1625915146-70d402fe54d0af3e87017c6c516bbe93 (843877), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. её надграфикесть выпуклое множество). Тогда для любой случайной величины ξс конечным первым моментом верно неравенство: E g(ξ) > g(E ξ). Длявогнутых функций знак неравенства меняется на противоположный.Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам понадобится следующее свойство.Л е м м а 6. Пусть функция g выпукла. Тогда для всякого x0 найдётся число c(x0 ) такое, что при всех xg(x) > g(x0 ) + c(x0 )(x − x0 ).Это свойство очевидно и означает, что график выпуклой функции лежит полностью выше любой из касательных к этому графику.Возьмём в условиях леммы x0 = E ξ, x = ξ.
Тогдаg(ξ) > g(E ξ) + c(E ξ)(ξ − E ξ).Вычислим математическое ожидание обеих частей неравенства. Так какE (ξ − E ξ) = 0, и неравенство между математическими ожиданиями сохраняется по следствию 11, то E g(ξ) > g(E ξ).Следующее неравенство связывает моменты разных порядков.С л е д с т в и е 13. Если E |ξ|t < ∞, то для любого 0 < s < tqqtssE |ξ| 6 E |ξ|tД о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку 0 < s < t, то g(x) = |x|t/s — выпуклая функция. По неравенству Йенсена для η = |ξ|s ,(E |ξ|s )t/s = (E η)t/s = g(E η) 6 E g(η) = E |η|t/s = E |ξ|s·t/s = E |ξ|t .Осталось извлечь из обеих частей корень степени t.15Johan Ludwig William Valdemar Jensen (8.05.1859—5.03.1925, Denmark).95§ 4. Свойства дисперсииИз неравенства Йенсена вытекают, например, неравенства:E eξ > eE ξ ,E ln ξ 6 ln(E ξ),E ξ2 > (E ξ)2 ,E1 > 1 ,ξEξE |ξ| > |E ξ|,ppE ξ 6 E ξ.Последние три неравенства верны для положительных ξ.§ 4. Свойства дисперсииСвойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.
Заметим, что из существования второго момента следуетсуществование математического ожидания случайной величины и конечность дисперсии. Во всех свойствах ниже предполагается существованиевторых моментов случайных величин.(D1) Дисперсия может быть вычислена по формуле: D ξ = E ξ2 −(E ξ)2 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим для удобства a = E ξ. ТогдаD ξ = E (ξ − a)2 = E (ξ2 − 2aξ + a2 ) = E ξ2 − 2aE ξ + a2 = E ξ2 − a2 .(D2) При умножении случайной величины на постоянную c дисперсияувеличивается в c2 раз: D (cξ) = c2 D ξ.У п р а ж н е н и е . Доказать.(D3) Дисперсия всегда неотрицательна: D ξ > 0. Дисперсия обращается в нуль лишь для вырожденного распределения: если D ξ = 0, тоξ = const п.
н. и наоборот.Д о к а з а т е л ь с т в о. Дисперсия есть математическое ожидание почти наверное неотрицательной случайной величины (ξ −E ξ)2 , и неотрицательность дисперсии следует из свойства (E5). Далее, по свойству (E6) изравенства дисперсии нулю вытекает (ξ − E ξ)2 = 0 п. н., т. е. ξ = E ξ п. н.И наоборот, если ξ = c п. н., то D ξ = E (c − E c)2 = 0.(D4) Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную: D (ξ + c) = D ξ.У п р а ж н е н и е . Доказать.(D5) Если ξ и η независимы, то D (ξ + η) = D ξ + D η.Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,D (ξ + η) = E (ξ + η)2 − (E (ξ + η))2 == E ξ2 + E η2 + 2E (ξη) − (E ξ)2 − (E η)2 − 2E ξE η = D ξ + D η,так как математическое ожидание произведения независимых случайныхвеличин равно произведению их математических ожиданий.96ГЛАВА VIII.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙЗ а м е ч а н и е . См. замечание 2.С л е д с т в и е 14. Если ξ и η независимы, тоD (ξ − η) = D (ξ + η) = D ξ + D η.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из свойств (D5) и (D2) получимD (ξ − η) = D (ξ + (−η)) = D ξ + D (−η) = D ξ + (−1)2 D η = D ξ + D η.С л е д с т в и е 15. Для произвольных случайных величин ξ и η с конечными вторыми моментами имеет место равенствоD (ξ + η) = D ξ + D η + 2 E (ξη) − E ξ E η .(D6) Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины ξ от точек числовой прямой есть среднеквадратическое отклонение ξот её математического ожидания: D ξ = E (ξ − E ξ)2 = min E (ξ − a)2 .aE (ξ − a)2Д о к а з а т е л ь с т в о. Сравним величинус дисперсией:2E (ξ − a)2 = E (ξ − E ξ) + (E ξ − a) =22= D ξ + E ξ − a + 2(E ξ − E ξ) E ξ − a = D ξ + E ξ − a > D ξ,и последнее неравенство превращается в равенство лишь при a = E ξ.§ 5.
