1626435587-51311eae4652e8ad616b5bdef025cbb3 (844239), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Формула левых (правых) прямоугольниковПожалуй, самая простая квадратурная формула получается, если∫︀ заменить значение интеграла () площадью прямоугольника состоронами, равными длине отрезка − и значению подынтегральнойфункции на левом краю отрезка ():∫︁[,] ≡(17) () = () · ( − ) + ,где — точное значение искомого интеграла, () · ( − ) — аппроксимирующая интеграл площадь прямоугольника (рис. 5 ( )), —, равный разности точного и приближённого значений.Очевидно, остаточный член в выражении (17) можно уменьшить,если разбить отрезок [, ], введя сетку = 0 < 1 < .
. . < = иприменив формулу (17) раз. Получим, илиформулу прямоугольников:аточный членсоставную[,] =∑︁[−1 , ] =∑︁ (−1 )ℎ + Σ ,гдеоста-обобщённуюℎ = − −1 . (18)=1=1Сумма в выражении (18) в пределе → ∞, max ℎ → 0 переходит вопределение интеграла Римана, откуда немедленно следует Σ → 0.Для вычисления (18) на ЭВМ необходимо использовать конечные ,что будет приводить к погрешности метода Σ ̸= 0. Оценим остаточный член , для простоты рассматривая вначале интеграл на одном отрезке (17) и полагая функцию непрерывно дифференцируемой требуемое число раз.
Заменяя в (17) () суммой ряда Тейлора () + ′ () · ( − ) + . . ., получаем=(︀)︀1 ′ () · ( − )2 + ( − )3 .2(19)При разбиении отрезка [, ] на отрезков в (18) войдет сумма остаточных членов вида (19). Получим для неё асимптотическую оценку,полагая для простоты сетку {0 , . . . , } равномерной, т. е. ℎ ≡ ℎ =− = const:Σ = ℎ]︂∫︁ℎ ′ (−1 )ℎ + (ℎ2 ) = ′ () + (ℎ2 ).22 [︂∑︁1=157(20)∫︀ ′ () в (20) даёт ошибку (ℎ2 ), что нахоЗамена ′ (−1 )ℎ ≈ −1дится за пределами точности сделанной оценки. Заметимтакже, что∑︀(ℎ2 ) = (ℎ), попри вычислении суммы в (20) было использованоскольку число слагаемых в сумме = (ℎ−1 ).Как видно из (20), остаточный член убывает пропорционально ℎ1 ∼1/ 1 , в связи с чем говорят, что составная формула левых (правых)прямоугольников имеетℎ.Подчеркнём, что для каждой квадратурной формулы существуеттри связанных друг с другом значения порядка точности: и ( − 1) —порядки «простой» и составной формулы по шагу сетки ℎ, ( − 2) —алгебраический порядок точности формулы (см.
определение ниже)..называют максимальную степень полинома, для которого квадратурная формула является точной.Очевидно, что метод правых (левых) прямоугольников даст точныйрезультат только при интегрировании полиномов нулевой степени, т. е.алгебраический порядок точности этих формул равен нулю.первый порядок точности по шагу сеткиОпределение Алгебраическим порядком точностиY (а)0f(x)aY (в)0bY (б)0Xf(x)abf(x)aY (г)0XbXf(x)abXРис.
5. Квадратурные формулы: (а,б) левых / правых прямоугольников,(в) трапеций, (г) центральных прямоугольников (формула средних)Аналогично формулам левых прямоугольников (17) и (18), мож58но получить выражения для интеграла, аппроксимируя его площадьюпрямоугольника, высота которого равна значению функции на правомконце отрезка, ():∫︁[,] ≡ () = () · ( − ) + ,(21)[,] =∑︁ ( )ℎ + Σ .(22)=1Для оценки погрешности формулы правых прямоугольников нужнозаменять функцию () её разложением в ряд Тейлора как под интегралом, так и () в правой части (21), в результате чего получим:(︀)︀1 = − ′ () · ( − )2 + ( − )3 .2(23)Суммируя остаточный член (23) по отрезкам [−1 , ], можно получить Σ = (ℎ), аналогично формуле (20) для левых прямоугольников.
Ввиду медленного (∼ 1/ ) убывания погрешности в формулахлевых (правых) прямоугольников, данные методы практически не используются в численных расчётах.4.2. Формула трапецийЛегко заметить, что главные члены разложения ошибки по степеням − в формуле левых (19) и правых (23) прямоугольников в точности противоположны. Суммируя (17) и (21) и деля на 2, получаем:формулу трапеций[,] ≈ () + ()( − ).2(24)Геометрический смысл (24) — аппроксимация интеграла площадьютрапеции (рис. 5 ( )). Разбивая отрезок [, ] на частей [0 , 1 ], .
