1626435587-51311eae4652e8ad616b5bdef025cbb3 (844239)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра высшей математикиC. В. СмирновОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИЧасть IУчебное пособиеНовосибирск2015УДК 519.6ББК 22.19я73С50Рецензентд-р. физ.-мат. наук, проф. М. П. ФедорукСмирнов, С. В.С50 Основы вычислительной физики : учеб. пособие /С. В. Смирнов. Новосибирск : РИЦ НГУ, 2015. – Ч.
I. – 113 с.ISBN 978-5-4437-0429-6Настоящее учебное пособие соответствует материалу первыхшести лекций по дисциплине «Основы вычислительнойфизики», читаемых студентам 4 курса физического факультетаНГУ, и содержит рассмотрение ряда базовых вопросов методоввычислений, используемых в физике. Пособие знакомитчитателей с машинной арифметикой, решением уравнений содним неизвестным, квадратурными формулами, интерполяцией,интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений.Отбор материала и уровень строгости изложения адаптированыдля студентов-физиков.
Для студентов 4 курса физическогофакультета НГУ, студентов старших курсов и аспирантовфизических и технических специальностей вузов.УДК 519.6ББК 22.19я73ISBN 978-5-4437-0429-6© Новосибирский государственныйуниверситет, 2015© С. В. Смирнов, 2015ОглавлениеВведение51. Построение графиков в gnuplot101.1. Команды . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .1.2. Построение графиков сеточных функций . .1.3. Дополнительные возможности команды plot1.4. Графики функций двух переменных . . . . .1.5. Сохранение графических файлов . . . . . . .1.6. Пакетное построение графиков. Циклы . . .Упражнения . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................2. Машинные числа12131622242526282.1. Целые числа . . . . . . . . . . .2.2. Дробные числа . . . . . . . . . .2.3. За пределами разрядной сетки2.4. Точность вычислений . . . . . .2.5. Заключение . . . .
. . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................3.1. Метод деления отрезка пополам .3.2. Метод простых итераций . . . . .3.3. Метод Ньютона . . . . . . . . .
.3.4. Метод секущих . . . . . . . . . . .3.5. Многомерное обобщение . . . . .3.6. Поиск комплексных корней . . .3.7. Сравнение методов . . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................4.1. Формула левых (правых) прямоугольников4.2.
Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Формула средних . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Формула Симпсона . . . . . . . . . . . . . .4.5. Метод Рунге . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6. Интегралы по бесконечной области . . . . .4.7. Интегралы с особенностью . . . . . . . .
. .4.8. Сравнение методов . . . . . . . . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................3. Решение конечных уравнений293034353840434. Численное интегрирование44464950525253545635759606162626466685. Интерполяция полиномами695.1. Полиномы Лагранжа .
. . . . .5.2. Полиномы Ньютона . . . . . . .5.3. Погрешность интерполяции . .5.4. Численное дифференцирование5.5. Другие виды интерполяции . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................7273777880856. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 866.1.
Метод Эйлера (схема ломаных) . . .6.2. Исправленный и модифицированный6.3. Методы Рунге — Кутты 2-го порядка6.4. Метод Рунге — Кутты 4-го порядка .6.5. Использование адаптивного шага . .6.6. Многошаговые методы . . . . . . . .6.7. Жёсткие системы уравнений . . . .6.8.
Заключение . . . . . . . . . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .методы Эйлера. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ........... 86. 90. 93. 95. 96. 98. 101. 106. 107Рекомендации по написанию программ109Литература1114ПредисловиеНастоящее учебное пособие соответствует материалу первых шестилекций по дисциплине «Основы вычислительной физики», читаемыхстудентам 4 курса физического факультета НГУ, и содержит рассмотрение ряда базовых вопросов методов вычислений, используемых в физике.
Пособие знакомит читателей с машинной арифметикой, решениемуравнений с одним неизвестным, квадратурными формулами, интерполяцией, интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений. Отбор материала и уровень строгости изложения адаптированыдля студентов-физиков.Автор выражает глубокую признательность Александру Ивановичу Черных за большой вклад в отбор материала курса лекций и целый ряд исключительно полезных советов; Максиму АлександровичуНикулину за выполненное им большинство креативных иллюстраций,а также обсуждения, идеи и многочисленные критические замечания,позволившие существенно улучшить текст пособия.ВведениеРазвитие современной науки и технологий немыслимо без численных расчётов и компьютерного моделирования.
