1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 35
Текст из файла (страница 35)
сопряженными, т. е. В = А, если Ь,ь.=вы, Матрица армии * тона, если она зр !итоне сопряжена самой себе; А=А, и косоэрмитова, если и она удовлетворяет соотношению А = — А . Вещественная эрмитова матрица и называется симметричной, а косоэрмитова — кососимметричной. Унитарной называется матрица, обратная своей зрмитово сопряженной; (Г =(Г '; вещественные унитарные матрицы называют ортогональными. Матрица называется нормальной, если она перестановочна со своей эрмитово сопряжевной, т. е.
ААН=АИА. Легко видеть, що эрмитовые, косоэрмитовые и унитарные матрицы являются частными случаями нормальных. 159 пРОБлемА и пРОстеЙшие методы Фп цей; если А — нормальная матрица, то это унитарное преобразование приводит ее к диагональной форме. Непосредственно для практических вычислений теорема Шура ничего не дает, ибо неизвестен способ нахождения такого унитарного преобразования. Но одно косвенное следствие является важным. После указанного преобразования нормальная матрица А становится диагональной; тогда ее новые собственные векторы образуют ортонормированный базис еи Следовательно, собственные векторы исходной нормальной матрицы получаются из ортонормированного базиса е; унитарным преобразованием и сами образуют ортонормированный базис.
Это существенно, ибо в практике вычислений часто встречаются нормальные матрицы, особенно нх такие частные случаи, как эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные матрицы. Ортогоиальные же преобразования обеспечивают наибольшую устойчивость алгоритма по отношению к ошибкам округления. Действия с неортогональными базисамн и преобразованиями при больших порядках матрицы нередко приводят к «разболтке» счета (это уже отмечалось в главе П в связи с вопросами аппроксимации). Не всякую матрицу с кратными собствеяными значениями можно подобно преобразовать к диагональной форме, но ее заведомо можно преобразовать и канонической жордановой форме. Если же матрица имеет только простые собственные значения, то существует преобразование подобия (не Обязательно унитарное), приводящее ее к диагональной.
В самом деле, такая матрица имеет и, линейно-независимых собственных векторов. Матрица Е, столбцами которой являются координаты этих векторов, преобразует базис е, в базис из собственных векторов. Значит, преобразование подобия с матрицей г" приводит А к диагональной форме. 2.
Устойчивость, Для исследования устойчивости проблемы собственных значений надо наряду с матрицей А рассмотреть эрмитово сопряженную к ней матрицу Ан. Поскольку при транспонировании матрицы ее определитель не меняется, а замена всех матричных элементов комплексно сопряженными величинами приводит к замене определителя тоже комплексно сопряженным числом, то де1(А — Л "Е) =(г(е1 (А — ЛЕ))". Отсюда видно, что если Л; есть собственное значение матрицы А, то бе1(А — Л;Е) =О, то есть Л," есть собственное значение матрицы А . Следовательно, и собственные значения зрмитово сопряженных матриц комплексно- сопряжены друг другу.
Обозначим собственные векторы матриц А и А соответственно через х; и уь Докажем, что собственные векторы сопряженных матриц, своп»ветствующие различным (точнее, не комплексно-сопряженным друг другу) собственным значениям, взаимно АлГеБРАическАя пРОБлемА сОБственных знАчении |Гл. ш Ортогональиы. Для этого напишем тождества А Л Ан Скалярно умножим*) первое равенство слева на у/, а второе— справа на х, и вычтем одно из другого; получим (у/, Ах/) — (А "у/, х/) =(у/, Л,х,) — (Л/у/, х;).
Выражение в левой части этого равенства равно нулю. Вынося Л из скалярных произведений правой части этого равенства, получим (Л/ — Л/) (у/, х;) =О или (т//, х,) =О при Л/-.р: Л/, (5) что и требовалось доказать. Отсюда следует, что у эрмитовых матриц собственные значения вещественны, а собственные векторы образуют ортогональную систему (поскольку у/ — — х/).
Рассмотрим устойчивость проблемы собственных значений. Для простоты ограничимся случаем, когда собственные векторы матрицы образуют базис, а дапяое собственное значение — простое. Если немного изменить матричные элементы, то поправки к собственному значению и соответствующему вектору с точностью до величин второго порядка малости удовлетворяют линеаризоваиному уравнению А бх/+6А х/-бЛ/ х/+Л/бх/.
(б) Разложим поправку бх| по невозму|ценным собственным векторам. Вектор х/+бх; определен с точностью до множителя; подберем этот множитель так, чтобы диагональный коэффициент разложения обратился в нуль: бх/ =-,т,' Б//х/, 5// = О. /.—.1 Подставляя это разложение в (б) и умножая слева на различные собственные векторы сопряженной матрицы, получим (уь х,)бЛ/=(у/, бА х;), $//(Л/ — Л;)(у/, х,) (у/, бА х;). Поскольку вариация матрицы может быть любой, то максимумы правых частей обоих последних равенств равны !) х ~) 'Бу ~! х х шах ( баа/). Тогда максимально возможные ошибки собственного значения и компонент собственного вектора не превышают (с точ- *) Напонннм, что для комплексных векторов скалярное пранаведенне а равно (а, Ь) = ~~ ааЬ».
