1626435146-bf09a28a629bf7be0188c378d312c153 (844154)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Задание 11.1Задача 11.2Задача 2Magneticdown to every cell.No, deeper.Every atom.Deeper still.Every quarkvibrates against mine,creating frictioncreating heatcreating staticin my head,electrical stormsin my skull.Strings pull backreleaseand resonate.Particles spinscattercollide,creating a universeas matteris unwoundand I?I am undone.Потенциал для кулонова поля имеет вид: αr . В данном конкретном случае подпостоянной α подразумевается вообще некоторая произвольная, разумеется, вещественная постоянная. Если, например, источником кулонова поля является ядро, то, очевидно, что α пропорциональна Z (заряд ядра) в известной степени 1 . Дальнейшие слова могут показаться ужасными, но нейтрон - частица нейтральная.

Это, в свою очередь, означает, что электрическое полена него так просто не действует.Дальнейший шаг очевиден. Перейдём в сиcтему покоя нейтрона. Однако, и тут не стоитторопиться, так как по условию задачи нейтроны нерелятивистские.Преобразование таково:1H = [E × V ],cгдеααrE = −∇ = 2 .rrТаким образом, потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента нейтрона µ̂ = µn σ̂с кулоновским полем примет вид:U = −µ̂H = −1αµCσ̂[r × V ] = − 3 (σ̂ l̂).3crrТут мог бы быть смайлик, но мы - приличные люди.1Далее я позволю своим пальцам отдохнуть от кириллицы и сгенерю нехилую последовательность символов.Z0 Cˆf = − e−ik r 3 (σ̂ l̂)eikr d3 r =rZ0 1= iC σ̂ e−ik r 3 r × ∇eikr d3 r =rZ0 r= −C σ̂[ e−ik r 3 eikr d3 r × k] =rZr −iqr 3= −C σ̂[ed r × k] =r3Z1= C σ̂[ e−iqr ∇ d3 r × k] =rZ1 −iqr 3= C σ̂[∇ed r × k] =rZ1 −iqr 3= −iC σ̂[qed r × k] =rθ= iKctg( )(σ̂ n̂) =2= A + iB(σ̂ n̂),гдеA = 0, n =[k × k0 ],|[k × k0 ]|θq = k0 − k, q = 2ksin( ).2ϕBtg( ) == ∞ ⇒ ϕ = π.2AКомпонента спина, перпендикулярная плоскости рассеяния остаётся прежней, а лежащая вплоскости поворачивается на угол π.θθdσ=(fˆϕ)† (fˆϕ)==K2 ctg 2 ( )ϕ† (σ̂n)2 ϕ==K2 ctg 2 ( ),dΩ22где K - константа, которую можно посчитать.Интересно, что B обращается в нуль при θ = π, а это означает неопределённость вида0в формуле для тангенса угла поворота.

Возникает вопрос: «А насколько повернётся спин0частиц, рассеянных назад?». Чтобы на него ответить, нужно взглянуть на формулу для сечения,которое в этом случае зануляется. Это означает, что таких частиц просто нет.22.1Задание 2Задача 3В задаче будем пользоваться соглашением Эйнштейна и тензорной записью в декартовыхкоординатах, чтобы не тратить усилия на перенос индексов. Методы векторной алгебры постараемся использовать только в крайнем случае.2hiПервый коммутатор: Ĥ, p̂ .hiĤ, pˆj = [αi p̂i , p̂j] + m [β, p̂j ] = α [p̂i , p̂j ] + 0 = 0Это было просто. Импульс для свободной частицы сохраняется. Перейдём к более интересным вещам.hiĤ, lˆk = [αm p̂m , εijk xi p̂j ] = αm εijk [p̂m , xi p̂j ] = αm εijk (−i)δim p̂j = −iεijk αi p̂j = −i [α × p̂]Мы можем выносить тензор Леви-Чивита за коммутатор, так как он является константой.Как видно, орбитальный момент перестаёт сохраняться в релятивистском случае.