Значительная часть актуальных научных и инженерных задач не могут быть решены аналитически без достаточно сильных допущений и упрощений, существенноограничивающих точность и применимость получаемых результатов. Сдругой стороны, стремительно растущие в последнее время вычислительные мощности современных ЭВМ позволяют получать численныерешения многих сложных задач с точностью, значительно превосходящей возможности аналитических решений.
Термоядерный синтез,создание и эксплуатация атомного реактора, взрыв бомбы, расчёт иоптимизация авиационных двигателей и турбин электростанций, проектирование мостов и зданий, вывод на орбиту искусственных спутников и полёты к другим планетам, репликация заданных участковДНКдля медицинской диагностики, создание метаматериалов, разработка новых микропроцессоров — лишь малая часть наиболее очевидных примеров впечатляющих задач, для решения которыхиспользуется моделирование.Высокая производительность современных компьютеров и открываемые ими возможности, однако, не должны вводить в заблуждениеи создавать иллюзию исключительности численных методов решенияin vitro5задач.
В действительности, наибольших успехов можно достичь, грамотно сочетая возможности аналитических (символьных) вычисленийи численных расчётов. Важно помнить, что численное моделированиене может и не должно заменять собой аналитических расчётов и оценок.Одним из ключевых преимуществ аналитических решений является возможность увидеть и проанализировать зависимость результатов от произвольного числа параметров задачи.
В противоположностьэтому, численные расчёты всегда дают значение искомой величины водной точке. Чтобы исследовать зависимость от нескольких параметров, нужно выполнить большое число однотипных расчётов, что можетбыть сопряжено с большими затратами времени и вычислительных ресурсов.С другой стороны, аналитическое решение может быть полученолишь для относительно узкого круга простых задач (при наличии симметрии, малых параметров) и почти всегда является весьма приближённым ввиду значительных допущений.
В противоположность этому,численные решения, как правило, могут быть получены с меньшимчислом приближений — для несимметричных физических систем, приотсутствии малых и больших параметров и т. п. При этом удаётся достичь более высокой точности решения и расширить область его применимости на представляющие наибольший интерес случаи, реализуемыена практике.Важным достоинством аналитических решений является относительная простота их верификации.
Аналитические решения, как правило, публикуются в научной литературе полностью вместе с ключевыми выкладками, которые привели к ответу. Открытость решенияпозволяет выполнить его проверку любому специалисту в данной области исследования, обладающему достаточным уровнем квалификации. Кроме того, полученный ответ, как правило, допускает ряд способов верификации, включая проверку по размерности, а также исследование предельных случаев входящих в него параметров задачи.
Численное решение гораздо сложнее поддаётся верификации стороннимиспециалистами, не принимавшими непосредственного участия в работе. Действительно, исходные коды программ обычно не публикуютсяв научных работах ввиду своей громоздкости и сложности их анализа.Наиболее распространённые в численных расчётах языки программирования не имеют средств для проверки размерностей, а исследованиепредельных случаев и соответствия аналитическим решениям в тех областях пространства параметров, где они могут быть получены, можетбыть произведено только самими авторами исследования.6Численное решение задач, как правило, легче и требует меньшейквалификации исследователя по сравнению с получением аналитических решений.
Вычислительная физика обладает меньшим «барьеромвхождения», который необходимо преодолеть для начала работы. Болеетого, в последнее время появился набор готовых программных продуктов (таких как Matlab, Mathematica и др.), ещё больше сокращающихвремя и количество усилий, которые необходимо затратить для подготовки вычислений и даже полного решения некоторого набора задач.В этой связи может создаться впечатление, что для получения численного решения задачи достаточно иметь современный компьютер снеобходимым набором программ и начальные познания в области высшей математики.
Следует предостеречь читателя, что такое впечатление верно лишь отчасти. Подобно тому, как обладание современнымцифровым фотоаппаратом не делает фотографом любого желающегощёлкать затвором, так же и выполнение численных расчётов требуетопределённой квалификации, необходимость которой может быть сразуне очевидна. В отличие от фотоискусства, успехи в компьютерном моделировании могут быть поверены критериями точности и эффективности, поддающимися строгим математическим определениям. В рамках данного курса мы познакомимся с целым рядом примеров, когдарезультаты численных расчётов, выдаваемые «написанной без ошибок»программой, идут вразрез с неподготовленной интуицией начинающего исследователя — надеемся, что эти примеры уберегут читателя отмногих ошибок в его будущей работе.Пожалуй, самым важным правилом, которое необходимо освоитьдля успешного применения численных методов решения физическихзадач, является.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
