1626435559-2cc8c4e0704044a99334aee1165e88f5 (844231), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïîêàçàòü ÷òî íà áîëüøèõâðåìåíàõ îíà óáûâàåò ýêñïîíåíöèàëüíî.Ìîäèôèöèðîâàòü ïðîãðàììó, çàìåíèâ ãðàíè÷íîå óñëîâèå â òî÷êå L íà óñëîâèåòåïëîèçîëÿöèè ∂u= 0 è íàðèñîâàòü àíàëîãè÷íûé ðèñóíîê.∂x6Âàðèàíò 4Íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ϕ ìåòîäîì ñòðåëüáû ϕ00 = eϕ − (1 − x4 ), −1 < x < 1,ϕ(−1) = 0 , ϕ(1) = 1.Âàðèàíò 5Íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ϕ ìåòîäîì Íüþòîíà-Ðàôñîíà-Êàíòîðîâè÷àd2 ϕ= eϕ − (1 − x2 ),dx2−1 < x < 1,ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.Âàðèàíò 6Íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ϕ ìåòîäîì èíâàðèàíòíîãî ïîãðóæåíèÿd2 ϕ= eϕ − sin(x),dx20 < x < π,ϕ(0) = ϕ(π) = 1Âàðèàíò 7Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïî ÿâíîé ñõåìå.Ïðîèçâîäíóþ ïî êîîðäèíàòå çàìåíèòü íà ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå è ïîëó÷åííóþ ñèñòåìóÎÄÓ ïî âðåìåíè ðåøèòü ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè∂ 2A∂A= 2|A|2 A +,∂t∂x2A(−L, t) = A(L, t) = 0,i−L < x < L,L = 10A(x, 0) = cλ/ cosh(λx)Ïðè ëþáîì λ è c = 1 |A| íå äîëæåí çàâèñèòü îò âðåìåíè.
Ïðè λ = 1 ïîïðîáóéòåïîìåíÿòü c. Íàðèñîâàòü ïîâåðõíîñòü |A(x, t)|.Âàðèàíò 8Èñïîëüçóÿ ïàêåò FFTW, ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðàïî ñõåìå ðàñùåïëåíèÿi∂ 2A∂A= 2|A|2 A +,∂t∂x2A(−L, t) = A(L, t),−L < x < L,L = 10A(x, 0) = cλ/ cosh(λx)Ïðè ëþáîì λ è c = 1 |A| íå äîëæåí çàâèñèòü îò âðåìåíè. Ïðè λ = 2 ïîïðîáóéòåïîìåíÿòü c. Íàðèñîâàòü ïîâåðõíîñòü |A(x, t)|.Âàðèàíò 9Ðåøàÿ çàäà÷ó Êîøè ïî íåÿâíîé ñõåìå∂u∂u ∂ 2 u=g+,∂t∂x ∂x2u(0, t) = u(1, t) = 0,0<x<1u(x, 0) = f (x) = x(1 − x)2íàéòè ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà L̂ = g ∂u+ ∂∂xu2 ïðè g = 0.5 è g = 1.∂xÊàê çàâèñèò îòâåò îò âûáîðà f (x)?7Âàðèàíò 10Èñïîëüçóÿ ìåòîä óñòàíîâëåíèÿ è ëîêàëüíî îäíîìåðíûé ìåòîä, íàéòè ñòàöèîíàðíîåðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â äâóìåðíîé êâàäðàòíîé îáëàñòè â çàäà÷å ñ èñòî÷íèêîìòåïëà∂u∂ 2u ∂ 2u=++ f (x, y) .∂t∂x2 ∂y 2ïðè óñëîâèè, ÷òî òåìïåðàòóðà íà ãðàíèöàõ êâàäðàòà ðàâíà íóëþu(−L, y, t) = u(L, y, t) = u(x, −L, t) = u(u, L, t) = 0,L = 1.Èíòåíñèâíîñòü èñòî÷íèêà f (x, y) = (1 − x2 /L2 )(1 − y 2 /L2 ).
