случае может измениться.Частный случай для вращательного движенияЕсли ось симметрии тела совпадает с осью вращения и момент импульса тела имоменты сил рассчитываются относительно точки, лежащей на оси, и координатная ось Z направлена по L , тоL J , L J , Lz L , M M z ,Если M0 , то LdLdtJ,JM.const .Ускоренное вращение:Замедленное вращение:Mzz0, LM , L растет с t , M zMM , L уменьшается с t , M z0, L0.M 0.Система твердых тел и материальных точек(вращение вокруг неподвижной оси)Все уравнения, справедливые для вращения вокруг неподвижной оси одного тела, остаются справедливыми и для системы тел с заменой суммы моментов сил приложенных к одному телу M , M z на сумму моментов тольковнешвнешвнешних сил, приложенных ко всем телам системы M, M z .
При выполнении условия сохранения момента импульса системы тел, моменты импульса тел системы могут изменяться.42Тесты с решениями1. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль разных осей симметрии. Затем все части отодвинули другот друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительнооси OO'. (здесь момент инерции обозначен буквой I, а не J ). Для моментовинерции относительно оси OO' справедливо соотношение …I1 > I2 > I3I1 = I2 > I3I1 < I2 < I3I1 < I2 = I3РешениеТак как на первом и втором рисунке все части тела (массы) находятся наодном и том же расстоянии от оси, то I1 = I2 и сразу выбираем неравенство 2.При той же массе части тела на третьем рисунке расположены ближе к оси.Следовательно, момент инерции I3 меньше I1 и I2.2.
Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и сплошной шар; причем массы m и радиусы R шара и оснований диска и трубы одинаковы. Вернымдля моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …РешениеМомент инерции сплошного однородного кругового цилиндра (диска)массы m и радиуса R относительно его осиМомент инерции диска относительно указанной оси вычисляется с использованием теоремы Штейнера:43Момент инерции тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его осии момент инерции шара массы m и радиуса RТаким образом, правильным соотношением для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение.3. Если ось вращения тонкостенного кругового цилиндра перенести из центрамасс на образующую, то момент инерции относительно новой оси… раза.увеличится в 2уменьшится в 2увеличится в 1,5уменьшится в 1,5РешениеМомент инерции тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиусаR относительно оси, проходящей через центр масс.Момент инерции относительно оси, проходящей через образующую, найдем потеореме ШтейнераТогда, т.
е. момент инерции увеличится в 2 раза.4. Четыре шарика расположены вдоль прямой а. Расстояния между соседнимишариками одинаковы. Массы шариков слева направо: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г. Если поменять местами шарики 1 и 4, то момент инерции этой системы относительнооси О, перпендикулярной прямой а и проходящей через середину системы …увеличитсяне изменитсяуменьшится44РешениеМоменты инерции системы шаров относительно оси О в первом и второмслучае равны, так как шары 1 и 4 находятся на одинаковом расстоянии от осиСледовательно, момент инерции системы не изменится.Примечание. Если поменять местами 1 и 2, то момент инерции увеличится,так как более тяжелый шар будет находиться дальше от оси вращения.5. Если момент инерции тела увеличить в 2 раза, а скорость его вращенияуменьшить в 2 раза, то момент импульса телауменьшится в 4 разаувеличится в 4 разауменьшится в 2 разане изменитсяРешениеПроекция момента импульса тела для случая вращательного движениявокруг неподвижной оси имеет вид.Тогда получаем, чтоДля частного случая вращательного движения, следует, что.6.
Диск начинает вращаться вокруг неподвижной оси с постоянным угловымускорением. Зависимость момента импульса диска от времени представлена нарисунке линией …BACDEРешениеПроекция момента импульса тела для случая вращательного движениявокруг неподвижной оси имеет вид45Так как диск начинает вращаться с постоянным угловым ускорением, то эторавноускоренное вращение без начальной скорости, т.е.Следовательно,т. е. линейно возрастающая функция времени (линия В).Примечание 1.В условии задачи говорится о моменте импульса, а на графике –проекция момента на ось Z.Примечание 2.
Так как диск начинает вращаться, то момент импульса вначале равен нулю, т.е. только линия В. Если бы в задаче диск тормозил, то момент импульса стремился бы к нулю, т.е. только линия D.7. Диск начинает вращаться под действием момента сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке:Правильно отражает зависимость момента импульса диска от времени график.123РешениеЕсли диск начинает вращаться, тоТак как от t1 до t24, то.Следовательно, правильный график –1.468.
Абсолютно твердое тело вращается с угловым ускорением, изменяющимсяпо закону, гденекоторая положительная константа. Моментинерции тела остается постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость от времени момента сил, действующих на тело, определяется графиком…12РешениеТак каккорения, т. е.движения имеет вид345при, то это проекция углового усОсновное уравнение динамики вращательного.Будем считать, что имеет место частный случай для вращательного движенияи.
Предположим, что,и, т. е.. Тогдаи это линейно убывающая от значенияПолное решениеЕслидо нуля функция (график 1)., тои это линейно возрастающая из нуля функция, т. е. график 4. Если, тои это линейно возрастающая от значенияфика нет). Если, тодляфункция (такого граимееми это линейно убывающая от значениядо нуля функция (график 1);дляимеем47и это линейно возрастающая от значенияфика нет).функция (такого гра-9. Величина момента импульса тела изменяется с течением времени по закону(в единицах СИ). Если в момент времени 2 с угловое ускорение составляет 3 c-2 , то момент инерции тела (в кг · м2) равен …560,20,5РешениеУказанная зависимость относится к проекции момента импульса, а не кмодулю, так как при(в единицах СИ), т.
е.Так както(кг·м).Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид10. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по зако3/22ну: L1 = c, L2 = ct, L3 = ct , L4 = ct , где с – константа. (Речь идет о проекциях момента импульса на ось, но индекс z не указан). Укажите графики,правильно отражающие зависимость от времени величины момента сил, дейст-вующих на тело.123484РешениеОсновное уравнение вращательного движеният. е.Для частного случая вращательного движения. Тогда независимоот знака c длянет соответствующей зависимости, длячетвертая,длявторая и длятретья.11. Однородный диск массы m и радиуса R вращается под действием постоянного момента сил вокруг оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной плоскости диска.
Если ось вращения перенести параллельно на крайдиска, то (при неизменном моменте сил) для момента инерции J и углового ускорения диска справедливы соотношения …РешениеЕсли тело не меняется, то по теореме Штейнера (осями)где– расстояние между. ТогдаИсходя из основного уравнения вращательного движения для частного случая, имеемТак как по условию задачии, то12. Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска ипроходящей через его центр. К нему прикладывают одну из сил (или49), лежащих в плоскости диска и равных по модулю. Верным для угловых ускорений диска являетсясоотношение …,,.РешениеСчитаем момент сил относительно точки О.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
