1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для облегчения определения искомых алгоритмов 1 оцекивания следует использовать теоремы об условном среднем значении и дисперсии гауссовских случайных величин. Эти теоремы утверждают, что для гауссовских случайных величин з и р условное математическое ожидание и условная дисперсия з относительно р определяются формулами 6.4) Криткгий мАксимумА пкавдоподовий 69 Точно так же Ч-(Й~О) =чаг(х(й) — х (4) ~Х(ь) 0) = чаг (х (й) ~ Е (й), 9), (3.4.34) Чй(й~Ус — 1,9)=чаг(х(й) — х(й)~Е(й 1) 9) = чаг (х (й) ~ Е (й — 1), О), (3.4.35) поскольку оценка условного среднегонесмвщенная. Таким образом, теорема об условной дисперсии приводит к приближенному соотношению для дисперсии ошибки фильтрации Чй(Ус~О) = Ч;(й~й — 1,0) — соч(х(й),х(Ь) ~Е(й — 1),0) х х чаг '(п(й) ) Х(й — 1),0) сот((й), х(/с) ) Х(й — 1), 0).
(3.4.36) Уравнения (3.4.32) и (3.4.36) выражают, следовательно, приближенные алгоритмы для дискретной нелинейной фильтрации методом условного среднего и для дисперсии ее ошибки. Для использования алгоритмов необходимо определить выражения для соч (х (й), х (й) ! Е (й — 1), 6) и чаг (х (й) ! Х (й' — 1), О). Поскольку задача существенно нелинейна, эти соотношения не могут быть найдены точно, так что возникает необходимость в дальнейших аппроксимациях. Порядком этих аппроксимаций определяется окончательный вид алгоритмов фильтрации.
Линейное приближение для указанных выпю ковариаций можно получить, заменяя ~р и )г линейными членами соответствующих рядов Тейлора в окрестности решений задач фильтрации и одношаговой экстраполяции: <р(х(я),й) жмых(й]9),Ц+ +[ (х ) ' )1 (х(й) — х(й)9)), (3.4.37) эх(а~в) Ь( (й),й) =Ь(х(й~И вЂ” 1,9),й)+ +( (х( ) ' )' )1 (х(й) — х(й~й — 1,9)). (3.4.38) дх (Ь ~  — 1, В) Далее используется аппроксимация первого порядка е) *) Для получеппя апалогвчпого результата можно попользовать и аппрокспмацпю пулевого порядка Г (х (Е), я) = Г (й (я ) В), .й), 99 Функции штРАФА в зАдАчАх Йдкн'гиФикАцни (гл.
1 для ГЧ,„ГР в окрестности решения задачи фильтрации х (й [ 0> Г [х (Ус), й> Ч (Ус) Г [х (Ус), Ус> = =Г[х(Ус[9),Ус> Ч (Ус)Г~[х(й[9),й>+ [х(й) — х(й[9)> Х х (Г 1 Г[х(й[0),й[Ч (Ус)Г [х(Ус[9),й>), (3.4.39) ( д х (й ( 9) 1 что позволяет нам оценить (приближенно) искомые ковариации. Этн оценки таковы: с( (х(й), (й)[Е(й — 1),0>= = соч (х (й [ Ус — 1, 0), Ь [х (Ус), Ус[ [ Е (Ус — 1), 8> = =Ч-(й[й — 1,0) [."( ( ' )' >, (3.4.40) дх(й(й-(,9) чаг(э(й)[Е(Ус — 1),0> = чаг(Ь[х(Ус),й[[Е(й — 1),8>+ +чаг(ч(й)> ~ ' )' ~ Ч;(й[й — 1,0) )с дх(й( й — 1, О) в~йвР— ~.в(,Д> ~с (й( (3441( дх (й [ й — 1, О) Для завершения вывода уравнений этого фильтра первого порядка, основанного на методе условного математического ожидания, осталось определить априорную дисперсию ошибки.