Âû÷èñëèòü è íàðèñîâàòüçàâèñèìîñòü îò âðåìåíè òåìïåðàòóðû â öåíòðå êâàäðàòà. Óáåäèòüñÿ, ÷òî îíà ïåðåñòàëàìåíÿòüñÿ è íàðèñîâàòü äâóìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû.Âàðèàíò 11Èñïîëüçóÿ ìåòîä óñòàíîâëåíèÿ è ëîêàëüíî îäíîìåðíûé ìåòîä, íàéòè ñòàöèîíàðíîåðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â äâóìåðíîé êâàäðàòíîé îáëàñòè â çàäà÷å ñ íåíóëåâîéòåìïåðàòóðîé íà ãðàíèöå∂ 2u ∂ 2u∂u=+.∂t∂x2 ∂y 2u(−L, y, t) = u(L, y, t) = (1 − y 2 /L2 ) ,u(x, −L, t) = u(x, L, t) = (1 − x2 /L2 ),L = 1.Âû÷èñëèòü è íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè òåìïåðàòóðû â öåíòðå êâàäðàòà.Óáåäèòüñÿ, ÷òî îíà ïåðåñòàëà ìåíÿòüñÿ â ïðîöåññå óñòàíîâëåíèÿ ðåøåíèÿ è íàðèñîâàòüäâóìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû.Âàðèàíò 12Èñïîëüçóÿ ëîêàëüíî îäíîìåðíûé ìåòîä, ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿòåïëïðîâîäíîñòè â äâóìåðíîé êâàäðàòíîé îáëàñòè∂u∂ 2u ∂ 2u=+.∂t∂x2 ∂y 2ïðè óñëîâèè, ÷òî òåìïåðàòóðà íà ãðàíèöàõ êâàäðàòà ðàâíà íóëþu(−L, y, t) = u(L, y, t) = u(x, −L, t) = u(x, L, t) = 0,L = 1,à íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû u(x, y, 0) = (1 − x2 /L2 )(1 − y 2 /L2 ).
Âû÷èñëèòüè íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè òåìïåðàòóðû â öåíòðå êâàäðàòà. Óáåäèòüñÿ, ÷òîçàêîí ñïàäàíèÿ íà áîëüøèõ âðåìåíàõ èìååò ýêñïîíåíöèàëüíûé õàðàêòåð. Îïðåäåëèòüïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû.Âàðèàíò 138Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ äèôôóçèè ïî ñõåìå ÊðàíêàÍèêîëñîíà∂u∂∂u=(1 − bx) , 0 < x < L, L = 10, b = 0.02∂t∂x∂xu(0, t) = u0 + a sin ωt, u0 = 1, a = 0.5, ω = 2π, u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0Íàðèñîâàòü íà îäíîì ðèñóíêå äëÿ ñðàâíåíèÿ çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû îò âðåìåíè íàãðàíèöå x = 0 è â òî÷êå x = 0.5.Ìîäèôèöèðîâàòü ïðîãðàììó, çàìåíèâ ãðàíè÷íîå óñëîâèå â òî÷êå L íà óñëîâèå= 0 è íàðèñîâàòü àíàëîãè÷íûé ðèñóíîê.òåïëîèçîëÿöèè ∂u∂xÂàðèàíò 14Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ äèôôóçèè ïî ñõåìå ÊðàíêàÍèêîëñîíà∂u∂ 2u=+ f (x, t), 0 < x < L, L = 1∂t∂x2u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0,1 1+ sin(ωt), ω = 2π2 2Íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè òåìïåðàòóðû â öåíòðå è ïîâåðõíîñòü u(x, t) äëÿîäíîãî ïåðèîäà êîëåáàíèé èñòî÷íèêà, êîãäà çàâåðøèëñÿ ïåðåõîäíîé ïåðèîä.Ìîäèôèöèðîâàòü ïðîãðàììó, çàìåíèâ ãðàíè÷íîå óñëîâèå â òî÷êå L íà óñëîâèå= 0 è íàðèñîâàòü àíàëîãè÷íûé ðèñóíîê.òåïëîèçîëÿöèè ∂u∂x×òî áóäåò, åñëè îáå ãðàíèöû òåïëîèçîëèðîâàíû?f (x) = x(1 − x/L)2 +Âàðèàíò 15Íàéòè çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò âðåìåíè â öåíòðå äâóìåðíîé êâàäðàòíîé îáëàñòè âçàäà÷å ñ èñòî÷íèêîì òåïëà è àíèçîòðîïíîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ∂ 2u∂ 2u∂u=+0.5+ f (x, y, t)∂t∂x2∂y 2ïðè óñëîâèè, ÷òî òåìïåðàòóðà íà ãðàíèöàõ êâàäðàòà ðàâíà íóëþu(−L, y, t) = u(L, y, t) = u(x, −L, t) = u(x, L, t) = 0,L = 1.