1625915146-70d402fe54d0af3e87017c6c516bbe93 (843877), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Привести пример того, что при одних и тех же частных распределениях возможны разные совместные.59. Что такое многомерное нормальное распределение?60. Сформулировать определение независимости в совокупности nслучайных величин.61. Как из независимости в совокупности n случайных величин вытекает их попарная независимость?62. Для каких-то множеств B1 и B2 оказалось верно равенствоP(ξ ∈ B1 , η ∈ B2 ) = P(ξ ∈ B1 ) · P(η ∈ B2 ). Следует ли отсюда независимость случайных величин ξ и η?63.
Дать определение зависимости случайных величин ξ и η.64. Верно ли, что если P(ξ < 0, η < 0) = P(ξ < 0) · P(η < 0), то ξ иη независимы?65. Верно ли равенство P(ξ ∈ R, η ∈ R) = P(ξ ∈ R) × P(η ∈ R)? Можно ли отсюда сделать вывод, что ξ и η независимы? Почему?66. Привести пример зависимых случайных величин ξ и η таких, чтодля любого x верно равенство P(ξ < x, η < x) = P(ξ < x) · P(η < x).67. Дать определение независимости двух случайных величин с дискретными распределениями.68. Дать определение независимости двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.69.
Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы в совокупности и имеют стандартное нормальное распределение. Выписать плотность совместного распределения величин ξ1 , . . . , ξn .= B1/2 , η = ξ. Проверить, зависимы ли ξ и η.70. Пусть ξ ⊂= Π1 , η = ξ. Проверить, зависимы ли ξ и η.71. Пусть ξ ⊂72. В каком случае случайная величина ξ не зависит от себя самой?73. Как вычислить плотность распределения суммы двух независимыхслучайных величин, зная плотность распределения каждой?74.
Сформулировать теорему об устойчивости распределения Пуассо-КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ147на по суммированию.= Πλ , η ⊂= Πµ таких, что75. Привести пример случайных величин ξ ⊂распределение ξ + η не является пуассоновским.76. Сформулировать теорему об устойчивости биномиального распределения по суммированию.= Bn,p , η ⊂= Bm,p таких,77. Привести пример случайных величин ξ ⊂что распределение ξ + η не является биномиальным.78. Привести пример, когда сумма двух одинаково распределённыхслучайных величин с распределением Bp имеет распределение, отличноеот B2, p .79. Сформулировать теорему об устойчивости нормального распределения по суммированию.= N0,1 , η ⊂= N0,1 таких,80.
Привести пример случайных величин ξ ⊂что ξ + η ⊂6 = N0,2 .= N0,1 , η ⊂= N0,1 таких,81. Привести пример случайных величин ξ ⊂что распределение ξ + η не является нормальным.= N1,9 и η ⊂= N1,1 — независимые случайные величины.82. Пусть ξ ⊂Какое распределение имеет ξ − η ?83.
Сформулировать теорему об устойчивости гамма-распределенияотносительно суммирования.84. Имеет ли сумма независимых и равномерно распределённых слагаемых равномерное распределение?85. Дать определение математического ожидания для дискретного распределения.
Когда существует математическое ожидание случайной величины с дискретным распределением?86. Дать определение математического ожидания для абсолютнонепрерывного распределения. Когда существует математическое ожидание случайной величины с абсолютно непрерывным распределением?87.
Одинаковы ли математические ожидания у двух разных случайных величин с одним и тем же распределением?88. Какой физический смысл имеет математическое ожидание?89. Всегда ли математическое ожидание существует?90. Привести пример распределения, математическое ожидание которого не существует.91. Привести пример распределения случайной величины с математическим ожиданием −3.92. Перечислить математические ожидания и дисперсии всех основныхраспределений.148КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ93. Пользуясь свойствами математического ожидания, вычислить= Na, σ2 .E (3ξ) и E (ξ + 1) для ξ ⊂94.
Всегда ли математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий?95. Всегда ли математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий?96. Как вычислять второй момент для показательного распределения,четвёртый?= Bn,p .97. Записать формулу для вычисления E(ξ2 eξ ), если ξ ⊂ξ= Πλ .98. Записать формулу для вычисления E(2 cos ξ), если ξ ⊂= Eα .99. Записать формулу для вычисления E ξe√−ξ для ξ ⊂= Eα .100. Записать формулу для вычисления E ξ для ξ ⊂101. Известно, что P(ξ ∈ (−5, 5)) = 1.
Что можно сказать про E ξ ?102. Когда возможно равенство E |ξ| = 0 ? Почему?103. Сформулировать неравенство Йенсена.104. Сравнить E (eξ ) и eE ξ , E ln ξ и ln(E ξ).105. Дать определение и привести основные свойства дисперсии.106. Как изменится дисперсия при изменении случайной величинывдвое?107. Можно ли привести пример распределения с дисперсией −1?108. Что можно сказать про случайную величину ξ, если D ξ = 0?109. Всегда ли дисперсия суммы равна сумме дисперсий?= Πλ . Чему равна дисперсия D(2 − 3ξ) ?110. Пусть ξ ⊂111.