. . ,[ −1 , ] и применяя к каждой части формулу (24), получем обобщённую, или составную формулу трапеций, которая в случае равномерногоразбиения − −1 ≡ ℎ = const будет иметь вид:)︂(︂11[,] ≈ ℎ ·0 + 1 + 2 + . . . + −1 + , где ≡ ( ). (25)22в59Для вычисления остаточного члена в (24) разложим функцию в ряд Тейлора в точке = 12 ( + ), удерживая в разложении членыдо третьей степени включительно:=−(︀)︀1 ′′ () · ( − )3 + ( − )4 .12(26)Суммируя (26) по отрезкам [0 , 1 ], . .
. , [ −1 , ], получим асимптотическую оценку остаточного члена составной формулы трапеций (25):ℎ2Σ = −12∫︁(27) ′′ () + (ℎ3 ).При увеличении числа интервалов разбиения ошибка в формуле трапеций убывает как (ℎ2 ) ∼ 1/ 2 , т. е. формула трапеций имеет второйпорядок точности относительно шага сетки. Алгебраический порядокточности формулы трапеций, очевидно, равен 1, так как формула точна для полиномов степени не выше первой. На рис.
5 ( ) хорошо видно,что погрешность формулы трапеций существенно меньше погрешностиформул левых (правых) прямоугольников.в4.3. Формула среднихЕщё одна квадратурная формула второго порядка может быть∫︀ получена при аппроксимации интеграла () площадью прямоугольника с высотой равной ( +2 ) (рис. 5 ( )):(︂)︂+[,] ≈ · ( − ).(28)2гОстаточный член для формулы (28) и соответствующей составной формулы:(︂)︂(︀)︀( − )3 ′′ + =·+ ( − )4 .(29)242ℎ2Σ =24∫︁ ′′ () + (ℎ3 ).(30)Обратим внимание, что главный член асимптотического разложения остаточного члена (29) в формуле средних в два раза меньше повеличине и противоположен по знаку главному члену разложения погрешности для формулы трапеций (26).
Поэтому формулу средних (28)60следует предпочесть формуле трапеций (24), если значения подынтегральной функции могут быть одинаково легко вычислены в любыхточках. Заметим, однако, что использование (28) не всегда возможно(например, если подынтегральная функция задана в виде таблицызначений, или, как говорят, на некоторой сетке 0 , 1 , .
. . , ).4.4. Формула СимпсонаДругой важный вывод, который можно сделать из отмеченного выше соотношения главных членов разложения погрешностей, состоитв том, что порядок квадратурных формул (24) и (28) можно легко повысить, занулив главный член асимптотического разложения ошибки.Действительно, умножая (28) на 2, суммируя с (24) и деля на 3, приходим к:[︂(︂)︂]︂−+[,] ≈· () + 4+ () .(31)62формуле СимпсонаВводя на отрезке [, ] равномерную сетку = 0 , 1 , . . . , 2−1 , 2 = ,можно записать составную (обобщённую) формулу Симпсона:[,] ≈)︀ℎ (︀· 0 + 41 + 22 + 43 + · · · + 22−2 + 42−1 + 2 .3(32)Для остаточного члена в формулах (31) и (32) на равномерной сеткес шагом ℎ несложно получить:)︂(︂+−ℎ5+ (ℎ6 ), ℎ =,(33) = − (iv)9022ℎ4Σ = −180∫︁ (iv) () + (ℎ5 ).(34)При увеличении числа интервалов разбиения = 2 ошибка в формуле Симпсона убывает как (ℎ4 ) ∼ 1/ 4 , т.
е. составная формулаСимпсона (32) имеет четвёртый порядок точности относительно шагасетки.Благодаря быстрому убыванию ошибки с увеличением числа узловсетки, малому численному коэффициенту в остаточном члене (34) ипростому виду, формула (32) широко применяется в численных расчётах.614.5. Метод РунгеРассмотрим регулярный способ, позволяющий повышать порядокточности квадратурных формул. Для этого запишем точное значениеинтеграла в виде = (ℎ) + (ℎ) = (ℎ) + ℎ + (ℎ+1 ),(35)где (ℎ) — значение интеграла, вычисленное с помощью квадратурнойформулы на сетке с шагом ℎ.
Обозначив за порядок точности квадратурной формулы, мы записали в (35) остаточный член (ℎ) в видеℎ + (ℎ+1 ), где — коэффициент пропорциональности. Повторяярасчёты на сетке с шагом ℎ, где — некоторый коэффициент, можемзаписать аналогично (35): = (ℎ) + · (ℎ) + (ℎ+1 ).(36)Рассматривая (35) и (36) как систему уравнений относительно = ℎи , имеем: (ℎ) − (ℎ)=+ (ℎ+1 ),(37) − 1 (ℎ) − (ℎ)=+ (ℎ+1 ).(38) − 1Формула (37) даёт апостериорную оценку точности вычисленного значения интеграла (ℎ), тогда как выражение (38) позволяет уточнитьнайденное значение интеграла, повысив порядок точности квадратурной формулы с до + 1.Применимость метода Рунге не ограничивается численным интегрированием: аналогичный приём может быть использован для оценкипогрешности либо повышения скорости сходимости самых разных численных процедур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
