maall (848881), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Тогда в точке x ∈ I, в которой функция f (x) дифференцируема, имеемf (x + ∆x) − f (x)> 0,∆x→0+∆xf 0 (x) = f+0 (x) = limт.к. f (x + ∆x) − f (x) > 0, и ∆x > 0.Если x — правый конец промежутка I, причём x ∈ I, то следует взять ∆x < 0; результатбудет тем же. Таким образом, f 0 (x) > 0, и необходимость доказана; заметим, чтонепрерывность функции f (x) здесь не понадобилась.Достаточность.

Пусть во всех точках промежутка I, в которых f (x) дифференцируема, выполняется неравенство f 0 (x) > 0, и пусть x1 и x2 , x2 > x1 , — произвольные1точки этого промежутка. Если функция f (x) дифференцируема на интервале (x1 , x2 ),то, применяя к отрезку [x1 , x2 ] теорему Лагранжа, получаем:f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (c)(x2 − x1 ) > 0, т.е. f (x2 ) > f (x1 ).Если же на интервале (x1 , x2 ) имеются точки x1 < ξ1 < ξ2 < . . . < ξn < x2 , в которыхпроизводная функции f (x) не существует, то можно применить теорему Лагранжа ккаждому из отрезков [x1 , ξ1 ], [ξ1 , ξ2 ], .

. . , [ξn , x2 ]. В результате, как и выше, получимf (x1 ) 6 f (ξ1 ) 6 f (ξ2 ) 6 . . . 6 f (ξn ) 6 f (x2 ), т.е. f (x1 ) 6 f (x2 ). Мы видим, что f (x) и всамом деле не убывает на промежутке I. Достаточность доказана. Теорема доказана.Можно доказать аналогичную теорему и для невозрастающей функции f (x); в этомслучае (при выполнении прочих условий теоремы) надо потребовать, чтобы производнаяf 0 (x) была неположительной всюду, где она определена.Теорема (достаточные условия возрастания функции на промежутке). Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке I и дифференцируема во всех его точках за исключением, быть может, конечного их числа.

Если производная f 0 (x) неотрицательнавсюду, где она определена, и не равна тождественно нулю ни на одном интервале I1 ⊂ I,то функция f (x) возрастает на I.Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что f (x) не убывает на I. Пустьдля некоторых точек x1 и x2 , x1 < x2 , этого промежутка f (x1 ) = f (x2 ). Тогда длялюбой точки x ∈ (x1 , x2 ) имеем f (x1 ) 6 f (x) 6 f (x2 ).

Это означает, что функцияf (x) постоянна на (x1 , x2 ), и, следовательно, f 0 (x) тождественно равна нулю на этоминтервале, что противоречит условиям теоремы. Поэтому на деле f (x1 ) 6= f (x2 ), а тогдаf (x1 ) < f (x2 ), и функция f (x) возрастает на I. Теорема доказана.Аналогичная теорема справедлива и в отношении убывающих функций. Надо тольков условиях теоремы неотрицательность производной заменить на неположительность.Примеры. Из доказанной теоремы следует, например,√ что всюду возрастают функциина полуинтервалеy = ex , y = x3 , y = arctg x; функции y = x2 и y = hx возрастаютπ πi, а функция y = cos x[0, +∞); функция y = sin x возрастает на отрезке − ,2 2убывает на [0, π].Говорят, что функция f (x) имеет локальный максимум в точке x0 , если существуетокрестность U (x0 ) этой точки такая, что для любого x ∈ U (x0 ) выполняется неравенство f (x) 6 f (x0 ). Если последнее неравенство заменить на f (x) > f (x0 ), то мыполучим определение локального минимума.

А если потребовать, чтобы для всех x 6= x0выполнялось строгое неравенство f (x) < f (x0 ) или f (x) > f (x0 ), то получится определение соответственно строгого локального максимума и строгого локального минимума. Вовсех этих четырех случаях точка x0 называется точкой локального экстремума; в двухпоследних случаях говорят о точке строгого локального экстремума.

Из теоремы Фермаследует, что если в точке экстремума x0 функции f (x) существует производная, то этапроизводная равна нулю: f 0 (x0 ) = 0. Таким образом, в точках экстремума производнаяфункции либо не существует, либо равна нулю. Равенство нулю производной являетсялишь необходимым условием наличия в этой точке экстремума. Достаточным это условие не является. Рассмотрим, например, функцию y = x3 . Эта функция всюду возрастает,однако, f 0 (0) = 3x2 |x=0 = 0.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками этой функции. Точки, в которых производная функцииравна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими точками функции (а также точками, подозрительными на экстремум). Если функция, определенная впроколотой окрестности (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ), δ > 0, точки x0 , принимает положительные значения во всех точках интервала (x0 − δ, x0 ) и отрицательные значения во2всех точках интервала (x0 , x0 + δ), то говорят, что эта функция меняет знак с плюса наминус при переходе через точку x0 .

Аналогично определяется ситуация, когда функцияменяет знак с минуса на плюс при переходе через точку x0 . Если во всех точках указанной проколотой окрестности функция принимает значения одного знака, то говорят, чтофункция сохраняет знак в проколотой окрестности точки x0 .Рассмотрим теоремы о достаточных условиях наличия экстремума.Теорема (первая теорема о достаточном условии наличия экстремума). Пустьфункция f (x) непрерывна в окрестности (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, точки x0 и дифференцируема в проколотой окрестности (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) этой точки.