а=| !61 ПРОБЛЕМА И ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ постыл до отброшенных в ходе выкладок бесконечно малых более высокого порядка) следующих значений: )бЛ2)(н,жопах г ба„[, [$а[(, „' гпах [баес[. (7) м1 Здесь через н, обозначен так называемый (-й коэффас(иенш перекоса матрицы РУ(хь хй) (Уь зс) 1 (8) Н2 = (хь уй сО2чу' где сс есть угол между соответствующими векторами данной матрицы и эрмитово сопряженной к ней.
Заметим, что для эрмитовой матрицы все коэффициенты перекоса равны единице, поскольку соответствующие векторы артогональны. А для типичной жордановой клетки А=[ 1, «,-( ), А«=[,1, у,—.-( ) выполняется условие (х„у,) =О, т. е. коэффициент перекоса обращается в бесконечность. Очевидно, что для любых матриц [н,[з1. Выводы из оценки (7) можно сформулировать следующим образом. Собственное значение устойчиво относительно вариации матричных элементов, если соответствующий ему коэффициент перекоса мал; если этот коэффициент перекоса очень велик, то устойчивость может быть плохой.
Собственный вектор устойчив по матричным элементам, если есе коэффициенты перекоса матрицы невелики, а данное собственное значение — простое. Значит, все собственные значения эрмитовых матриц мало чувствительны'к погрешностям матричных элементов. А собственные значения жордановых подматриц могут быть очень чувствительны к погрешностям. Проиллюстрируем последнее на примере неэрмитовой матрицы 20-го порядка: 20 20 0 0 ... 0 О 0 19 20 0 ... 0 0 0 0 18 20 ...
0 0 (9) 0 0 0 0 ... 2 20 е 0 0 0 ... 0 1 где через е обозначено малое возмущение нулевого углового элемента. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид 20 с)е1 (А — ЛЕ) = И (к — Л) — 20"е = О. (10) А=~ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ 1ГЛ. Ш При е = 0 младший коэффициент характеристического многочлена есть а„=201=2,5м10гз, а наименьшее по модулю собственное значение Ага= — 1. Если же положить в=20 "м20! =5х10-т, то коэффициент а, обращается в нуль, а тогда лев=О. Таким образом, и коэффициенты и сами корин характеристического много- члена могут быть очень чувствительны к малым погрешностям матричных элементов, что означает слабую устойчивость задачи.
Это согласуется со сделанным в ч 2 главы Ъ' замечанием о том, что корни многочлена высокой степени нередко чувствительны к погрешностям коэффициентов. Но для эрмиговых матриц собственные значения хорошо устойчивы по матричным элементам. Даже для неэрмитовых матриц опасна вариация не любого коэффициента; например, к возмущениям элементов главной диагонали собственные значения мало чувствительны.
3. Метод интерполяции. Если мы найдем характеристический многочлен, то все его корни нетрудно вычислить, например, методом парабол. В методе парабол для нахождения одного корня обычно требуется около 10 раз вычислить многочлен. Поэтому важно найти способ выстрого вычисления характеристического многочлена. Те зеподы решеиггя пробчемы собственных значений, которые позволяют онределнть характеристический многочлен за конечное число действий, называются прямыми.
Методы, в которых характеристический многочлен опреде. ляется как предел некоторого итерационного процесса, называются итерацион. ными. Это разтеление носит несколько условный характер, ибо даже если характеристический многочлен найден за конечное число действий, то его корни приходится определять итерационным процессом, Однако оно имеет практический смысл, поскольку пахогкденне характеристического многочлена высокой степсни гораздо более трудоезгко, чем отыскание его корней.
Простейшим прямым методом является лгетод инпгерполяции (предложенный, по-видимому, Ш. Е. Микеладзе в 1948 г.) Известно, что многочлен и-й степени однозначно определяется своимп значениями в и+ 1 узле. Произвольно выберем и+1 значение Аг"г в качестве таких узлов. Вычислим в них значение ~(лгаг) = =- бе1 (А — Агьг Е) и построим по этим значениям интерполяционный многочлен Ньютона прн помощи формул (2.6) и (2.8), В силу единственности этот многочлеп будет характеристическим. Он при этом получается в форме многочлена с заданными коэффициентами, так что дальнейшие вычисления для нахождения его корней потребуют малого числа действий.
Описанный алгоритм несложен и легко программируется на ЭВМ. В нем следует использовать стандартную программу вычисления определителя методом исключения (глава Н, Ч 1, и. 3). При этом характеристический многочлен определяется примерно за з)зпч аРнфметических действий, из котоРых половинУ составляют сложения и половину — умножения. Видно, что для мат- ПРОБЛЕМА И ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ 163 риц невысокого порядка и ~ 1О нахождение характеристического многочлеяа методом интерполяции требует не более 0,3 сек на ЭВМ БЭСМ-4, что вполне приемлемо.
Если известны границы, в которых расположены собственные значения, то целесообразно размещать узлы интерполяции УА1 в этих границах, причем приблизительно равномерно. Это уменьшает ошибки округления, возникающие при нахождении разделенных разностей в формуле Ньютона, т. е. улучшает устойчивость алгоритма. Для определения границ спектра можно воспользоваться оценкой ~ Аг , '~ !! А 11, справедливой для любой нормы матрицы (это следует из того, что спектральная норма !~ А (!ь = .—.. шах)1г) есть наименьшая из норм матрицы). Хотя эта оценка в среднем завышена, но она достаточно разумна для тех матриц, с которыми приходится встречаться на практике, и тех норм (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
