Главная » Просмотр файлов » Минимальные деревья Штейнера в пространстве метрических компактов

Минимальные деревья Штейнера в пространстве метрических компактов (848704), страница 2

Файл №848704 Минимальные деревья Штейнера в пространстве метрических компактов (Минимальные деревья Штейнера в пространстве метрических компактов) 2 страницаМинимальные деревья Штейнера в пространстве метрических компактов (848704) страница 22021-09-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Положим(x, y)(x′ , y ′ ) = α|xx′ | + β|yy ′ |.αОчевидно, полученная функция положительно определена и симметрична.Проверим неравенство треугольника. Имеем(x, y)(x′ , y ′ ) + (x′ , y ′ )(x′′ , y ′′ ) = α|xx′ | + β|yy ′ | + α|x′ x′′ | + β|y ′ y ′′ | ≥αα≥ α|xx′′ | + β|yy ′′ | = (x, y)(x′′ , y ′′ ) .αТаким образом, | · |α является метрикой на R при каждом 0 < α < 1, а приα = 0, 1 — псевдометрикой.Обозначим через Rx ⊂ X × R и Ry ⊂ R × Y соответствия, определенныетак:{(}{(}))Rx = x, (x, y) : x ∈ X, (x, y) ∈ R , Ry = (x, y), y : (x, y) ∈ R, y ∈ Y .Вычислим искажения этих соответствий. Имеем{}dis Rx = max |xx′ | − α|xx′ | − β|yy ′ | : x, x′ ∈ X, (x, y), (x′ , y ′ ) ∈ R ={}= β max |xx′ | − |yy ′ | : (x, y), (x′ , y ′ ) ∈ R = β dis R3. Метрика пространства метрических компактов строго внутренняя.5(аналогично, dis Ry = α dis R).Следовательно, dGH (X, R) ≤ β dGH (X, Y ) и dGH (R, Y ) ≤ α dGH (X, Y ).Но в силу неравенства треугольника dGH (X, R) + dGH (R, Y ) ≤ dGH (X, Y ),откудаd) GH (X, R) = β dGH (X, Y ), а dGH (R, Y ) = α dGH (X, Y ), т.е.

Rα :=(R, | · |α лежит между X и Y . В частности, при α = 1/2 пространство Rαявляется серединой между X и Y .Итак, мы доказали следующий результат.Предложение 3.1. У любых двух конечных метрических пространствсуществует середина в M.Середину между конечными пространствами, построенную описаннымвыше способом, назовем канонической серединой, построенной по оптимальному соответствию R, и будем обозначать той же буквой R.Рассмотрим отображение Γ : [0, 1] → M такое, что X, α = 0,Rα , α ∈ (0, 1),Γα =Y, α = 1.Покажем, что Γ — непрерывное отображение.

Для этого достаточно проверить, что это отображение — изометрическое вложение отрезка, т.е. длялюбых α1 , α2 ∈ [0, 1] выполняется dGH (Γα1 , Γα2 ) = |α1 − α2 | dGH (X, Y ).Действительно, как ранее было замечено, для любого α ∈ (0, 1) выполняетсяdGH (Γ0 , Γα ) = dGH (X, Rα ) = α dGH (X, Y )иdGH (Γ1 , Γα ) = dGH (Y, Rα ) = (1 − α) dGH (X, Y ).Для любых α1 , α2 ∈ (0, 1) таких, что α1 ≤ α2 , рассмотрим тождественноесоответствие Rα1 ,α2 между Rα1 и Rα2 , тогдаdis Rα1 ,α2 ={}max α1 |xx′ | + (1 − α1 )|yy ′ | − α2 |xx′ | − (1 − α2 )|yy ′ | : (x, y), (x′ , y ′ ) ∈ R ={}= (α2 − α1 ) max |xx′ | − |yy ′ | : (x, y), (x′ , y ′ ) ∈ R = (α2 − α1 ) dis R.ПолучаемdGH (Γα1 , Γα2 ) =1= dGH (Rα1 , Rα2 ) ≤ (α2 − α1 ) dis R = (α2 − α1 ) dGH (X, Y ).2В силу обобщенного неравенства треугольника, имеемdGH (Γα1 , Γα2 ) == dGH (Rα1 , Rα2 ) ≥ dGH (X, Y ) − dGH (X, Rα1 ) − dGH (Rα2 , Y ) =()1= 1 − α1 − (1 − α2 ) dis R = (α2 − α1 ) dGH (X, Y ),23. Метрика пространства метрических компактов строго внутренняя.6таким образом, и в этом случае dGH (Γα1 , Γα2 ) = |α1 − α2 | dGH (X, Y ).Тем самым, мы доказали следующее утверждение.Предложение 3.2.

