Курсовая работа по дисциплине Дифференциальные уравнения (836096)
Текст из файла
Федеральное государственное бюджетноеобразовательное учреждениевысшего профессионального образования«Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана».Курсовая работапо предмету «Дифференциальные уравнения»Выполнил:студент группы АК3-31аэрокосмического факультетаСкрябин ДмитрийПреподаватель: Апельцин В.Ф.IПостановка задачи.1. Математический аспектДанная курсовая работа посвящена построению приближенного решения краевой задачидля дифференциального уравнения вида:d2 u+n( x )u ( x )=0dx 2По условию, n(x)представляет собой кусочно-непрерывную функцию, равную константеk2 на интервалах (-∞; 0) и (а; +∞) и непрерывной известной функции на [0; a].
На границах[0; a] решение и его первая производная должны удовлетворять условиям:(гладкое сшивание решения)u(-0) = u(+0)u(a-0) = u(a+0)u’(-0) = u’(+0)u’(a-0) = u’(a+0)2. Физический аспектЗадача соответствует возбуждению плоского слоя неоднородной намагниченной средыэлектромагнитным полем, вектор электрического поля распространяется вдоль оси х.
kимеет смысл волнового числа в однородной части пространства, n( x ) - показательпреломления неоднородной среды.Из физических соображений, решение справа от слоя [0; a] должно иметь вид u( x ) =−ikxBe,ikx−ikxа слева u( x ) = e +Ae. Задача состоит в приближенном построении решениявнутри неоднородного слоя и нахождении комплексных констант A и B (называемых,соответственно, коэффициентами отражения и прохождения электромагнитного поля).n( x )Действительная область значений функциисоответствует отсутствиюпоглощения энергии в среде, так что критерием правильности полученных приближенныхзначений служит энергетическое тождество:|A|2 +|B|2 =11.
Постановка задачи.Распространяющаяся в однороднойдифференциальным уравнением видаd2 y 2+k y= 0dx 2изотропнойсредеВнутрь среды помещают неоднородный слой ширинойуравнение распространения волны удовлетворяет уравнению2d y+n( x ) y= 0dx 2Требуется найти функциюпросачивания волны.y( x)волнаописывается(1)a . Внутри этого слоя(2)внутри слоя и коэффициенты отражения и2. Теоретическая часть.OxВведём систему координат таким образом, что осьсовпадает сOyнаправлением распространения волны, осьей перпендикулярна, а прямая x=0совпадает с левой границей слоя. Тогда для правой границы x=a .
В этом случае можноk 2 ,x ∉ ( 0, a )n ( x ) ,0 <x<aN ( x ) =¿ {}N ( x ) , для которойввести функциюбудем рассматривать уравнениеd2 u+N ( x ) u=0dx 2.Тогдаikx(3)К слою подходит волна, описываемая функцией Y ( x )=e, являющейсярешением уравнения (1). На границе слоя часть волны отразится. С учётом изотропностиx<0слоя можно записать, что прирешением уравнения (3) будет функцияikx−ikxY ( x )=e +Ae, где A – числовой коэффициент, называемый коэффициентом−ikxотражения. Аналогично, при x>a решение примет вид Y ( x )=Be, где B –числовой коэффициент, называемый коэффициентом просачивания.Допустим, нам удалось получить решение уравнения (3) на [0 ;a ] .
По теореме оструктуре решения обыкновенного линейного дифференциального уравнении, этоY ( x )=c 1 y 1 ( x )+c 2 y 2 ( x ) . На решение наложим условиерешение имеет виднепрерывности и гладкости в точках x=0 иY (0 )|−0 =Y ( 0 )|+0Y' (0 )|−0 =Y' ( 0 )|+0Y (a )|−0 =Y ( a )|+0Y' (a )|−0 =Y' ( a)|+0x=a . Они имеют вид{}{}{}(4)Систему (4) можно привести, с учётом известного нам поведения функцииU ( x ) , к видуY ( 0 )=1 +AY'( 0 )=ik ( 1− A )Y (a )=Be ikaY' ( a) =ikBeika{}{}{}(5)Введём функциюz ( x )=dydx .
Тогда уравнение (2) сводится к системеdz+n ( x ) y= 0dxdy=zdx{}(6)Систему (6) представим в виде векторного уравненияddxy (x)z(x)ri gh(0( −n()=y (z(x)10)x)x)ri gh()(7)Символически запишем (7) в видеd ⃗⃗W =D ( x )⋅Wdx(8)Введём фундаментальную матрицу Ω( x ) , удовлетворяющую условиямd Ω( x )=D( x )⋅Ω ( x )dxΩ ( 0) =E{}(9)Тогда очевидно, что⃗ ( x )=Ω ( x )⋅W⃗ (0 )W(10)Из (5) видно, что1 +Aik ( 1 − A )righ( )( 0 )=⃗W(11)Раскроем выражение (10) с учётом (11):y(xz (x))ri ghik1 +A( 1 − A)ri gh()(12)Подставимx=aв (12):yz(a(a))rig hik1 +A( 1 −A)rig hω 11 (ω21(11+A+A))+ ω12+ ω 22ikik(1 −(1−AA))rig h()(13)В то же время, в силу (5) имеем:y(z(a )a )rig hB eik aikB e i karig h()(14)Тогда из (13) и (14) получим систему из двух линейных уравнений скомплексными коэффициентами относительно A и B :( ω 11 ( a )−ikω12 ( a )) A −eika B=−ω11 ( a )−ikω12 ( a )( ω21 ( a )−ikω 22 ( a) ) A −ike ika B=− ω21 ( a)−ikω22 ( a ){}(15)Таким образом, для определения коэффициентов отражения и просачивания намдостаточно найти значение фундаментальной матрицы при x=a , т.е.
