1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Третий член отражает зависимость рй сй массы от скорости и по порядку величины равен,— — . Б случае2лй с' ' о((с этот член можно рассматривать в качестве малого возмущения. Используем теперь то обстоятельство, что в нулевом прибли- жении р'=2рй(Š— с1). Поэтому рй (Е 11)й 1 1 2ЕХсй гйсй 1 )г — — — — — — — й Е'+ — + — 1.
(3.3у злййсй 2лйсй 2 щсй 1( г г' Возмущение (г приводит к сдвигу уровня, равному среднему значе- нию )г в данном состоянии '): ЬЕ„, = <и! ! 11л1> = — —, (Ей + 2ЕйХе'<г '>„, + Ейс' <г '>„). (34) Здесь Е„ †энерг атома в нулевом приближении, определяемайь формулой (1.13). Подставляя в (3.4) приводимые выше выражения, для матричных элементов величин г ' и г ', получим З ) Ей (АЕ;„= — а' — — й —, йу; 1 4л 1лй ! (3.5) здесь а= —. Обсуждение этой формулы будет проведено немного Йс 4 ' 3 ') Существенно, что вследствие независимости Р' от угловых переменных а' в йр матричные элементы <л1лй ~'г') л1'лй'> с 1 Ы 1' н сй Ы т' равны нулю.
Это позволяет не учитывать вырождения по 1 и т. По этой же причине вычисление ЬЕ' сводится к интегрированию по г. ниже. 2. Поправка, связанная со олином электрона. Электрон обладает. собственным моментом количества движения и, не связанным с его движением в пространстве. Этот момент получил название спинового. момента или просто спина. Собственное значение квадрата спина. а' есть [гл.
! СПЕКТР ВОДОРОДЛ !3.6) 'Коэффициент пропорциональности между Са и а по абсолютной величине равен удвоенному магнетону Бора — =р ). Наличие собстей 2тс венного магнитного момента у электрона приводит к дополнительному взаимодействию между электроном и ядром. Выражение для энергии этого взаимодействия наиболее последовательным образом можно получить, если от уравнения Дирака для электрона в центрально-симметрическом поле СС(г) перейти к нерелятивистскому уравнению, сохранив члены порядка !С!с)' включительно. При этом маряду с членом, учитывающим зависимость массы электрона от скорости, в уравнении появляется член (см.
$ 26) ДЯ дСС 1 )Р = — — — Са. 2т'с' дг г (3.7) Для того чтобы выяснить физический смысл этого дополнительного взаимодействия, рассмотрим движение электрона в электростатическом поле Е. Как известно, напряженности электрического и магнитного полей Е, Н в неподвижной системе координат и в системе координат, движущейся со скоростью и, в случае п(<с связаны соотношениями Е'=Š— —, )Нп', Н'=Н+ — СЕ м].
1 ф 1 13. 8) Поэтому наличие в деподвижной системе координат поля Е приводит к появлению в системе координзт, связанной с электроном, 1 магнитного поля Н' = — 1Еп1. Энергия взаимодействия магнитного с !яомента электрона Са с этим полем равна К = — )ЕН' = — — СЕРР!. р с дСС г Подставим в 13.9) выражение — еЕ=~7СС= — — — и учтем, что дг г момент количества движения электрона дС равен т [гаг1, поэтому 3 ~~гт1 = — С. (3.9) ') Напомним, что отношение магнитного момента, обусловленного движением заряженной частицы, к ее орбитальному моменту равно м,.
а г-компонентз спинз з, может принимать лишь два значения ! -Ь вЂ”. Кроме собственного механического момента а, электрон обла- 2 ' дает также магнитным моментом )ь, связанным с а соотношением ед Сь = — — а. тс 27 й 3) Таким образом, ТОНКАЯ СТРУКТУРА яр, йди1 3* дг71 1г о 1в— с лг дг г лг'с' дг г 13.10) 1 Выражение (3.7) отличается от 13.10) множителем —. Это расхож- 2 ' двине связано с тем, что формулы 13.8) справедливы лишь в случае неускоренного движения электрона.
Можно показать, что учет ускорения приводит к появлению в 13.10) нужного поправочного 1 множителя — так называемого поправочного множителя Томаса— 2 ' френкеля. Выражение (3.7) содержит скалярное произведение векторов 1,в, поэтому об этом взаимодействии часто говорят как о спин-орбитальном взаимодействии, или взаимодействии спин †орби. Вывод выражения (3.10) показывает, что спин-орбитальное взаимодействие есть не что иное, как взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным полем, индуцируемым в системе координат электрона при движении электрона в электростатическом поле ядра. Это взаимодействие имеет релятивистскую природу и исчезает при — — О, с Спин-орбигальное взаимодействие ззвисит не только от величины момента количества движения 1, но тзкже и от взаимной ориентации моментов 1 и в, т.
е. от величины полного момента атома ,/=1 +в. Сложение моментов 1 и в проводится по общим квантовомеханическим правилам сложения моментов. Собственное значение квадрата полного момента у' равно г'1г' + 1), 1/ . 11 причем при заданном значении 11=1~ — ~при 1=0 У= — ) . Про. 2), 2)' екция полного момента лгу складывзется из проекции орбитального момента гп, и спинового момента гп„ т. е. лг =т, +лг,. В дальнейшем мы будем опускать индекс 1 у лг, понимая под пг именно проекцию полного момента. При заданном значении / квантовое число гп может принимать (2/+ 1) различных значений 7', / — 1, ..., — у. Таким образом, к уровню п1/ относятся 21+1 состояний, отличающихся значением квантового числа лг.