Посмотрим,что со спином.hi1Ĥ, sˆk = [αm p̂m , ŝk ] = [αm , Σk ] p̂m2Вспомним, что Σ = γ5 α.[αm , Σk ] = [αm , γ5 ] αk + γ5 [αm , αk ]Теперь распишем γ5 через αi .2γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 = iγ0 (γ0 γ1 ) (γ0 γ2 ) (γ0 γ3 ) = iα1 α2 α3А дальше воспользуемся тем, что α-матрицы ведут себя почти как матрицы Паули.αi αj = iεi,j,k αkТогда, собирая всё вместе, напишем[αm , Σk ] = [αm , γ5 ] αk + γ5 [αm , αk ] = −2iεm,k,l αl[H, ŝk ] = iεl,m,k αl p̂m = i [α × p̂]Отсюда сразу видно, что вектор j = l + s коммутирует с гамильтонианом и, соответственно,сохраняется. Сам по себе спин же не сохраняется.Теперь настало время оператора lˆ2 .hihihiĤ, lˆ2 = −i α · p̂, l̂ l̂ + −il̂ α · p̂, l̂ = −i [α × p̂] · l̂ + −il̂ [α × p̂]Оба этих слагаемых представляют собой так называемые тернарные произведения, знакомыенам из курса аналитической геометрии. Вспомнив их симметричность относительно нечётныхи антисимметричность относительно чётных перестановок, получим nhi hio[α × p̂] · l̂ + l̂ · [α × p̂] = α, p̂, l̂ + l̂, α, p̂ = α, p̂, l̂ − α, l̂, p̂ = α · p̂ × l̂ − l̂ × p̂Эту конструкцию уже стоит расписать через тензорные обозначения.i hionhnoˆˆα · p̂ × l̂ − l̂ × p̂ = αi εijk p̂j lk + lk p̂jМы не постеснялись переиспользовать немые индексы, так как формально эту сумму можноразбить на две независимых так, что пересечения индексов не возникнет.

Знак же мы изменили2Где-то в этом месте замечена ошибка. Пользуйтесь осторожно.3для того, чтобы учесть смену порядка сомножителей. Теперь посмотрим, что же у нас стоит вфигурных скобках.nohip̂j ˆlk + ˆlk p̂j = p̂j ˆlk + ˆlk p̂j = 2ˆlk p̂j − ˆlk , p̂j = 2ˆlk p̂k − iεjkl p̂lВозвращая фигурные скобки обратно и сворачивая тензоры Леви-Чивита, получим ответhihi2ˆˆĤ, l = −iεijk αi lk p̂j − 2αi p̂i = iα · l̂ × p̂ − 2α · p̂Как мы нам не хотелось верить в обратное, эта величина не равна нулю. Соответственно, небудет она нулём и в случае центрального потенциала общего вида.

.Настала очередь оператора квадрата спина.hi1Ĥ, sˆ2 = [αj p̂j , ŝk ŝk ] = [αj p̂k , Σk Σk ]4Тут нам достаточно вспомнить, что Σk - постоянные матрицы, а Σ2k = I. Коммутатор в такомслучае, естественно, зануляется. 2Оператор ĵ коммутирует с гамильтонианом в силу линейности коммутатора.hi XhihiĤ, jˆ2 =H, ĵi ĵi + ĵi H, ĵi = 0 + 0 = 0iОператор спиральности Λ = Σ · p̂ коммутирует с гамильтонианом в силу уже неоднократноиспользованного свойства алгебры коммутаторов.hihi hiĤ, Σ · p̂ = Σ · Ĥ, p̂ + Ĥ, Σ · p̂ = 0 + i [α × p̂] · p̂ = 0 + 0 = 02.2Задача 42.3Задача 5Трансформационные свойства спиральностиВ лабораторной системе электрон с отрицательной спиральностью движется с импульсом p под углом θ к оси x. Какова вероятность обнаружить положительную спиральностьэлектрона в системе, движущейся со скоростью β вдоль оси x? (Указание: определить, каксвязана эта вероятность с 4-вектором спина aµ , использовать известный закон преобразования aµ ).Небольшое отступление.

Все помним, что сигнатурой пространства Минковского является (1, −1, −1, −1)? Также обратите внимание, что я предпочитаю использовать единицы, где~ = c = 1, c — скорость света, если кто не понял. Трёхмерные вектора обозначаются как a,четырёхмерные как aµ (контравариантные) и aµ (ковариантные, дуальные контравариантными связанные соотношением aµ = gµν aν ), либо иногда вообще как a, во всяком случае в моих обозначениях ab = (a, b) может на самом деле обозначать aµ bν gµν = aµ bµ , то есть псевдоскалярноепроизведение в четырёхмерном пространстве Минковского. Пространственная часть четырёхвектора aµ будет обозначаться как a. Так что будьте внимательны и осторожны при входе вавтобус и выходе из него.В первую очередь нам необходимо разобраться с понятием «спин» в релятивистской классической механике.