С помощью разложения в ряд легко получить, что Ч„(й [ Ус — 1, 8) = чаг (х (й) [ Е (й — 1), 9> = = чаг(х(й)[Е(Ус — 1),9) = чаг(ср[х(й — 1),Ус — Ц+ + Г [х (Ус — 1), Ус — Ц ч((й — 1) [Е(й — 1),0> = д((([х(й — 1(0),й — Ц Ч (й 1 [8>д(Р [х(й — 1(9),й — Ц+ дх(й — 1(9) * дх(й — 1[9) + Г [х(й — 1[0>, й — Ц Ч„(й — Ц Г'[х (й — 1 [0), й — Ц. (3.4.42) Оценка, осуществляющая экстраполяцию на один шаг для функции правдоподобия (3.4.9), легко выражается в терминах оценки х(й [О) подстановкой разложения (3.4.37) в модель формирования сигнала (3.4.1) и взятием условного математического ожидания относительно Е (й) зл) нРитвРии ИАксимумА пРАВдОпОдОБия 91 и б. В результате получится х (я+ 1[я,й) = юр[х(й[9),й[.
(3.4.43) Таким образом, выписана полная система уравнений дискретного нелинейного алгоритма оценивания первого порядка по методу условного среднего. Они сведены в табл. 3.4Л, включающую алгоритмы, необходимые для определения штрафной функции максимального правдо- подобия рассмотренным методом первого порядка. Можно пользоваться аппроксимациями более высокого порядка для оценки (Сейдж и Мелса [127)), однако здесь они рас- сматриваться не будут. Отметим, что зги (приближенные) алгоритмы фильтра- ции условного среднего по сути являются обобщением алгоритмов фильтра Калмана. Если модели формирова- ния и наблюдения сигнала линейны, то зти уравнения превращаются в обычные уравнения линейного фильтра Калмана. Итак, минимизация функции штрафа из табл.
3.4Л при ограничениях, задаваемых разностными урав- нениями из той же таблицы, ведет в итоге к алгоритмам идентификации по методу максимального правдоподобия. Дальнейшему развитию зтих результатов посвящены сле- дующие четыре главы. Теперь рассмотрим простой при- мер, иллюстрирующий наиболее существенные моменты изложенных выше результатов. Пример 3.4Л. Используем простой пример для демон- страции процедуры определения функции штрафа при идентификации по максимуму правдоподобия.
Скалярные модели формирования и наблюдения сигнала с постоян- ными р, и у„имеют вид х (й +1) = Фх (й) + й (й), г (л) = Х (й) + и (й) Для такой или любой линейной модели формирования и наблюдения сигнала алгоритмы табл. 3.4.1 являются точными, а не просто хорошими приближениями. Подле- жащая минимизации штрафная функция (3.4.21) прини- мает вид з~ Х = — ~ )[вбей ['г'„+ Р;(7с[й — 1, Ф)[+ з=з, [а (ь) — х (ь [ ь — 1, Ф)]з у„+ у- (ь ( ь — 1, Ф) 93 ФУНКДИИ ШТРАФА В ЗАДАЧАХ ИДИНТИФИКАУГИИ [ГЛ.
3 Таблица 34.1 Алгоритмы первого порядка идентификация по максимуму правдоподобия (штрафная функция) Модель формирования сигнала х (й+ 1) = ур [к (й), й] + Г [х(й), й] и (й) Модель наблюдений * (й) - Ь [х (й), й] + ч (й) Параметры априорных распределений и" (ач(й)) =О, сот [и(й), и (у)]= У (й) Ь (й — у), ж(ч(й))=0, [ч(й), чЩ=Ч„б (й — у), 'и [х (ОЦ = рв (О) = рх, чаг (х (О)) = Ч-(О) = Ч (О) = Ч сот[и(й), ч(й)) =сот(х(й), ч(й)]=соч(х(й), ы(у))=0, у'~й Уравнение фильтра условного среднего х(Ус+1[О) =х(й+1 [й, 6)+ К(й+1) [в(й+1)— — Ь [х(й+1 [й, В, й+1Ц Уравнение одношаговой экстраполяции х (й -[- 1[ й, 9) = 6 [х (й[ 9), й] Уравнение для коэффициента усиления фильтра дйт [х(й-[-1 [й, 6), й -[-1] К(й+1)=Чй(й+1[6) [ ( + [ ' )' + ] Ч„(й+1) дх (й + 1 [ й, 6) Уравнение для априорной дисперсии ошибки фильтрации д р [ х (й [ В), й] дФ' [х (й [ 6).