Величина 2/+1 называется статистическим весом уровня 1. Значение 1 принято указывать справа внизу после 1 спектроскопического обозначения 1. Так, состояние и, 1 = 1, 1 = — , в 3 обозначается пр,, состояние п=4, 1=2, /= — — 4м, и т.д. Кван. Т Т товое число 1' часто называют также внутренним квантовым числом. Полный момент всякой изолированной системы сохрзняется, поэтому состояние атома можно характеризовать значением полнопь момента / и в том случае, когда отдельно орбитальный и спиновый. (гл. г спектг водогодл /ч =1'+к'+ 213, 1а =- — (/' — !' — к').
2 2е' что 1/= — —, получим г ' Учитывая также, — — (/ — 1 — г ). Яе'Ь' 1 1 2т'с' г' 2 (3.1 1) Среднее значение возмущения (3,11) в состоянии и, 1, / равно, очевидно, 2е'В' 1 1 2т'г' Фт 2 (/(/+1) — 1(1+1) — '('+1)). 'Поэтому для попрзвки к энергии, обусловленной спин-орбитальным взаимодействием, получим (значение матричного элемента бг 'у„г было приведено выше) г Е" ° 1(1+!) 1(1+ ) ( ! ) 2 )з 21 (1+1) (1+ — ) 3. Тонкая структура. Сравнение формул (3.5) и (3.12) показывает, что оба эффекта, собственно релятивистский и связанный ,со спином электрона, имеют один порядок величины.
Легко прове! . ! рить, что в обоих возможных случаях /=1+ — и /=1 — — сум- 2 2 марная поправка к энергии гзЕ'+ЛЕ определяется одним н тем же выражением /зЕ,ц — — /лЕ'+/лЕ" =сс 4 ~ ' )су )' (3'13) !+ — (" 2( Таким образом, вследствие релятивистских эффектов уровень п1 ! . ! расщепляется на две компоненты /=1+ — и /=1 — —. Это рас- 2 2 ' ') Прн 1=0 формула (3.12! теряет смысл, так как н числитель, н зна,менатель в (3.12) обращается в нуль.
Тем не менее формула (3.!3) справедлива прн всех значениях 1, в частности, и прн 1=0 (см. э 26). моменты не сохраняются. Вследствие спин-орбитального взаимодей- 1 . ! ствия энергия атома в состояниях /=1 + — и / =1 — — различна. 2 'Таким образом, спин-орбитальное взаимодействие приводит к рас- 1 ! зцеплению уровня п1 на две компоненты 1-1- — и 1 — —.
Прежде 2 2 ' тем перейти к вычислению энергии расщепления, выразим зависимость спин-орбитального взаимодействия от/ в явном виде. Поскольку .1 =1+а, е ТОНКАЯ СТРУКТУРА 29 „ епление носит название тонкого или мультиплетного расщепления. е* 1 безразмерная постоянная а= — —, определяющая масштаб раслс 137 ' щепления, носит название постоянной тонкой структуры. Существенно, что в то вреия, как каждая из поправок гхЕ' и ЛЕ" по ь.=- жги'/-т( 7 й 'е)е» ь.1~~ / У В=8 ч~1ее 1 /=у л=т -~ — --- —- с;. ь,1и Уе т Рнс.
3. Тонкая структура уровней л=1, 2, 3. отдельности зависит от 1, суммарная поправка ЬЕ от 1 не зависит. Таким образом, для всех л-, 1-уровней, отличающихся лишь значением 1, компоненты тонкой структуры с одним и тем же значением / совпадают. На рис. 3 показано тонкое расщепление уровней л = 1, 2, 3.
Как следует из 13.13), тонкое расщепление уменьшается 1 С увеличением л примерно кзк —,, поэтому это расщепление особенно существенно для нижних уровней. Согласно (3.13) рзсстояние между уровнями /' =1+ — и 2 1 ' 1- — равно 2 а*2' ОЕР7. = л.г ~1+ 1) Ку. спектР водоРода [гл. ! 30 з Так, расщепление уровней атома водорода у'= — и У= — прил=2, 3 и 4 составляет соответственно 0,36 слг ', 0,12 см ' и 0,044 слг Отметим в заключение, что формула (3.13) совпадает с формулой, полученной из точного решения уравнения Дирака для атома водорода, если в этой формуле провести разил' /-— И Й ложение по степеням — и сохранить чле- И У И l г ны порядка — включительно.
И' Совокупность линий, образованных переходами между компонентами тонкой структуры уровней и! и пур (переходы п(Г' и'!'/'), называется мультиплетом. Правило отбора по квантовым числам / ииеет вид ') пр у=у у 7 lиг Рис. 4. Схема разрешенных переходов в мультнплете ЛУ =0~1. (3. 14) лп лр. С помощью этого прзвила легко найти характер тонкого расщепления линий водоролного спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