Математические ожидания и дисперсиистандартных распределенийП р и м е р 53 (вырожденное распределение Ic ). Математическоеожидание и дисперсию этого распределения мы знаем из свойств (E2)и (D3): E c = c, D c = 0.П р и м е р 54 (распределение Бернулли Bp ).
Вычислим два момента и дисперсию: E ξ = 1 · p + 0 · q = p; E ξ2 = 12 · p + 02 · q = p;D ξ = E ξ2 − (E ξ)2 = p − p2 = pq.П р и м е р 55 (биномиальное распределение Bn, p ). Используемсвойство устойчивости биномиального распределения относительно суммирования — лемму 2 (с. 86). Возьмём на каком-нибудь вероятностномпространстве n независимых случайных величин ξ1 , . . .
, ξn с распределением Бернулли Bp = B1, p . Тогда их сумма Sn = ξ1 + . . . + ξn имеетраспределение Bn, p и по свойству (E4) получаемE Sn =nXi=1E ξi = nE ξ1 = np.97§ 5. Математические ожидания и дисперсии стандартных распределенийА поскольку ξi независимы, и дисперсия каждой равна pq, тоnXD Sn =D ξi = nD ξ1 = npq.i=1= Bn, p .Итак, E ξ = np, D ξ = npq для ξ ⊂П р и м е р 56 (геометрическое распределение Gp ). Вычислим математическое ожидание ξ :∞∞∞XXXdq kk−1k−1=Eξ =kpq=pkq=pk=1k=1∞Xd= pdq!qkk=1k=1d=pdqq1−q=pdq11=.p(1 − q)2Вычислим так называемый «второй факториальный момент» ξ :E ξ(ξ − 1) =∞Xk(k − 1) p q k−1 = p qk=0k=1= pq∞Xd2 q kd2dq 211−q= pqdq 2= pqd2dq 2∞X!qk=k=022q=.(1 − q)3p2Найдём дисперсию через второй факториальный момент:D ξ = E ξ(ξ − 1) + E ξ − (E ξ)2 =2q112q − 1 + pq+−==.pp2p2p2p2П р и м е р 57 (распределение Пуассона Πλ ).
Вычислим математическое ожидание ξ :∞∞∞XXXλk −λλkλk−λ−λk e =eEξ =k =e=k=0−λ= λek!∞Xk=1k=1λk−1(k − 1)!−λ= λek!k=1∞Xm=0λmm!(k − 1)!= λe−λ eλ = λ.Моменты более высоких порядков легко находятся через факториальныемоменты E ξ[m] = E ξ(ξ − 1) . . . (ξ − m + 1) порядка m. Так, второй факториальный момент ξ равен∞∞XXλk−2λk −λ2 −λE ξ(ξ − 1) =k(k − 1)e =λ e= λ2 e−λ eλ = λ2 .k=0k!k=2(k − 2)!Поэтому E ξ2 = E ξ(ξ − 1) + E ξ = λ2 + λ и D ξ = E ξ2 − (E ξ)2 = λ.98ГЛАВА VIII. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙП р и м е р 58 (равномерное распределение Ua,b ). Математическое ожидание E ξ =мент:a+bнайдено в примере 48.
Вычислим второй мо2∞ZE ξ2 =Zbx2 fξ (x) dx = x2−∞b 3 − a3a2 + ab + b21dx ==.b−a3(b − a)3aДисперсия равна D ξ = E ξ2 − (E ξ)2 = (b − a)2 / 12.П р и м е р 59 (стандартное нормальное распределение N0, 1 ).Математическое ожидание этого распределения существует, поскольку2E |ξ| = √2π∞Zxe−x2/2∞Z2dx = √2π2< ∞.2π2e−x /2 d(x2/2) = √00Математическое ожидание ξ равно нулю:∞ZEξ =∞Z12π−∞2x e−x /2 dx = 0,xfξ (x) dx = √−∞так как под сходящимся интегралом стоит нечётная функция.
Далее,1E ξ2 = √2π∞Z−x2/2x2 e2dx = √2π−∞∞Z−x2/2x2 e2dx = − √2π0∞Z2x de−x /2 =0∞∞∞ZZ222x −x2/2 11√ e−x /2 dx = 1.= −√ e+ 2 √ e−x /2 dx = 0 +2π2π2π0−∞0Поэтому D ξ = E ξ2 − (E ξ)2 = 1 − 0 = 1.П р и м е р 60 (нормальное распределение Na, σ2 ). Мы знаем, чтоξ−a= Na, σ2 , то η == N0, 1 . Математическое ожидание E η = 0⊂если ξ ⊂σи дисперсия D η = 1 стандартного нормального распределения вычислены выше. ТогдаE ξ = E (ση + a) = σE η + a = a;D ξ = D (ση + a) = σ2 D η = σ2 .Итак, параметры a и σ2 нормального распределения суть его математическое ожидание и дисперсия.99§ 6. Другие числовые характеристики распределенийП р и м е р 61 (показательное распределение Eα ).
