1626435462-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (844208), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

второе равенство в(5.236)). В отличие от задачи (5.232), задача (5.235), (5.236) разрешима в предельном состоянии. Нелинейное уравнение (5.234) свелось ко второму уравнению в (5.236), котороеявляется линейным, так как λ̇ = 0. Последнее равенство является условием разрешимостиуравнения (5.233) при k = 0. В общем случае (при решении задач большей размерности)уравнение вида (5.234) требует линеаризации, а замена системы уравнений вида k ε̇ = Ṗсистемой вида k ε̇ − λ̇P0 = 0 нарушает структуру матрицы касательной жесткости(см. главу 6) исходной системы уравнений.Представим алгоритм решения задачи (5.233)–(5.235), который является относительно простым в численной реализации решения задач большой размерности. Систему (5.233),(5.234) решаем в два этапа.

На первом этапе решается уравнение (5.233), которое при введении новой переменной x ≡ ε̇/λ̇ преобразуется к следующему виду:kx = P0 .(5.237)Это уравнение имеет вид, аналогичный виду уравнения (5.232), и также не имеет единственного решения. Для решения этой проблемы заменим модуль касательной жесткости5.7.. Заключительные замечания111Et = 0 на модуль Et′ > 0 (Et′ ≪ E), т. е.

идеальный упругопластический материал стержнязаменяем материалом с упрочнением с небольшим по сравнению с модулем Юнга E коэффициентом касательной жесткости Et . Для коэффициента касательной жесткости новогоматериала введем обозначение k ′ ≡ b′ A, где величина b′ получается из величины b заменой в (5.230) касательного модуля Et = 0 на касательный модуль Et′ > 0.

Таким образом,вместо уравнения kx = P0 на первом этапе решения системы уравнений (5.233)–(5.235)рассматриваем следующее уравнение:k ′ x = P0 ,(5.238)имеющее единственное решение.На втором этапе находим λ̇ из контрольного уравнения (5.234):1λ̇ = ± √,1 + x2(5.239)после этого находим ε̇ = xλ̇. Знак в правой части (5.239) выбирается из условия большейгладкости кривой в (ε, λ)-пространстве.Поскольку исходное уравнение kx = P0 в ходе решения было заменено на k ′ x = P0 ,то для получения решения исходной задачи надо использовать процедуру итерационногоуточнения решения, например, процедуру метода Ньютона (см.

главу 6).5.7.Заключительные замечанияВ этой главе были рассмотрены основные уравнения упругопластического деформирования твердого тела. Точные решения таких уравнений можно построить лишь длянебольшого числа задач о деформировании тел достаточно простой конфигурации. В основном, такие точные решения используются для тестирования пакетов прикладных программ, реализующих алгоритмы приближенных решений задач упругопластического деформирования. Основным и наиболее универсальным численным методом решения задачматематической физики является метод конечных элементов (МКЭ), применение которого в механике деформируемого тела позволяет решать широкий класс как научных, так ипрактических задач. Следующая (последняя) глава этого пособия посвящена изложениюоснов применения МКЭ к решению задач теории упругости и пластичности.Глава 6Основы численных методов решениязадач деформирования тел из упругихи упругопластических материалов6.1.6.1.1.Применение метода конечных элементов к решению задач линейной теории упругостиПространственная дискретизация уравнений равновесия/движения упругих телВведем векторыε11σ11 ε22  σ22 ε33  σ33ε̄ ≡ ,σ̄≡ σ122ε12 2ε13  σ132ε23σ23,u1u ≡  u2  ,u3b1b ≡  b2  ,b3p1p ≡  p2 p3(6.1)и симметричную матрицуC≡C11C12C22C13 C14C23 C24C33 C34симм.C44C15C25C35C45C55C16C26C36C46C56C66,(6.2)связывающую векторы ε̄ и σ̄:σ̄ = Cε̄.Для изотропного упругого материала матрица C имеет следующий вид:1−ννν000 ν1−νν000 νEν1−ν000.C=001/2 − ν00(1 + ν)(1 − 2ν)  0 00001/2 − ν0000001/2 − ν112(6.3)(6.4)6.1.

Применение метода конечных элементов к решению задач . . .113Запишем уравнение баланса виртуальных работ (3.37) в компонентном виде:∫σij δεij dV = R̂,(6.5)VгдеR̂ ≡ R̂V − R̂M + R̂p + R̂c .Здесь∫– R̂V =(6.6)bi δui ρ dV – виртуальная работа внешних объемных сил,V∫– R̂M =üi δui ρ dV – виртуальная работа сил инерции,V– R̂P =∫p∗i δui dS – виртуальная работа поверхностных сил,Sp– R̂C =Kc∑Rik δuki – виртуальная работа сосредоточенных сил.k=1Отметим, что к виртуальной работе внешних сил, представленной в правой части (3.37),здесь добавили виртуальную работу сосредоточенных сил, действующих в Kc точках тела,при этом, Rik и uki – i-е компоненты векторов сосредоточенных сил и перемещений k-йточки тела (1 < k < Kc ), в которой действует сосредоточенная сила.