Отображение Γ есть кратчайшая кривая, соединяющая X и Y .Пусть теперь X и Y — произвольные метрические компакты. Для каждого n ∈ N обозначим через Xn и Yn некоторые конечные 1/n-сети в X и Yсоответственно, и пусть Rn — каноническая середина между Xn и Yn . Покажем, что множество {Rn }n∈N ⊂ M — предкомпактно. Так как Xn → Xи Yn → Y , то, по критерию предкомпактности Громова (предложение 2.4),существует D ∈ R такое, что diam Xn ≤ D и diam Yn ≤ D при всех n ∈ N, атакже для каждого ε > 0 существует N (ε) > 0 такое, что во всех Xn и Ynсуществуют ε-сети Xn′ и Yn′ , состоящие не более чем из N (ε) точек каждая.Определим на Xn × Yn расстояние по тому же принципу, что и на Rn , аименно, положим()(x, y), (x′ , y ′ ) = 1 |xx′ | + |yy ′ | .2Ясно, что ограничение этого расстояния на Rn совпадает с расстоянием,заданным на Rn выше.

Кроме того, diam Rn ≤ diam(Xn × Yn ) ≤ D, такчто множество {Rn } равномерно ограничено. Наконец, Xn′ × Yn′ являетсяε-сетью для Xn × Yn , состоящей не более чем из N (ε)2 точек. Но тогда,в силу предложения 2.3, в Rn имеется (2ε)-сеть, состоящая не более чемиз N (ε)2 точек. Таким образом, выполняются условия критерия Громовапредкомпактности, откуда и вытекает предкомпактность множества {Rn }.Без ограничения общности, будем считать, что последовательность Rnсходится в M к некоторому R. Из непрерывности функции расстояния вытекает, что R — середина между X и Y . Таким образом, мы доказали следующий результат.Предложение 3.3.

У любых двух компактный метрических пространствсуществует середина в M.Хорошо известно, что M — полное метрическое пространство, а в полномметрическом пространстве существование середин равносильно тому, чтометрика является строго внутренней. Тем самым, мы доказали следующуютеорему.Теорема 3.1. Метрика пространства M всех метрических компактов,рассматриваемых с точностью до изометрии, является строго внутренней.4. Кратчайшие деревья в пространстве метрических компактов.47Кратчайшие деревья в пространстве метрических компактов с границей, состоящей изконечных метрических пространств.В настоящем разделе мы докажем следующую теорему.Теорема 4.1.

Пусть M = {m1 , . . . , mp } ⊂ M — некоторое множествоконечных метрических пространств. Тогда в M существует кратчайшеедерево Штейнера с границей M , причем все точки Штейнера этого дерева— также конечные метрические пространства.Доказательство. Положим r = smt(M ) и покажем, что существует G ∈T (M ), для которого |G| = r и у которого все точки Штейнера — конечныеметрические пространства.По предложению 2.9, для любого n ∈ N можно выбрать дерево Gn =(Vn , En ) ∈ T (M ) такое, что |Gn | ≤ r+ n1 .

Более того, имеет место следующийрезультат.Лемма 4.1. Пусть D — максимальный диаметр пространств из M . Тоb =гда для любого n ∈ N диаметры пространств из Vn не превосходят DD + r + 1.Доказательство. По определению, диаметр каждого m ∈ M не превосхоb поэтому для таких m предложение доказано.дит D, а, значит, и D,Положим Sn = Vn \ M .

Нам осталось доказать предложение для s ∈ Sn .Пусть m ∈ M , тогда, в силу неравенства треугольника, имеемdGH (s, m) ≤ |Gn | ≤ r +1≤ r + 1.nПо предложению 2.2, имеемdGH (s, m) ≥ | diam s − diam m|.Из последних двух неравенств следует, что| diam s − diam m| ≤ r + 1,поэтому diam s ≤ diam m + r + 1 ≤ D + r + 1.По предложению 2.8, в последовательности Gn существует подпоследовательность, состоящая из деревьев одного типа.