Èíòåíñèâíîñòü èñòî÷íèêàf (x, y) = (1 − x2 /L2 )(1 − y 2 /L2 ) + (y/L + 1)(1 − y 2 /L2 ) sin(ωt),ω = 2π.Âû÷èñëèòü è íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè òåìïåðàòóðû â öåíòðå êâàäðàòà.Âàðèàíò 16Íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ϕ ìåòîäîì èíâàðèàíòíîãî ïîãðóæåíèÿd2 ϕ= (1 + 0.1x2 )eϕ − (1 − x2 ),dx2−1 < x < 1,9ϕ(−1) = ϕ(1) = 0Âàðèàíò 17Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïî ñõåìå ðàñùåïëåíèÿi∂A∂ 2A= 2|A|2 A +,∂t∂x2−L < x < L,A(−L, t) = A(L, t),L = 10A(x, 0) = cλ/ cosh(λx)Ïðè ëþáîì λ è c = 1 ðåøåíèå |A(x, t)| íå äîëæíî çàâèñåòü îò âðåìåíè.
Èññëåäîâàòü÷èñëåííîå ðåøåíèå ïðè λ = 2 äëÿ ðàçëè÷íûõ c. Íàðèñîâàòü ïîâåðõíîñòü |A(x, t)|.Èñïîëüçîâàòü áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èç ïàêåòà Numerical Recipies.Âàðèàíò 18Íàéòè çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò âðåìåíè â öåíòðå äâóìåðíîé êâàäðàòíîé îáëàñòè âçàäà÷å ñ àíèçîòðîïíîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ∂ 2u∂ 2u∂u=+0.5∂t∂x2∂y 2u(−L, y, t) = u(L, y, t) = sin 2πt,u(x, −L, t) = u(x, L, t) = 0,L = 1.Âàðèàíò 19Íàéòè çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò âðåìåíè â öåíòðå äâóìåðíîé êâàäðàòíîé îáëàñòè âçàäà÷å ñ àíèçîòðîïíîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ∂ 2u∂ 2u∂u=+0.5.∂t∂x2∂y 2u(−L, y, t) = u(L, y, t) = sin 2πtÑòåíêè u(x, −L, t) è u(x, L, t) òåïëîèçîëèðîâàíû. L = 1.Âàðèàíò 20*Èñïîëüçóÿ ìåòîä óñòàíîâëåíèÿ, íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû âêðóãå ðàäèóñà R, åñëè òåìïåðàòóðà íà ãðàíèöå ïîääåðæèâàåòñÿ ðàâíîé T (ϕ).∂u1 ∂= 4u =∂tr ∂r∂u1 ∂ 2ur+ 2 2,∂rr ∂ϕu(R, ϕ) = T (ϕ) =+lXTm (ϕ)eimϕm=−lÓêàçàíèå.
Èñêàòü ðåøåíèå â âèäåu(r, ϕ, t) =+lXum (r, t)eimϕm=−lâûäåëèòü â um (r, t) àñèìïòîòèêè â íóëå um (r, t) = rm fm (r, t), ïîëó÷èòü è èíòåãðèðîâàòüóðàâíåíèÿ íà fm (r, t). Äëÿ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå èñïîëüçîâàòü ïàêåò FFTW.Èññëåäîâàòü íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ (â ò.÷. ñ íåòðèâèàëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò ϕ),äëÿ êîòîðûõ ëåãêî âûïèñàòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.10Âàðèàíò 21*Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà∂1 ∂2i +− U (x) ψ(x, t) = 0∂t 2 ∂x2ïî ÿâíîé ñõåìå. Ïðîèçâîäíóþ ïî êîîðäèíàòå çàìåíèòü íà ðàçíîñòíîå îòíîøåíèåè ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ÎÄÓ ïî âðåìåíè ïðîèíòåãðèðîâàòü ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòûâòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè. Ïîñòðîèòü ðåøåíèå ψ(x, t) è Ôóðüå-îáðàç ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ P (t) =< ψ(x, t)|ψ(x, 0) >.