Кроме того, заданыграничные условия для компонент вектора перемещений:ui = u∗i(6.7)на Su .Используя закон Гука (3.42), перепишем уравнение баланса виртуальных работ (6.5)для тела из линейного упругого материала:∫Cijkl εkl δεij dV = R̂.(6.8)VЭто уравнение, с учетом обозначений (6.1)–(6.3), запишем в векторно-матричном виде:∫δε̄T Cε̄dV = R̂.(6.9)VВыражения виртуальных работ, представленных в правой части (6.6), с использованиемобозначений (6.1), записываются в следующем виде:∫R̂V =δu bρ dV,V∫∫TTδu üρ dV,R̂M =R̂p =δuT p∗ dS,SpVR̂c =Kc∑Rik δuki ,(6.10)k=1а граничные условия (6.7) представляются следующим образом:u = u∗на Su .(6.11)Полная потенциальная энергия (3.46), с учетом потенциальной энергии сосредоточенных сил, записывается в следующем виде:∫1I(u) =ε̄T Cε̄dV − Ř,(6.12)2V114Глава 6.

Основы численных методов решения задач деформирования тел . . .tsrVeРис. 6.1. Конечный элемент с локальной системой координат: жирные точки обозначают узловыеточки в углах элемента, а затемненные точки – внутренние узлы на ребрах элементагдеŘ ≡ ŘV + Řp + Řc .(6.13)Здесь введены потенциальные энергии объемных, поверхностных и сосредоточенных сил:∫∫TŘV =u bρ dV,VTŘp =∗u p dS,Řc =Kc∑Rik uki ,(6.14)k=1Spвектор перемещений подчиняется граничному условию (6.11).Если метод конечных элементов (МКЭ) базируется на вариационной формулировкезадачи, его можно рассматривать как специальную форму метода Ритца, т. е. методанахождения приближенного решения краевых задач вариационного исчисления.

МетодРитца предполагает выбор пробной функции, минимизирующей некоторый функционал,в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют главным граничнымусловиям (в нашем случае – граничным условиям для компонент вектора перемещений).В результате задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов этой суперпозиции.Для получения приближенного решения нужно разбить рассматриваемое тело наподобъемы – конечные элементы (рис. 6.1).

Пусть это будут восьмиугольные элементы,каждый из которых имеет N узловых точек (узлов). Например, узлов может быть восемь(N = 8), и тогда они будут расположены в вершинах элемента; можно добавить по узлу в середине каждого ребра, тогда N = 20 (см. рис. 6.1). Пусть r, s, t – естественные(локальные) координаты элемента (см. рис.

6.1), такие, что−1 ≤ r ≤ 1,−1 ≤ s ≤ 1,−1 ≤ t ≤ 1.(6.15)Координаты некоторой материальной точки элемента в глобальной декартовой системе координат можно представить в различные моменты времени t следующими выражениями:N∑t(6.16)xi (r, s, t) =hk (r, s, t)t xki ,k=1где t xi , t xki – i-е координаты произвольной точки в элементе и узловой точки k в глобальной системе координат соответственно, определенные в момент времени t, hk (r, s, t)– интерполяционные полиномы (функции формы) элемента.

Функции формы могут бытьпостроены различными способами, но они должны удовлетворять следующим основнымтребованиям:N∑hk (r, s, t) = 1.(6.17)hk (rm , sm , tm ) = δkm , k, m = 1, N ;k=16.1. Применение метода конечных элементов к решению задач . . .115Назовем конечный элемент изопараметрическим, если перемещения материальных точек элемента можно представить через перемещения узловых точек с помощью тех жефункций формы, что и координаты этих точек элемента, т. е.tui = xi − xi =t0N∑hk (r, s, t)t uki ,(6.18)k=1где t ui , t uki – i-е компоненты вектора перемещений произвольной точки в элементе и узловой точки k в глобальной системе координат соответственно, определенные в моментвремени t.Пусть индекс e указывает на величину, отнесенную к произвольному конечному элементу, а индекс k – на величину, отнесенную к k-му конечному элементу.

Введем векторузловых перемещений элемента:NN TUe = [u11 , u12 , u13 , ... , uN1 , u2 , u 3 ] ,(6.19)а также матрицы H и B такие, что выполняются следующие равенстваu = HUe ,ε̄ = BUe .(6.20)Пользуясь тем, что интеграл объединения подобластей равен сумме интегралов подобластей, перепишем полную потенциальную энергию в следующем виде:∫K∑ 1 ε̄T Cε̄ dV − ŘVk − Řpk  − Řc .I(u) =(6.21)2k=1VkЗдесь K – количество конечных элементов в области V . Найдем вариацию полной потенциальной энергии:∫K∑ δε̄T Cε̄ dV − δ ŘVk − δ Řpk  − δ Řc .δI(u, δu) =(6.22)k=1VkИспользуя аппроксимационные выражения (6.20), получим следующие приближенные значения для каждого из слагаемых под знаком суммы в (6.22). Для вариации энергиивнутренних сил имеем∫δε̄T Cε̄dV = δUeT Ke Ue ,(6.23)Veгде введена симметричная матрица жесткости конечного элемента:∫eK ≡ BT CB dV.(6.24)VeВариация объемных сил элемента (см.

(6.14)) приближается следующим образом:∫∫TeTeHT bρ dV = δUeT ReV ,δ R̆V = δu bρ dV = δU(6.25)VeVeгде ввели вектор объемных сил элемента:∫eRV ≡ HT bρ dV.Ve(6.26)116Глава 6. Основы численных методов решения задач деформирования тел . . .Аналогично получаем приближенное выражение вариации энергии поверхностных сил:δ Řpe = δUeT Rep ,(6.27)где ввели вектор поверхностных сил элемента:∫eRp ≡ HT p∗ dS.(6.28)SpeПреобразуем локальные матрицу Ke и векторы ReV , Rep , соответствующие вектору узловых перемещений элемента, в локальные матрицы и векторы, соответствующие векторуузловых перемещений всей совокупности узловых точек и элементов, на которые разбито тело.

Эту совокупность будем называть ансамблем узловых точек и элементов (или,для краткости, просто ансамблем). Введем следующие обозначения: NEQ – общее числонеизвестных независимых компонент вектора узловых перемещений ансамбля, NEL – соответствующее число для одного элемента. Преобразование матриц и векторов элементаот локальной нумерации узловых точек к глобальной нумерации производится с помощьюбулевых матриц Ae , которые вводятся через соответствие степеней свободы узловых точекэлемента в локальной и глобальной нумерациях с использованием следующего равенства:Ue = Ae U,⇒δUe = Ae δU,(6.29)где Ae – матрица размерности NEL × NEQ, а Ue , U – вектор-столбцы размерности NELи NEQ соответственно:Ue = [U1 , U2 , ..., UNEL ]T ,U = [U1 , U2 ..., UNEQ ]T .(6.30)Используя (6.23), (6.25), (6.27), (6.29), получимδUe T Ke Ue = δUT Ae T Ke Ae U = δUT K̃e U, K̃e ≡ Ae T Ke Ae ,(6.31)δ ŘVe = δUe T ReV = δUT Ae T ReV = δUT R̃eV , R̃eV ≡ Ae T ReV ,δRpe = δUe T Rep = δUT Ae T Rep = δUT R̃ep , R̃ep ≡ Ae T Rep .Из (6.22), (6.23), (6.25), (6.27), (6.31) получим приближенное выражение вариации полнойпотенциальной энергии6δI(u, δu) = δUTK∑(K̃j U − R̃jV − R̃jp ) −j=1Kc∑Rik δuki ,i = 1, 2, 3.(6.32)k=1Используя принцип минимума полной потенциальной энергии, из равенства (3.48), сучетом (6.32), получимδUT (KU − R) = 0,(6.33)где введены матрица жесткости K и вектор внешних сил R ансамбля:K≡K∑j=1jK̃ ,R≡K∑(R̃jV + R̃jp ) + Rc .(6.34)j=1Из (6.33), в силу произвольности вектора δU, получим линейную систему алгебраическихуравнений:KU = R.(6.35)6.1.

Применение метода конечных элементов к решению задач . . .Структура симметричной матрицы 0 0   0 0 0 K= 0 0 0 0 0 0 0 00 0117K имеет следующий вид:000000000000000000000000000000000000000000000.(6.36)Здесь символы обозначают ненулевые элементы. В памяти компьютера хранятся толькоэти ненулевые элементы матрицы K. В силу симметрии матрицы все ненулевые элементы матрицы хранить не нужно, хранить нужно элементы только нижней треугольнойматрицы L и диагональной матрицы D (см. п. 6.1.2).Если МКЭ основывается на использовании принципа виртуальных работ для решения динамических задач, то его можно рассматривать как вариант метода Бубнова –Галёркина.

Характеристики

Список файлов книги