й] +Г[х(й[9), й] Ч (й) ГТ[х(й [9). й] Уравнения для дисперсии ошибки фильтрации Ч - (й+1 [6) =Ч- (й+1 [й, 9) — Ч- (й+1 [й, 9) у( дЬт[х (й+Цй,в), й+1] 1]" [ дЬт[х (й+1[й,в), й+1] 1т дх (й+1[й, В) ~~1 дх(й+1[й, 6) )С Чй(й-[-1[й, 9) у( 1+ч„(й+1) х Г дЬТ[х(й+1[й, 6), й+1] ) д х (й + 1 [ й„в) дЬТ[х(й+1[й, В), й+ 1 дх(1+1]й, 6) з.м кРитирий мАксимумА пРАВдоподовия 93 Таблица 3.43 (иродоожение) Алгоритмы одношаговой экстраполяции из табл.
3.4.1, которые снова оказываются точными, поскольку система линейна, выглядят так: х (й+ 1 ~ й, Ф) = Фх (й ~ й — 1, Ф) + ФУ (А(А — 1, Ф) + „", ( (й) — х(й(й — 1,Ф)), ФеУ У- (А(  — $, Ф) ~й(~+ )~г ) = Р (А(А е Ф) ( У + Р'н Для определения оптимального значения оценки Ф, переходной матрицы модели, мы минимизируем функцию штрафа Х относительно Ф при ограничениях, задаваемых раэностными уравнениями для й (й +1 ( й, Ф) и Р'„- (й + 1 ( й, Ф). Поскольку имеется всего один настраиваемый параметр, оценка значений штрафной функции для всех аначений Ф, для которых это необходимо, оказывается сравнительно простой (для вычислительной машины) задачей.
На рис. 3.4.1 — 3.4.3 показаны изменения Х в аависимости от Ф для нескольких различных значений отношения )е,!р„. Следует отметить, что при конечных размерах выборки (конечное йп йо = 0) минимум функции 94 Функции штРАФл в задачах идентиФикАции игл. 3 штрафа может, при отдельных последовательностях шума, не всегда достигаться при истинном значении Ф. При «низком» уровне шума объекта и «длинной» последовательности наблюдений минимум У достигается вблизи от истинного значения Ф.
По мере сокращения длины реализации нли усиления шума наблюдений ошибка идентификации 4~ 14 Ф Рве. 3.4Л. Зависимость штрафа от Ф при разных ела«азиях Ус/У„ пример 3.43 (хо = О, 0: У,!Уи — — р, /ст = 800). возрастает. Точно так жв можно ожидать, что параметры априорного распределения х (йе) влияют на идентификацию. Очевидно, что если У, (й,) равна нулю и отсутствует шум объекта или шум наблюдений, получится простая разновидность задачи идентификации, рассмотренной в главе 2.
На рис. 3.4.4 показана зависимость функции штрафа от ф~7 при различных размерах выборки. Эти приближенные алгоритмы нужда»ется в незначительных изменениях для распространения их на случай, когда шумы объекта и измерений коррелированы. Уравнения (3.4.9) и (3.4.»х) для функции штрафа сохраняют силу. Однако в выражениях для входящих в них математических ожиданий оявляются отличия по сравнению со случаем нвкоррелированных шумов. В самом деле, [т [х (й), й!В [ = '=т(и(й)[Х(й Ц,В) =г(Ь[х(й),й[[Х(й 4),Е). ЗА) ИРитБРии мАксимумА пРАВдОпОдОБий 95 ааю -агу~)г щ ~ р 44 Ф останны Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