Частично в этом нам помогут лекции Романа Ли [?, 2.2.9, стр. 96]. Будемсчитать, что «классический спин» — это среднее значение оператора спина, для удобства будем также считать наш спин удвоенным, чтобы не возиться с двойками, которые всё равно не4повлияют на ответ, а только усложнят выкладки. Введём понятие трёхмерного вектора спина ζ (спин в системе покоя частицы, «нерелятивистский спин»). Четырёх-вектор спина можноввести из того, что в системе покоя частицы он является чисто пространственным.Удобно ввести понятие четырёх-скорости u = Γ[1, v]. Вектор спина является аксиальным.Также для него выполняется условие aµ uµ = 0.3Это условие является Лорентц-инвариантным утверждением того, что спин является чистопространственным вектором в системе покоя частицы.

Тогда мы знаем, что a0 = (a, v). Кстати,a2 = (a, a) = −1, a⊥ = ζ ⊥ . Из этих условий можно найти вид дляa=ζ+(ζ, u)u.1 + u0(1)То же можно получить и из преобразований Лорентца (в СО покоя частицы пространственныекомпоненты у a и ζ совпадают).Все адекватные люди знают, что p = mu. Если спиральность определена через удвоенный, p в знаменателе — норма пространственной части. Переделаем теперьоператор спина как (Σ,p)pэто квантовое определение в классическое. Итак, пусть спиральность(ζ, p)= (ζ, n),(2)pn — направление движения, ну а спиральность, соответственно, — удвоенная проекция спина нанаправление движения.

Перепишем определение спиральности, исключив из выражения массу:λ=(ζ, u).uВ лабораторной системе отсчёта у электрона по условию импульс p, можно ввести Лорентцфактор и трёхмерную скорость, удовлетворяющие соотношениюλ=Γ2 =1.1 − (v, v)Поэтому в выражении (??) можно выразить компоненты uµ через Γ и v.

Тогда имеем(ζ, u) = Γvλ = −Γv,так как λ = −1 в ЛСО по условию. Отметим тот факт, что если λ = −1, то нет компонентыp(cos θ, sin θ, 0),спина, ортогональной плоскости L(x, p). Тогда спин ζ = (cos θ, sin θ, 0), v = mΓpu = m (cos θ, sin θ, 0) = u(cos θ, sin θ, 0) В силу (??) получаем(u, u)a=− 1+· (cos θ, sin θ, 0) = −Γ(cos θ, sin θ, 0),1+Γа также в силу «чисто пространственности» вектора спина имеем значение и для его нулевойкомпонентыa0 = (a, v)(3)для любой системы отсчёта.Теперь мы готовы к Лорентц-бусту.

Это будет не больно!a00 = γa0 − βγax ,u00 = γΓ − βγux ,a0⊥ = a⊥ , u0⊥ = u⊥ .3 µa uµ = (−vΓζ, Γζ)µ (Γ, Γv)µ = vΓζΓ − vΓΓζ = 0 — Лорентц-инвариант.5Так как верно (??), то имеем тогда (a0 , v 0 ) = a00 . В силу (??) имеемλ0 =(ζ 0 , u0 )a00=,u0u0pгде u0 = (u0 , u0 ).λ0 — «классическое» значение спиральности, то есть среднее значение оператора спиральности. Так как собственных значений у этого оператора всего два: λ0 = ±1, то среднее значениеhλ0 i = wi λi = w↑ λ0↑ + w↓ λ0↓ , тогда для вероятности обнаружить спиральность λ0 = 1 имеемw↑ =3hλ0 i + 1.2Задание 33.1Задача 63.2Задача 76Список литературы[1] Р.

Н. Ли, «Квантовая теория рассеяния и излучения», 11 январяhttp://www.inp.nsk.su/students/theor/TreeofKnowledge/docs/RLee/QM3Lectures.pdf72013,.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов курсовой работы