1631124477-82ec24c53160ee47eab99dbdf7619a22 (848544)
Текст из файла
seminars-2016-part-12seminars-2016-part-25ЗАДАЧИ ДЛЯ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙЧасть 1С.А. СаженковНовосибирский государственный университетe-mail: sazhenkovs@yandex.ruЗадача 1. Обосновать второе неравенство Пуанкарэ в Rn : пусть Π := {x | 0 < xi <li }, тогда для любых u ∈ H 1 (Π) имеет место оценка∫|u| dx ≤ |Π|2Π−1(∫)2udxΠn∑+2 i=1n∫Πli2 u2xi dx.Литература: [1, с. 26-27], [2, с. 66-67].Задача 2. Обосновать первое неравенство Лерэ: для u ∈ H01 (Ω) (Ω ⊂ R2 ) справедливо неравенство∫)(∫)(∫24|u|2 dx .|ux | dx|u| dx ≤ 2ΩΩΩЛитература: [1, с.
27-28].Задача 3. Обосновать второе неравенство Лерэ: для u ∈ H01 (Ω) (Ω ⊂ R3 ) справедливо неравенство∫(∫)1/2 (∫)3/242|u| dx ≤ 4|u| dx|ux |2 dx∀ u ∈ H01 (Ω).ΩΩΩЛитература: [1, с. 28-29].Задача 4. Доказать, что решения краевой задачи∆u + λu = 0 в Ω,u = 0 на ∂Ω,образуют ортогональный базис в пространствах L2 (Ω) и H01 (Ω).Литература: [1, гл. 3, §1], [2, гл. 2, §§3,4].Задача 5. Доказать, что для любого f ∈ L2 (Ω) задача∆u = f в Ω,u = 0 на ∂Ωимеет единственное решение u ∈ H01 (Ω). Получить оценку нормы u в H01 (Ω).1Литература: [1, гл.
3, §1], [4, с. 170-174].Задача 6. Получить для решения задачи∆u = f в Ω,u = 0 на ∂Ω,где f ∈ L2 (Ω), оценку в W22 (Ω∗ ), где Ω∗ — строго внутренняя подобласть области Ω,причем ∂Ω∗ — достаточно гладкая.Литература: [1, гл. 3, §1], [4, с. 212-216].Задача 7. Доказать, что пространство L2 (Ω) (Ω ⊂ R3 — ограниченная односвязнаяобласть) разлагается в прямую сумму ортогональных подпространств соленаидальныхи градиентных функций:L2 (Ω) = J0 (Ω) ⊕ G(Ω).Литература: [1, с. 34, лемма 2.9], [3, с.
41-44].Задача 8. Доказать, что при f ∈ L2 (Ω) задача∆v − ∇p = f в Ω,div v = 0 на Ω,v = 0 на ∂Ωимеет единственное решение в J01 (Ω). Получить оценку на решение.Литература: [1, гл. 3, §2], [3, гл. II, §1].Задача 9. Для вектора скорости v, являющегося решением задачи Стокса∆v − ∇p = f в Ω,div v = 0 на Ω,v = 0 на ∂Ω,где f ∈ L2 (Ω), получить внутреннюю оценку регулярности в W22 (Ω∗ ), где Ω∗ — строговнутренняя подобласть области Ω, причем ∂Ω∗ — достаточно гладкая.Литература: [1, гл.
3, §2], [3, гл. 2, §1, теорема 3].Задача 10. Доказать, что векторные поля v, удовлетворяющие задаче∆v − ∇p = λv в Ω,div v = 0 на Ω,v = 0 на ∂Ωобразуют ортогональный базис в пространствах J0 (Ω) и J01 (Ω).Литература: [1, гл. 3, §2], [3, гл.
2, §4].2Список литературы[1] Басов И.В., Бочаров О.Б., Саженков С.А. Математические модели механикисплошных сред: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005.[2] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: изд-во “Наука”,1973.[3] Ладыженская О.А. Математические вопросы вязкой несжимаемой жидкости.
М.:“Наука”, 1970.[4] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: “Наука”, 1976.[5] Temam R., Miranville A. Mathematical Modeling in Continuum Mechanics. CambridgeUniversity Press, Cambridge, 2005.3ЗАДАЧИ ДЛЯ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙЧасть 2С.А. СаженковНовосибирский государственный университетe-mail: sazhenkovs@yandex.ruЗадача 11. Построить объемные потенциалы для стационарных уравнений Стокса∆v − ∇p = f в Ω,div v = 0 на Ω.Литература: [3, гл.
III, §1, с. 69-72].Задача 12. Выписать формулы Грина, соответствующие стационарной задаче Стокса∆v − ∇p = f в Ω,div v = 0 на Ω,v = 0 на ∂Ω.С помощью формул Грина построить решение этой задачи.Литература: [3, гл. III, §2, с. 72-74].Задача 13. Построить в Ω соленоидальное векторное поле a(x), обращающееся награнице ∂Ω в заданное:a|∂Ω = α.Литература: [3, гл. I, §2, с. 38-40].Задача 14. Методом Роте доказать разрешимость начально-краевой задачи дляуравнения теплопроводности∂u− ∆u = f (x) x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),∂tu|t=0 = φ(x),u = 0 на ∂Ω,где f, φ ∈ L2 (Ω).Литература: [2, гл. III, §5, с.
189-195].Задача 15. Пусть 0 < li < +∞, i = 1, . . . , N .1Числа li являются заданными положительными. Обозначим Y = (0, l1 ) × . . . × (0, lN )— параллелепипед в RN . Рассмотрим функцию f ∈ Lp (Y ) (1 ≤ p < +∞) (1 ≤ p < +∞).Продолжим ее периодически по Y на все пространство RN , т.е. будем считать, чтоf (x + li ei ) = f (x) ∀ x ∈ RN ,∀ i ∈ [1, N ],ei = (0, . . .
, 1, . . . , 0), где единица стоит( x )на i-м месте.Задание: Доказать, что fε = fслабо в Lp (Ω) сходится кε∫1MY (f ) =f (y)dy|Y | Yдля любой измеримой ограниченной области Ω ⊂ RN .(Через |Y | обозначен объем параллелепипеда: |Y | = l1 . . . lN .)[4, теорема 2.6, с. 33-37].Задача 16. (Почти-липшицевость поля скоростей.) Пусть Ω — ограниченная односвязная область класса C 3 из R2 , ω = ω(x) — заданная ограниченная функция, |ω| ≤ M ,а ψ(x) — решение задачи∆ψ = −ω, ψ|∂Ω = 0.Доказать, что справедливы оценки|∇ψ| ≤ CM,|∇ψ(x) − ∇ψ(y)| ≤ CM ζ(|x − y|),где ζ(s) = s(1 + | ln s|), C = C(Ω).Литература: [1, гл.
5, §5, с. 60-61].Задача 17. Доказать гельдеровость оператора сдвига вдоль траекторий, соответствующего почти-липшицевому соленоидальному полю скоростей.Литература: [1, гл. 5, §6, с. 61-63].Список литературы[1] Басов И.В., Бочаров О.Б., Саженков С.А. Математические модели механикисплошных сред: Учеб.
пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005.[2] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: изд-во “Наука”,1973.[3] Ладыженская О.А. Математические вопросы вязкой несжимаемой жидкости. М.:“Наука”, 1970.[4] Cioranescu D., Donato P. An Introduction to Homogenization. Oxford: OxfordUniversity Press, 1999.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