Переходя, если необходимо, к такой подпоследовательности, без ограничения общности будем считать, что все деревья Gn имеют один и тот же тип. Обозначим через f числовершин, а через g — число ребер деревьев Gn , и пусть Sn = {s1n , . . . , sfn−p }— множество внутренних вершин дерева Gn . Мы предполагаем, что sin приразных n соответствуют друг другу при изоморфизмах графов Gn , тождественных на M (эти изоморфизмы существуют в силу того, что графы Gnимеют один и тот же тип).4. Кратчайшие деревья в пространстве метрических компактов.8nДля каждых n ∈ N и uv ∈ En существует такое соответствие Ruv∈11nR(u, v), что dGH (u, v) ≥ 2 dis Ruv − n .

Выберем произвольное m ∈ M ипроизвольную точку xm ∈ m. Рассмотрим ребро mv ∈ En . По определениюnсоответствия существует xv ∈ v такая, что (xm , xv ) ∈ Rm,v. Пусть точка′xv′ ∈ v уже выбрана, тогда для каждого ранее не рассмотренного ребраv ′ v ′′ ∈ En существует точка xv′′ ∈ v ′′ такая, что (xv′ , xv′′ ) ∈ Rvn′ ,v′′ . Выбираяточки xw до тех пор, пока не исчерпаем все множество вершин дерева Gn ,мы получим множество {xw }w∈Vn , которое назовем сечением дерева Gn ,выпущенным из x ∈ m.Из каждой точки x каждого множества m ∈ M выпустим одно произвольное сечение дерева Gn . Заметим, что если N — максимальное числоточек в пространствах из M , то количество построенных сечений не превосходит N ′ = p N .Пусть ŝin ⊂ sin — множество всех лежащих в sin узлов построенных сечений.

Ясно, что число точек в метрическом пространстве ŝin не больше N ′ .b поэтому также diam ŝin ≤ D.b СледоВ силу леммы 4.1, имеем diam sin ≤ D,′Nibbbвательно, ŝn ∈ MDb . Обозначим через Gn = (Vn , En ) граф, полученный изGn заменой внутренних вершин sin на ŝin . Тогда∪{}Vbn = Mŝ1n , . . . , ŝfn−p .b n | → smt(M ) при n → ∞. Легко видеть, что для каждоПокажем, что |Gb n ограничениего ребра uv графа Gn и соответствующего ребра ûv̂ графа Gnна û × v̂ также является соответствием, которое мы обосоответствия Ruvnnbn . Так как Rbn ⊂ Ruvbn ≤ dis Ruvзначим через R, имеем dis R.ûv̂ûv̂ûv̂Через построенные соответствия оцениваются длины ребер ûv̂:dGH (û, v̂) ≤111nnbûv̂dis R≤ dis Ruv≤ dGH (u, v) + .22nb n , получимПросуммировав неравенство по всем ребрам графа Gb n | ≤ |Gn | + g ≤ r + (g + 1) ,r ≤ |Gnnb n | → smt(M ) при n → ∞.поэтому |GУпорядочим точки из Vbn , например Vbn = (m1 , .

. . , mp , ŝ1n , . . . , ŝfn−p ), то((′ )f′ )f. В силу предложений 2.5 и 2.6, пространство MpNгда Vbn ∈ MNbbDDкомпактно, поэтому из последовательности Vn можно выбрать подпосле(′ )fдовательность, сходящуюся к некоторому V ∈ MN. Без ограниченияbDобщности будем считать, что сама последовательность Vn сходится к V .b n заменой их верПусть G = (V, E) — дерево, полученное из деревьев Gbnшин v̂ni ∈ Vbn на пределы v i = limn→∞ v̂ni (напомним, что все деревья Gbимеют один и тот же тип). Тогда |G| = limn→∞ |Gn | = smt(M ), поэтому′G — кратчайшее дерево на M . Так как V ∈ MNb , то все точки ШтейнераDдерева G — конечные метрические пространства.

Теорема полностью доказана.4. Кратчайшие деревья в пространстве метрических компактов.9Список литературы[1] Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.[2] Иванов А. О., Тужилин А. А. Элементы метрической геометрии и геометрической теории графов спецкурс 2014-2015http://dfgm.math.msu.su/courses.php?comments=19.[3] Иванов А.

О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2003..

Характеристики

Список файлов ВКР

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6508
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее