1626435697-9d9ede204f9baad60159c2d6531787c7 (844297), страница 62
Текст из файла (страница 62)
ГЛ. 8. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ $.1. АНАЛОГИИ МЕЖДУ ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ И ЛОЛИНОМАМИ Наиболее очевидная аналогия мезцду неотрицательными целыми числами и полиномами от одной переменной заключается в возможности представлять те и другие конечными степенными рядами а — ! 4'' а;х'. В случае целых чисел коэффициенты а8 можно выбирать из множества 10, 1) при х=2. В случае полиномов эти аэ можно выбирать из некоторого множества козффицентов '), считая х переменной. Существует естественная мера "размера" — это по существу длина степенного ряда, представляющего целое число или полипом. В случае двоичного целого числа размером служит число битов, необходимых для его представления; в случае полинома размер— это число его коэффициентов.
Таким образом, мы приходим к следующему определению, Определение. Если 1 — неотрицательное целое число, то РАЗМЕР(1)=( 1оя ( ~+1. Если р(х) — полипом, то РАЗМЕР(р)= =СТ(р)+1, где СТ(р) — степень полинома р, т. е. наибольшая степень переменной х с ненулевым коэффициентом. Над целымн числами и полиномами можно выполнять приближенное деление. Если а и Ь вЂ” два целых числа и ЬчьО, то найдется единственная пара целых чисел д и г, для которых 1) а=Ьд+г, 2) г(Ь, где д и г — соответственно частное и остаток от деления а на Ь. Аналогично, если а и 6 — полиномы, причем Ь отличен от постоянной, то можно найти такие полиномы д и г что 1) а=ьд+г, 2) СТ (г)« 'СТ (Ь). Другая аналогия между целыми числами и полиномами — существование для тех и других удивительно быстрых алгоритмов умножения.
В предыдущей главе мы показали, что два полииома степени л с вещественными коэффициентами можно перемножить с помощью БПФ за время ОА(п 1ой и). Здесь разумно измерятьсложность числом арифметических операций, поскольку на практике мы представили бы полиномы их коэффициентами с фиксированной точностью и оперировалн бы с полиномами, выполняя арифметические операции над такими коэффициентами.
') Всюду ниже можно считать множество коэффициентов полем (см. равд. )йн) вешественных чисел, хотя результаты верны для любого поля коэффицн. ентов, если измерять вычислительную сложность числом операций в этом ноле. Таким образом, в нашей модели размер коэффициентов не прнннмаетсв во внимание. 311 6.2. умнОжение и деление целых чисел Алгоритмом Шенхаге — Штрассена из равд.
7.5 можно умножить два а-разрядных двоичных целых числа за время Оз(и!ой л1ОЕ 1ойп), Мы утверждаем, что в случае целых чисел интересны лишь битовые операции. Фактически только в двух ситуациях не стбит рассматривать умножение целых чисел как основную (первичную) операцию. Это прежде всего разработка аппаратной реализации умножения, где число битовых операций соответствует числу элементов, необходимых для схемы умножения, и кроме того, разработка алгоритмов любой точности для операций с фиксированной запятой, реализуемых на вычислительных машинах со словами фиксированной длины, где число битовых операций соответствует числу машинных команд, необходимых для умножения с точностью до и разрядов.
Таким образом, результаты арифметических операций над полииомами и целыми числами окажутся очень похожими, если пользоваться двумя различными мерами сложности (арифметической и битовой). Эти две меры аналогичны в том смысле, что битовые операции — это операции над коэффициентами степенных рядов, представляющих целые числа, а арифметические — это операции над коэффициентами полиномов. Е.?.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Покажем, что время (как число битовых операций) умножения целых чисел равно с точностью до постоянного множителя времени деления и оно так же связано с операциями возведения в квадрат и обращения. В данном разделе мы будем употреблять такие обоз- начения: М (л) — время умножения двух целых чисел размера н, В (а) — время деления целого числа размера не более 2п на целое число размера а, 5 (п) — время возведения в квадрат целого числа размера л, К (и) — время обращения целого числа размера а. Здесь время измеряется числом битовых операций. Мы будем предполагать (что вполне разумно), что М (л) удовлетворяет нера- венствам а'М (л) ) М (ап) ) аМ (л) для а)1.
Предполагаем, что остальные три функции также обладают этим свойством. Сначала покажем, что л-разрядное двоичное целое число можно обратить по существу за то же время, что и умножить два п-разрядных двоичных числа. Так как 1Л ие является целым числом для С 1, то под "обратным" к числу 1 мы на самом деле понимаем приближение к дроби И, имеющее и значащих двоичных разрядов (битов). зо гл. е АРиФметические опеРАции Поскольку предполагается, что на изменение масштаба (сдвиг двоичной запятой) время не тратится, мы можем с тем же успехом сказать, что "обратное" к числу 1 — это частное отделения 2'" ' на й В остальной части этого раздела термин"обратное" употребляется именно в этом смысле. Сначала рассмотрим, как найти последовательные приближения к числу А =ПР, где Р— целое.
Пусть А1 будет 1-м приближением к ПР. Тогда точное значение А можно представить в виде А =А,+ЯР) (1 — А,Р). (8.1) Если в (8.1) взять в качестве приближения к ПР число А„то получим формулу Аг+1= А~+ Аг П вЂ” А1Р) = 2Аг — А~~Р, (8.2) которую можно использовать для нахождения ([+Ц-го приближения числа А по его 1-му приближению.
Заметим, что если А,Р=1 — В, то А, „Р=2А,Р— А,'Р'=2(1 — В) — (1 — 3)'=1 — Р. Это показывает, что итерация по формуле (8.2) дает квадратичную скорость сходимости. Если Я(Ч„ то число правильных двоичных разрядов удваивается при каждой итерации. Поскольиу число Р предположительно содержит много двоичных разрядов, то для первых приближений не обязательно брать все его цифры, потому что на правильные цифры числа А ~+г влияют только старшие разряды в Р. Если в А~ первые й цифр справа от запятой верны, то 2й цифр числа А~+, можно найти по формуле (8.2), Иными словами, для вычисления А,+,— — 2А~ — А,'Р берем в 2А, только й цифр справа от запятой н находим А', Р, используя 2е-разрядное приближение числа Р и отбрасывая затем все разряды правее 2й-го после запятой.
Подобное использование приближенных значений может, конечно, повлиять на сходимость, так как ранее предполагалось, что число Р точно. Применим эти соображения в алгоритме, вычисляющем частное [ 2'"-ЧР ), где Р=р, р,... р„— это п-разрядное двоичное целое с р,=1. Метод по существу определяется формулой (8.2), к которой добавлено изменение масштаба (перенос запятой), чтобы можно было работать только с целыми числами. Таким образом, не надо заботиться о положении запятой. Алгоритм 8.1. Обращение целых чисел Вход.
и-разрядное двоичное целое число Р=[р, р, ... р„[ с р,=1. Для удобства предполагаем,что и — степень числа 2, а [х[— целое число с двоичной записью х (например, [110[=6), Выход. Целое число А=[а, а, ... а„), равное А = ~ 2" ЧР ~ . Метод. Вызываем ОБРАТНОЕ ([р,р,...р„[), где ОБРАТНОЕ— рекурсивная процедура, приведенная иа рис. 8.1, Она вычисляет в14 а.х. умнОжение и деление цЕЛых чисел ргоседпге ОБРАТНОЕ ([р,р,... р„]): 1. 1! 8=1 !Ьеп ге!Игп [!0] е!ве Ьей[п 2. [с,с,... смх] + — ОБРАТНОЕ ([р,р,... рмх]); 3. [|[,|[е...|[ха] [сес,...
сщх]«2аеlх — [сес,...се|в]х«[р,ре...ре]; сопипеп! Хотя правая часть оператора в строке 3 служит для получения (2Й+!)-разрядного числа, старший (2й+1)-й разряд всегда равен нулю; 4. [а,а,... аа] [|[,|[а... |[а+|]; сопппеп$ [а,а,...аа] — хорошее приближение к 2еа-Ч[р,ре...ра]. Следующий цикл улучшает зто приближение, прибавляя, если необходимо, трехзначное число к младшим разрядам; 5. !ог ! -2 в!ер — 1 пп!!! 0 бо 6. !1([а,а,...аа]+2') «[р,ра...ре](2«а '!Ьеп 7.
[а,а,...а„] [а,а,...а„]+2', 8. ге!Игп [а,а ...ае] епд Рис. 8.1. Процедура для обращения целил чисел. приближение к[ 2'а 'Лрх ра... ра1 [для любого й, являющегося степенью числа 2. Заметим, что в результате обычно получается й-разрядное число. Исключение составляет случай, когда Р— степень числа 2; здесь в результате получится (А+1)-разрядное число. Поданным й битам числа, обратного к [р, р,...
р,[, строки 2 — 4 вычисляют 2й — 3 битов числа, обратногок [р„р,... р,е1. Строки 5 — 7 корректируют последние три бита. На практике можно было бы перескочить через строки 5 — 7 и получить нужную точность дополнительным применением формулы (8.2) в конце. Мы предпочли включить в программу цикл в строках 5 — 7, чтобы упростить понимание алгоритма и доказательство правильности его работы. | | Пример 8.1. Вычислим 2"Л53.
Здесь а=8 и 153=[р,р,...р„)= =П0011001!. Вызываем ОБРАТНОЕ (П0011001[), которое по очереди рекурсивно вызывает ОБРАТНОЕ с аргументами [10011, ПО! и П!. В строке 1 находим ОБРАТНОЕ(П!)=ПО! и возвращаемся к ОБРАТНОЕ (ПО!) в строке 2, где полагаем [с,с,! ч-ПО!. Затем в строке 3 вычисляем Ыь . л[,! [10]«2' — [10]'«[10]=ПООО!. звв ГЛ. Э.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ Далее в строке 4 полагаем [а,а,а»1=[1001, Цикл в строках 5 — 7 ничего не меняет. Возвращаемся к вызову ОБРАТНОЕ ([10011) с 11001 в качестве приближения к 2»7[10]. В строке 2 при и=4 имеем [с,с,с,]=11001. Тогда !э(э.. л!»]= =101!10000] и [а,...а»1=1011101. Снова цикл в строках 5 — 7 не приводит к изменениям. Возвращаемся к ОБРАТНОЕ ([1001!001]) в строке 2, причем [о»...с»! 1011101. Далее ~д, ... д„]= [01101010110111001. Следовательно, в строке 4 1а» ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