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. ÷åì ôèçè÷åñêèé ñìûñë |P (ω)|2 ?Òðåáîâàíèÿ ê ïðîãðàììå : ïðåäóñìîòðåòü âîçìîæíîñòü çàìåíû ïîòåíöèàëà U (x) èíà÷àëüíûõ óñëîâèé ψ(x, 0). Ôóðüå-îáðàç âû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ ïàêåòà FFTW.Âàðèàíò 22Íàéòè óðîâåíü ýíåðãèè è âîëíîâóþ ôóíêöèþ ψ(x) îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â ñèììåòðè÷íîéÿìå U (−x) = U (x), èíòåãðèðóÿ îäíîìåðíîå ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà1 ∂2+ U (x) − E ψ(x, t) = 0,|ψ(x)| → 0 ïðè x → 0−2 ∂x2ïî x îò 0 äî íåêîòîðîãî xmax äëÿ ðàçëè÷íûõ E . Èíòåãðèðîâàíèå ïî x âåñòèìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè. Ïðîâåðèòü ðàáîòó ïðîãðàììû âíåñêîëüêèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, äëÿ êîòîðûõ ëåãêî âûïèñûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèåñïåêòðàëüíîé çàäà÷è.Âàðèàíò 23Èñïîëüçóÿ ìåòîä âðàùåíèé ßêîáè äëÿ ðåøåíèÿ êîíå÷íîìåðíîãî àíàëîãà ñïåêòðàëüíîéçàäà÷è äëÿ îäíîìåðíîãî ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, íàéòè óðîâíèýíåðãèè è âîëíîâûå ôóíêöèè ψk (x) îñíîâíîãî è ïåðâûõ 20 âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèéãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ñðàâíèâàÿ ÷èñëåííûé îòâåò ñ òî÷íûì ðåøåíèåì, îöåíèòüïîãðåøíîñòü îòâåòà â çàâèñèìîñòè îò êîëè÷åñòâà k íóëåé âîëíîâîé ôóíêöèè ψk (x).Âàðèàíò 24Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Õîïôà:∂u∂u+u= 0,∂t∂xu(x, 0) = exp(−x2 /2),−5 < x < 10,0 < t < tmax = 1.Âû÷èñëèòü ìàêñèìàëüíóþ íåâÿçêó ñ òî÷íûì ðåøåíèåì.ïîëó÷åííûå ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíûõ ÷èñëåííûõ ñõåì.Âàðèàíò 2511Ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû,Èñïîëüçóÿ ìåòîä óñòàíîâëåíèÿ, íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû âêîëüöå, îãðàíè÷åííîì äâóìÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè ñ ðàäèóñàìè a è b,åñëè òåìïåðàòóðà íà âíóòðåííåé ãðàíèöå ïîääåðæèâàåòñÿ ðàâíîé f (ϕ), à íà âíåøíåéãðàíèöå g(ϕ).
Èññëåäîâàòü íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ (â ò.÷. ñ íåòðèâèàëüíîéçàâèñèìîñòüþ îò ϕ), äëÿ êîòîðûõ ëåãêî âûïèñàòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå∂u1 ∂∂u1 ∂ 2u= 4u =r+ 2 2 , u(a, ϕ) = f (ϕ), u(b, ϕ) = g(ϕ)∂tr ∂r∂rr ∂ϕÏðîãðàììó ñîñòàâèëè ê.ô.-ì.í. äîöåíò Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷ ×åðíûõ, ê.ô.-ì.í.
äîöåíòÑåðãåé Âàëåðüåâè÷ Ñìèðíîâ.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