Найти DSn , где Sn = ξ1 + . . . + ξn — сумма независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией σ2 .= Eα независимы. Вычислить D(ξ1 − ξ2 ).112. Пусть ξ1 , ξ2 ⊂113. Сравнить Eξ2 и (Eξ)2 . Когда эти величины сопадают?114. Чему равна D(4ξ − 3η) для произвольных случайных величин ξи η с конечными вторыми моментами?= N0,1 независимы. Сравнить D(ξ1 + ξ2 + ξ3 )115. Пусть ξ1 , ξ2 , ξ3 ⊂и D(3ξ1 ).116. Записать определение и свойства коэффициента корреляции.117. Если ξ = 2η, чему равен их коэффициент корреляции?118.
Что можно сказать про случайные величины, если их коэффициент корреляции равен −1?119. Если обе случайные величины увеличить вдвое, как изменится ихкоэффициент корреляции?120. Если обе случайные величины увеличить на два, как изменитсяКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ149их коэффициент корреляции?121. Чему равен коэффициент корреляции независимых случайных величин? Может ли коэффициент корреляции двух зависимых случайныхвеличин равняться нулю?122. Для того чтобы D(ξ + η) = Dξ + Dη, необходимо и достаточно,чтобы ξ и η были независимы или некоррелированы? Обосновать.Вопросы по главам X–XII1. Сформулировать определение сходимости «почти наверное».2. Сформулировать определение сходимости по вероятности.3. Дать определение предела числовой последовательности.4. Привести пример сходящейся по вероятности последовательности.5.
Сходится ли по вероятности сходящаяся числовая последовательность? Сходится ли она почти наверное?6. Известно, что P(|ξn − ξ| > 0, 001) → 0 при n → ∞. Верно ли, чтоpтогда ξn → ξ ?= B 1?7. Куда сходится по вероятности последовательность ξn ⊂1− n8. Какими свойствами обладает сходимость по вероятности?9. Какая из сходимостей сильнее: почти наверное или по вероятности?10.
Пусть E |ξ| = 1. Оценить с помощью неравенства Маркова вероятность P(|ξ| > 3).11. Сформулировать неравенства Маркова и Чебышёва.12. Какие вероятности позволяет оценивать неравенство Чебышёва?13. КакпонеравенствуЧебышёваоценитьвероятностьP(|ξ − E ξ| < x), если x > 0 и D ξ существует? Будет ли это оценкасверху или снизу?14. Чем можно оценить вероятность случайной величине отличатьсяот своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии, более чем на четыре, на пять?15. Что означают слова «последовательность удовлетворяет ЗБЧ»?16. Каков смысл закона больших чисел?17.
Куда сходятся средние арифметические независимых и одинаковораспределённых случайных величин с конечной дисперсией?18. Как себя ведёт отношение числа успехов в схеме Бернулли к числуиспытаний с ростом последнего?19. Можно ли при каком-нибудь большом числе бросаний правильноймонеты гарантировать, что частота выпадения орла отклонится от 0,5не более чем на 0,05?20. Сформулировать ЗБЧ в формах Чебышёва, Маркова, Хинчина.150КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ21. Пусть ξ1 , ξ2 , . .
. — независимые и одинаково распределённые случайные величины. При каком условии существует и чему равен пределξ3 + . . . + ξ3nпоследовательности 1при n → ∞ ?n22. Сформулировать усиленный ЗБЧ Колмогорова.23. Может ли последовательность зависимых случайных величинудовлетворять ЗБЧ? Привести пример.24. Может ли последовательность разнораспределённых случайныхвеличин удовлетворять ЗБЧ? Привести пример.25. Определение слабой сходимости.26.
Расшифровать по определению запись ξn ⇒ 0.127. Доказать по определению, что последовательность ξn = − слабоnсходится к нулю.128. Доказать по определению, что последовательность ξn =слабоnсходится к нулю.29. Как связаны слабая сходимость и сходимость по вероятности?30. Сформулировать теорему о двойном пределе.31.
Перечислить свойства слабой сходимости.32. Сформулировать ЦПТ.33. К какому распределению в условиях ЦПТ приближается распреS − E Snделение случайной величины npпри n → ∞?D Sn34. Чему равно математическое ожидание и дисперсия случайнойS − E Snвеличины np?D Sn35. В условиях ЦПТ как себя ведут при n → ∞Sn − nEξ1Sn − nEξ1ppP< 1/nи P<n ?nDξ1nDξ136. Выполнено ли утверждение ЦПТ для независимых случайных ве= Πλ ?личин ξi ⊂37.
Привести пример задачи, для решения которой необходима ЦПТ.38. В условияхпредел при n → ∞ последовательности ЦПТ каковSnвероятностей P< E ξ1 ?nПРИЛОЖЕНИЕТаблица 1Основные дискретные распределенияНазвание,обозначение,параметрыВозможныезначения kP(ξ = k)EξDξВырожденноеIc , c ∈ RcP(ξ = c) = 1c0Бернулли Bpp ∈ (0, 1)k = 0, 1P(ξ = 0) = 1−p,P(ξ = 1) = ppp(1 − p)Cnk pk (1 − p)n−knpnp(1 − p)λk −λeλλp(1 − p)k−11p1−pp2БиномиальноеBn, pp ∈ (0, 1)n = 1, 2, .