Найдём дляпроизвольного k ∈ N момент порядка k:∞∞∞ZZZ1k!kkk−αxEξ =x fξ (x) dx = x α edx = k (αx)k e−αx d(αx) = k .α−∞0α0В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:∞ZΓ(k + 1) = uk e−u du = k!0Из формулы для момента порядка k находимEξ =1α,E ξ2 =2,2αD ξ = E ξ2 − (E ξ)2 =1α2.П р и м е р 62 (стандартное распределение Коши C0, 1 ). Математическое ожидание распределения Коши не существует, так как расходится интеграл∞∞ZZ1112E |ξ| =dx=dx=limln(1 + x2 ) = +∞.|x|22π(1 + x )x→+∞ ππ(1 + x )−∞0Расходится он потому, что подынтегральная функция ведёт себя на бесконечности как 1/x.
Поэтому не существуют ни дисперсия, ни моментыболее высоких порядков этого распределения. То же самое можно сказатьпро распределение Коши Ca, σ .У п р а ж н е н и е . Доказать, что ни один момент порядка k 6 −1 распределения Коши также не существует. Найти все такие α ∈ R, при которых существует момент порядка α.П р и м е р 63 (распределение Парето). У распределения Парето существуют только моменты порядка t < α, поскольку∞∞ZZ11E |ξ|t = xt α α+1 dx = α α−t+1 dxx1x1сходится при t < α, когда подынтегральная функция на бесконечностиведёт себя как 1 / xs+1 , где s = α − t > 0.У п р а ж н е н и е .
Вычислить момент порядка t < α распределения Парето. При каких α у этого распределения существует дисперсия? А 2 317-ймомент?100ГЛАВА VIII. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ§ 6. Другие числовые характеристики распределенийРаспределения можно характеризовать и многими другими показателями, большинство из которых находит основное применение в статистике.Здесь мы только кратко познакомимся с их определениями.Медианой распределения случайной величины ξ называется любое изчисел µ таких, чтоP(ξ 6 µ) >1,2P(ξ > µ) >1.2Медиана распределения всегда существует, но может быть не единственна.
Так, у биномиального распределения с параметрами 3 и 1 ме2дианой будет любое число из отрезка [1, 2]. Действительно, ξ принимаетзначения 0, 1, 2 и 3 с вероятностями соответственно 1 , 3 , 3 и 1 .8888Поэтому для всех µ ∈ [1, 2]P(ξ 6 µ) > 1 ,2P(ξ > µ) > 1 .2Часто в таких случаях в качестве µ берут середину «отрезка медиан».Для распределений с непрерывной и строго монотонной функциейраспределения F медиана является единственным решением уравненияF (µ) = 1 . Это точка, левее и правее которой на числовой прямой сосре2доточено ровно по половине всей вероятностной «массы» (рис.
14). Еслираспределение имеет плотность f, то площади каждой из областей подграфиком плотности слева и справа от точки µ одинаковы.Медиана является одной из квантилей распределения. Пусть для простоты функция распределения F непрерывна и строго монотонна. Тогдаквантилью уровня δ ∈ (0, 1) называется решение уравнения F (xδ ) = δ.F (x)f (x)10,81212δ0,1x0,1µx0,8xδxµxРис. 14. Медиана и квантили на графике функции распределения и плотностиКвантиль xδ уровня δ отрезает от области под графиком плотностиобласть с площадью δ слева от себя, и с площадью 1−δ — справа.
Медианаявляется квантилью уровня δ = 1 .2§ 6. Другие числовые характеристики распределений101Квантили уровней, кратных 0,01, в прикладной статистике называютпроцентилями, квантили уровней, кратных 0,1, — децилями, уровней,кратных 0,25, — квартилями.Модой абсолютно непрерывного распределения называют любую точкулокального максимума плотности распределения. Для дискретных распределений модой считают любое значение ai , вероятность которого больше,чем вероятности соседних значений (соседнего, если таковое одно).Для нормального распределения Na, σ2 медиана, математическое ожидание и мода равны a.
Распределение, обладающее единственной модой,называют унимодальным. Идеальным примером унимодального распределения является нормальное распределение. Плотность произвольногоунимодального распределения может быть как более плоской (равномерное распределение), так и более «островершинной» (показательное распределение) по сравнению с плотностью нормального распределения, можетбыть симметричной либо наклонённой в одну сторону. Для описания таких свойств плотности используют коэффициент эксцесса и коэффициентасимметрии .Коэффициентом асимметрии распределения с конечным третьим моментом называется числоξ−a 3,β1 = Eσpгде a = E ξ, σ = D ξ.Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю. Если β1 > 0, то график плотности распределения имеет более крутойнаклон слева и более пологий — справа; при β1 < 0 — наоборот.Коэффициентом эксцесса распределения с конечным четвёртым моментом называется числоξ−a 4− 3.β2 = EσДля всех нормальных распределений коэффициент эксцесса равен нуξ−aлю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
