1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 3
Текст из файла (страница 3)
С. Л. Мандельштамом. 9 33 и глава Х! написаны совместно с Л. А. Вайнштейном, а 9 46 совместно с Л. А. Вайнштейном и Л. П. Пресняковым. В заключение я хочу выразить искреннюю благодарность проф. С. Л. Мандельштаму„ по инициативе которого была написана настоящая книга, проф. М. Г. Веселову, прочитавшему рукопись, а также Л. А. Вайнштейну, Ю.
П. Донцову, Н. Н. Соболеву и В. И. Когану, просмотреашим отдельные главы рукописи, за ряд ценных замечаний. Благодарю также Т. И. Соколову за помощь в оформлении рукописи. И. Собельжам ЧАСТЬ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АТОМНЫХ СПЕКТРАХ ГЛАВА 1 СПВКТР ВОДОРОДА й 1. Уравнение Шредингера для атома водорода (д,е ~е'~ (1.1) Волновая функция ф, являющаяся решением этого уравнения, описывает стационарное состояние с определенным значением энергии Е. Г!ри движении в центрально-симметрическом поле сохраняется момен~ количества движения частицы, поэтому среди стационарных состояний имеются такие, которые характеризуются также определенным значением квадрата момента количества движения и значением одной из компонент момента.
Выберем в качестве этой компоненты х-компоненту момента, т. е. будем рассматривать стационарные состояния, характеризуемые определенными значениями величин Е, квадрата момента и я-компоненты момента. Волновые функции ф этих стационарных состояний суть собственные функции опеРатоРов ее и 1е и должны поэтомУ УдовлетвоРЯть также УРавне- ниям уеф = 1(1+ 1) ф, 1,ф=тф (1.2) (!.3) где 1(1+1), т — собственные значения операторов !' и 1,. Напомним, что в квантовой механике квадрат момента количества движения может принимать лишь дискретный ряд значений 11'1(1+ 1), где Л гг = —; А — постоянная Планка, причем 1=0, 1, 2, ... Точно 1. Уровни энергии. Задача об относительном движении алек трона (масса т, заряд — е) и ядра (масса М, заряд е.е) приводится, как известно, к задаче о движении частицы с эффективной массой тМ ее' р = — =т в кулоновском поле — — .
т+М еее Уравнение Шредингера для частицы в поле — — имеет вид г (гл. [ СПЕКТР ВОДОРОДЕ 14 так же е-компонента момента может иметь значения Ьув, т = О, ~ 1, +-2, ... при дополнительном условии ~лу~ ~ Е В дальнейшем мы будем для краткости говорить просто о моменте 1 и г-компоненте момента лу, подразумевая момент, квадрат которого равен уг'1(1 + 1) и х-компонента равна Ьум. Компоненты момента 1 связаны с компонентами импульса Р соотношением лук = УРк ЕРу уу(у = Рк+ ЕРк~ ™к = Ру УРк' (1 4) — +луур=О.
. дуу др (1.5) (1.6) Запишем также в сферических координатах уравнение (!.1) (1.7) Сравнивая уравнения (1.5) и (1.7), мы видим, что угловая часть оператора Лапласа ~), с точностью до множителя г ' является оператором квадрата момента количества движения, поэтому вместо (1.7) получаем * д (г д ),к — У(У+ ут~~Е+ — ~ УР=О. (1.8) Будем искать решение этого уравнения в виде ур= ус(г) г; (8, <р), (1.9) где угловая часть волновой функции 1'ьк(11, ф удовлетворяет уравнениям (1.5) и (1.6). Поде~валяя (1.9) в (1.8), получаем уравнение для радиальной части волновой функции Асимптотическое поведение радиальных функций при г — оо определяется уравнением дУ!с 2р — + — Е ус=О. дУ Дк (1.1 1) Заменив в этих выРажениЯх Рк, Р, Р, на квзнтовомеханнческие операторы †(й †, — (д †, — (в — и вводя сферические коордидк ' дя' дг наты у, 8, ~р, получим вместо (!.2) и (1.3) следующие уравнения: 15 гглвнвнив шгвдингвгл для атома водогодл Таким образом, при г оо имеем ! 1 К- 2~ Лг — -- à — 2~ Вг 11 — С,е" +С,е (!.12) Константы С„С, можно найти из условия сшивания (1.12) с точным решением уравнения (1.10) и условия нормировки.
Этн константы являются функциями энергии Е и момента 1. Если Е>0, то т)! — — 2)ьЕ=1)г2(2 ~ Е( и функция (1.12) ограничена. Если же Е(0, ! член -е " при г — оо неограниченно возрастает. В соответствии с этим при Е) 0 существуют конечные и непрерывные решения (1.10) при любых значениях Е и 1. При Е<0 конечные и непрерывные решения уравнения (1.10) возможны лишь при некоторых дискретных значениях Е, определяемых из условия С,(Е, 1) =О. Интегрируя уравнение (1.10), можно показать, что это условие дает ! ~'Рг' Е= — —,— —, 2 л'ЬР ' (!.13) где п †цел число, причем и ) 1.+ 1. Число л носит название главного квантового числа.
При заданном значении л квантовое число 1 может принимать значения О, 1, 2, ..., л — 1 (всего л различных значений). Каждому значению 1 соответствует (21-)- 1) состояний, отличающихся значениями квантового числа лг, ко~орое часто называют магнитным квантовым числом. Энергия атома в состоинии л, 1, лг однозначно определяется заданием главного квантового числа и не зависит от 1 и лг. Таким образом, для частицы в кулоновском поле имеет место л'-кратное вырождение уровни.