. .k = 0, . . . , nПуассона Πλλ>0k = 0, 1, 2, . . .ГеометрическоеGpp ∈ (0, 1)k = 1, 2, . . .Гипергеометрическоеn, K, N ∈ N0 6 n, K 6 Nk!целые отmax(0, n+K−N )до min(n, K)k C n−kCKNKnCNKnNKnNK1−NN −nN −1152ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 2Основные абсолютно непрерывные распределенияНазвание,обозначение,параметрыПлотностьраспределенияРавномерноена отрезке[a, b]Ua, b , a < b 1 , x ∈ [a, b],b−a 0,x∈6 [a, b]0,x > 0,x60122√ e−(x−a) /2σ ,σ 2πσ1Гамма Γα, λ ,α > 0, λ > 0 λ α xλ−1 e−αx , x > 0,Γ(λ)0,x60(b − a)2120−1,211αα226aσ200————λλα2√6α2µ2−∞ < x < ∞(α > 1)6(α3 +α2 −6α−2),α>4α(α−3)(α−4)α−1,α>3α3α−3( α, x > 1,xα+10,x<1λ0α−∞ < x < ∞α2α−2 2(α+1)2,α>2α −α|x−µ|e,λrПарето, α > 0a+b2,π σ2 + (x − a)2Лапласа Lα, µ ,Эксцесс−∞ < x < ∞Коши Ca, σ ,a ∈ R, σ > 0α > 0, µ ∈ RАсимметрия(α−1)2 (α−2)Нормальное(гауссовское)Na, σ2 ,a ∈ R, σ > 0α e−αx ,(DξαПоказательное(экспоненциальное)E α = Γ α, 1 ,α>0Eξ153ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 3Функция распределения стандартного нормального закона1Φ0, 1 (x) = √2πxΦ0, 1 (x)x−5−4, 5−4−3, 8−3, 6−3, 4−3, 2−3−2, 98−2, 96−2, 94−2, 92−2, 9−2, 88−2, 86−2, 84−2, 82−2, 8−2, 78−2, 76−2, 74−2, 72−2, 7−2, 68−2, 66−2, 64−2, 62−2, 6−2, 58−2, 56−2, 54−2, 52−2, 50, 00000030, 00000340, 00003170, 00007240, 00015910, 00033700, 00068720, 00130, 00140, 00150, 00160, 00180, 00190, 00200, 00210, 00230, 00240, 00260, 00270, 00290, 00310, 00330, 00350, 00370, 00390, 00410, 00440, 00470, 00490, 00520, 00550, 00590, 0062−2, 48−2, 46−2, 44−2, 42−2, 4−2, 38−2, 36−2, 34−2, 32−2, 3−2, 28−2, 26−2, 24−2, 22−2, 2−2, 18−2, 16−2, 14−2, 12−2, 1−2, 08−2, 06−2, 04−2, 02−2−1, 99−1, 98−1, 97−1, 96−1, 95−1, 94−1, 93−1, 92Φ0, 1 (x)0, 00660, 00690, 00730, 00780, 00820, 00870, 00910, 00960, 01020, 01070, 01130, 01190, 01250, 01320, 01390, 01460, 01540, 01620, 01700, 01790, 01880, 01970, 02070, 02170, 02280, 02330, 02390, 02440, 02500, 02560, 02620, 02680, 0274Zxe−t2/2dt−∞x−1, 91−1, 9−1, 89−1, 88−1, 87−1, 86−1, 85−1, 84−1, 83−1, 82−1, 81−1, 8−1, 79−1, 78−1, 77−1, 76−1, 75−1, 74−1, 73−1, 72−1, 71−1, 7−1, 69−1, 68−1, 67−1, 66−1, 65−1, 64−1, 63−1, 62−1, 61−1, 6−1, 59Φ0, 1 (x)0, 02810, 02870, 02940, 03010, 03070, 03140, 03220, 03290, 03360, 03440, 03510, 03590, 03670, 03750, 03840, 03920, 04010, 04090, 04180, 04270, 04360, 04460, 04550, 04650, 04750, 04850, 04950, 05050, 05160, 05260, 05370, 05480, 0559x−1, 58−1, 57−1, 56−1, 55−1, 54−1, 53−1, 52−1, 51−1, 5−1, 49−1, 48−1, 47−1, 46−1, 45−1, 44−1, 43−1, 42−1, 41−1, 4−1, 39−1, 38−1, 37−1, 36−1, 35−1, 34−1, 33−1, 32−1, 31−1, 3−1, 29−1, 28−1, 27−1, 26Φ0, 1 (x)0, 05710, 05820, 05940, 06060, 06180, 06300, 06430, 06550, 06680, 06810, 06940, 07080, 07210, 07350, 07490, 07640, 07780, 07930, 08080, 08230, 08380, 08530, 08690, 08850, 09010, 09180, 09340, 09510, 09680, 09850, 10030, 10200, 1038154ПРИЛОЖЕНИЕОкончание табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