Тогда, еслиf 0 (x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x0 , то в этой точке функцияf (x) имеет строгий локальный минимум, а если f 0 (x) меняет знак с плюса на минус припереходе через x0 , то функция f (x) имеет в этой точке строгий локальный максимум.Если же f 0 (x) сохраняет знак в проколотой окрестности точки x0 , то экстремума в этойточке нет.Доказательство.

Рассмотрим первое утверждение теоремы. Если f 0 (x) < 0 привсех x ∈ (x0 − δ, x0 ), то на полуинтервале ( x0 − δ, x0 ] функция f (x) убывает, и длялюбого x ∈ (x0 − δ, x0 ) имеем по теореме о достаточных условиях убывания функциинеравенство f (x) > f (x0 ).

На полуинтервале [x0 , x0 + δ) функция f (x) возрастает,и f (x0 ) < f (x) для всех x ∈ (x0 , x0 + δ). Мы видим, что x0 и в самом деле естьточка строгого локального минимума. Аналогично доказывается и второе утверждениетеоремы. В случае последнего утверждения функция f (x) либо возрастает, либо убываетна интервале (x0 − δ, x0 + δ) в зависимости от знака производной f 0 (x); экстремума вточке x0 в обоих случаях нет. Теорема доказана.Теорема (вторая теорема о достаточном условии наличия экстремума). Пусть вточке x0 у функции f (x) существуют все производные до n-го порядка включительно,причем f 0 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) 6= 0.

Тогда, если n четно, и f (n) (x0 ) > 0,то в точке x0 функция f (x) имеет строгий локальный минимум. Если n четно,и f (n) (x0 ) < 0, то в точке x0 строгий локальный максимум. Если n нечетно, тоэкстремума в точке x0 нет.Доказательство. Запишем для функции f (x) в окрестности точки x0 формулуТейлора с остаточным членом в форме Пеано; в силу условия f 0 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0имеем такое равенство:f (n) (x0 )(x − x0 )n + o ((x − x0 )n ), x → x0 .f (x) = f (x0 ) +n!Отсюда1 (n)(f (x0 ) + α(x)) · (x − x0 )n ,n!o ((x − x0 )n )гдеα(x) = n!−→ 0 при x → x0 .(x − x0 )nПусть теперь n четно, и f (n) (x0 ) > 0.

Тогдаf (x) − f (x0 ) =(1)lim (f (n) (x0 ) + α(x)) = f (n) (x0 ) > 0,n→x0и по теореме о сохранении функцией знака своего предела существует проколотая окрестность Ů (x0 ) точки x0 такая, что f (n) (x0 ) + α(x) > 0 для всех x ∈Ů (x0 ). Далее, т.к.n четно, то также и (x − x0 )n > 0 для указанных x. Поэтому из (1) следует, что длявсех x ∈Ů (x0 ) выполняется неравенство f (x) > f (x0 ), т.е. в точке x0 функция f (x)имеет строгий локальный минимум. Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Пусть n нечетно, и пусть для определенности f (n) (x0 ) > 0. Тогда, как и выше,3найдется проколотая окрестность Ů (x0 ) такая, что для любого x ∈Ů (x0 ) выполняетсянеравенство f (n) (x0 )+α(x) > 0. Поскольку n нечетно, то при x < x0 имеем неравенство(x − x0 )n < 0, а при x > x0 — неравенство (x − x0 )n > 0. Поэтому из (1) получаем,что при x < x0 выполняется неравенство f (x) < f (x0 ), а при x > x0 − неравенствоf (x) > f (x0 ), если, конечно, x ∈Ů (x0 ). Мы видим, что экстремума в точке x0 нет.

Ктакому же выводу мы придем, если предположим, что f (n) (x0 ) < 0. Теорема доказана.Чаще всего эту теорему применяют при n = 2, т.е. наличие экстремума и его характеропределяют по знаку f 00 (x0 ).Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b). Говорят, что функция f (x)является выпуклой вверх (вниз) на этом интервале, если для любой касательной к графикуэтой функции каждая точка касательной, отличная от точки касания, лежит выше (ниже)точки графика функции с той же абсциссой. Точка x0 ∈ (a, b) называется точкой перегибафункции f (x), если эта функция непрерывна в точке x0 и если существует δ > 0 такое,что направления выпуклости функции f (x) на интервалах (x0 − δ, x0 ) и (x0 , x0 + δ)различны (т.е.

при переходе через точку перегиба направление выпуклости функции меняется на противоположное). Точка (x0 , f (x0 )) называется при этом точкой перегибаграфика функции y = f (x).Теорема (достаточные условия выпуклости функции). Пусть функция f (x) дваждыдифференцируема на интервале (a, b), причем в каждой точке x ∈ (a, b) выполняетсянеравенство f 00 (x) > 0.

Тогда функция f (x) выпукла вниз на указанном интервале.Если же во всех точках интервала (a, b) вторая производная f 00 (x) отрицательна, тофункция f (x) выпукла вверх на этом интервале.Доказательство. Докажем лишь первое утверждение теоремы (второе доказывается аналогично). Рассмотрим касательную к графику функцииy = f (x) вточке (x0 , f (x0 )), x0 ∈ (a, b). Уравнение такой касательной, как известно, имеетвид y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Пусть для определенности x0 < x < b. Тогда разность ординат точки касательной (x, f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )) и точки графика (x, f (x)) равна ∆y = f (x0 ) − f (x) + f 0 (x0 )(x − x0 ). По теореме Лагранжаf (x) − f (x0 ) = f 0 (c)(x − x0 ).

Характеристики

Список файлов лекций