К уровню л относятся 1 + 3+ 5+... + 2л — 1 = л' различных состояний, отличающихся квантовыми числами 1 и лг. Независимость энергии от лг имеет простой физический смысл. В поле, обладающем центральной симметрией, все направления в пространстве равноценны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента количества движения. Что касается независимости от 1, то это является спецификой кулоновского поля и в общем случае центрально-симметрического поля не имеет места.
Схема уровней энергии атома водорода, соответствующая формуле (1.13), изображена на рис. 1. В спектроскопии принято обозначать состояния, соответствующие значениям 1=0, 1, 2, ..., буквами латинского алфавита 2, р, г(, У, а, л, 1, л, Так, состояние л = 1, 1 = 0 обозначается 12, состояние л = 2, 1 = 2 обозначается 2Н и т. д. Таким образом, к уровню л = 1 относится состояние 12, к уровню л =2 в состояния 22, 2р, к уровню л =3 состояния 32, Зр, ЗЫ и т. д. [гд. ! спектР водоРода Если пренебречь различием между приведенной массой тд р жт ( 1 ††) и массой электрона т, которое составляет примерно и) ! те' Р 2000 — т то для уровней энергии получаем Е = — — — .
Величина и $а 2П1' /и/5 /г/ Рис. 1. Схема уровней энергии атома водорода. гига т — =4,304 ° 10 арг ( 27,01 ав) принята в качестве атомной еди- А' ницн энергии. В спектроскопии используют также ридберговскую 1 те' пу Яе единицу энергии йу= — —. В этих единицах Е„= — —, 17 эглвнанив шгвдингвгл для атома водоеода для ионизации атома водорода, т. е.
для отрыва электрона от ялра необходимо сообщить атому энергию ) Š— Е ! = — — . Эта вели- 1 ре' 2 йуе чина называется энергией ионизации (если она измеряется в электронвольтах, то потенциалом ионизации) и обозначается Еп С точностью ло замены р на гл Ег =Ку. Уровень л = 1 получил название основного. Первый возбужденный уровень, ближайший к основному, нззывается резонансным. Энергия, необходимая для возбуждения резонансного уровня, называется резонансным потенциалом и обо- 3 значается Е,. Для атома водорода Е,=)Е,— Е,)= — Е,.
Это дает Е;13,53 ээ, Е, 10,15 эз. В атомной спектроскопии вместо уров- Е„ ней энергии Е часто используются величины а„= —" имеющие и з 2пйс ту же размерность слз ', что и волновые числа. Значения величии и„ для уровней энергии атома водорода приводятся на рис. 1. 2. Волновые функции. Обозначим радиальные волновые функции дискретного спектра через К„(г). Тогда "Кит =Коз(г) ! ьз(5 Ф). Угловые функции Гпз(9, Ф), удовлетворяющие уравнениям (1.5), (1.6), могут быть выражены через присоединенные полиномы Лежандра а именно Уьз(5Ф) =сопз1Р,'"(сон й) е Определяя значение постоянной из условия нормировки зч ч ) ) ( У,„(ОФ) 1* з(п О ДВ г(ф = 1, о о получим Уьз(ВФ) — Энз(В) гВ„(Ф), )Э,н = ( — 1)" ~~ ' П, Р" (сов 5), з""т Ф (1.14), "гг2п Здесь предполагается, что т)0.
Для эз(0') (!.15) )Эг )н)=( — 1) )Эг~о). ') Выбор знаков в функциях О, не однозначен. Иногда функции Вз — 1т 1 определяются другим соотношением. Это надо иметь в виду во избежание ошибок, Определение фаз функций Вгм (1.15) соответствует принятому в (К.Ш.) (ГЛ. 2 18 СПЕКТР ВОДОРОДА Функции 1;„(8, ф обычно называют сферическими или шаровыми. Эти функции взаимно ортогональны и нормированы Еа а 1 1 Г,. Г,.
3!. О 18 (Ф =ба 5.. (1. 16) о о выражения для функций У, при 1=0, 1, 2, 3: «/4и = 1/ — соз8 «' =~ 1/ — айп!)еа'Р, — / 3 -/3 У 4 ' '-+' У 3 /5 13, 1! «' = 1/ — ~ — соз'8 — — ~ зо «/ 4и(~2 2 «; 2, — =г 1/ — соя 8 айп 8 еа'", - / 15 1 -/15 /7!5, 3 «; = 1/ — ~ — соз'8 — — соз 811 «к 21= Г 4 )Т 4 З!П8(5СОЗ 0 — 1)Еа т, Ук 2, = — 1/ — з1П'Осоз8еа"Р ! - / 105 ° '*' 4 У Ы Ф Р 64П Приведем явные 1=0 1=1 (1. 17) 1=3 Радиальные функции дискретного спектра й„,(г) имеют вид 1// (и+1)! ~22 ') * -„' —,' ~2гг,' 1'и!(г) (21+1)! Р (и — 1 — 1)12и ~йа,1 ~ иа,/ х Е ~ — (и — 1 — 1), 21+2, 22г! иа,~ ' (1.18) 82 а, = —, = 0,529 ° 1О ' см — атомная единица длины (боровский радиус). Здесь Š— конфлузнтная или вырожденная гипергеометрическаи функция, определяемая рядом а а а(а+1), а(а+1)(а+2] (а й~ «) = 1 + й«1 «+ )«ф - 1) 21 х + ан (ан+ 1) [ан+ 2) 31 х + ' (!.19) Если а есть целое отриц ательное число, как в (1.18), то Е(а,(), х) сводится к папиному степени (а !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