в крайней точкеинтервала интегрирования системы (2). Построение явного решения Y ( x ) потребуетпостроения явного вида фундаментальной матрицы. Это не представляется возможным,поэтому мы воспользуемся численным методом для вычисления приближённых значенийΩ( x ) во внутренних точках отрезка x ∈[ 0 ;a ] .3. Построение численного решения.Разобьём отрезок x ∈[ 0 ;a ] на M равных отрезков вида [ x j ;x j+1 ] , гдеax j= jM, j= 0, M .
На каждом из отрезков аппроксимируем функцию n( x )a1a~x j = ( j+ )h=~~n(x)=n(x)M2 . Примем шагM , тогдаjпостоянной, гдеh~n ( x )=h⋅j+2 . Тогда на [ x j ;x j+1 ] матрица A ( x ) в уравнении (8) будет неhA j ( x ) =A( x j + )2 . Тогда на [ 0 ;h]переменной, а постоянной. Будем считатьD0 hD1 h D0 h[0 ; 2 h ]ee ⋅eрешением будет, наи т.д. Таким образом,фундаментальная матрица может быть найдена по формуле.MΩ(a )=∏ e A hj(16)После этого из системы (15) определяются коэффициенты A и B . Дляанализа корректности полученных результатов воспользуемся законом сохранения22энергии в форме |A| +|B| =1 . При численном решении строгое равенство перейдёт вj= 1приближённое.
Для построения функции Y ( x ) нужно найти её значения в узловыхточках, а затем выполнить интерполяцию. Для нахождения значения в точке x= ¿ ¿воспользуемся указанным выше алгоритмом, но не на отрезке [0 ;a ] , а на отрезке[ 0, ¿ ¿ .4. Исходные данные.При решении конкретной задачи были использованы следующие исходныеданные:k 5, a 2 25 , x 0; 25 3 x , 0<x<1;n( x ) 2 4( x 1.5) 27 , 1 x<2; 25 , x 2.5. Реализация метода.Для численного решения задачи и наглядного представления результатов на языкес++ была написана программа, в которой реализованы класс матрица,комплексные числаи операции над ними. Сначала вычисляются значения Ω( a ) ,A,Bи точек дляпостроения графика, а затем строятся вl графики мнимой и действительной частейY ( x ) .
Полный текст программы см. в приложении.Функция нахождения матричной экспоненты:m2x2 m2x2::matr_exp(double x1, double x2){m2x2 result,E,temp(*this);double delta=x2-x1;double n2=1.0/2,n3=1.0/6,n4=1.0/24;result=E+temp*delta+temp*temp*delta*delta*n2+temp*temp*temp*delta*delta*delta*n3+temp*temp*temp*temp*delta*delta*delta*delta*n4;return result;}Функция нахождения Ω( x ) :m2x2 m2x2::fundametnal_matr(double a, double b, int N){m2x2 result, temp(*this);double h=abs(a-b)/(N);double xi=h/2;for(int i=0;i<N;i++){temp.set_A(xi);result=result*temp.matr_exp(xi-h/2,xi+h/2);xi+=h;}return result;}Функция вычисления значения искомой функции в серии точек, достаточной дляпостроения графика и записи этих значений в файл:Procedure MakeGrFile(a:real;Am:comp;N:integer); //Создание файла созначениями для графикаvarx,h:real;f,f_:textfile;j:integer;oyim,oyre:real;omx:matr;g,ed,om1,om2,ed1:comp;begined.re:=1;ed.im:=0;om1.im:=0;om2.im:=0;ed1.im:=k;ed1.re:=0;assignfile(f,'dotsre.txt');assignfile(f_,'dotsim.txt');rewrite(f);rewrite(f_);h:=a/N;x:=0;for j:=0 to N-1 dobeginomx:=FindOmega(x,1000);om1.re:=omx[1,1];om2.re:=omx[1,2];g:=plusc(CMult(om1,plusc(ed,Am)),CMult(om2,CMult(ed1,minusc(ed,Am))));oyim:=g.im;oyre:=g.re;writeln(f_,oyim:5:5);writeln(f,oyre:5:5);x:=x+h;end;closefile(f);closefile(f_);end;6.
Результаты.При решении задачи с учётом условий, указанных в пункте 4, были полученыследующие результаты:При числе разбиений 600:1)A =- 0.019521 + 0.0019084iB =0.930281 + 0.366323iA2 + B 2 =12)Графическое представление решения.Y1.21.080.960.840.720.60.480.360.240.12X0-0.12-0.24-0.36-0.48-0.6-0.72-0.84-0.96-1.08-1.20.1 0.20.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.911.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92При числе разбиений 800:1)A =- 0.0195206 + 0.00190847iB =0.930281 + 0.366323iA2 + B 2 =12)Графическое представление решения.Y1.21.080.960.840.720.60.480.360.240.12X0-0.12-0.24-0.36-0.48-0.6-0.72-0.84-0.96-1.08-1.20.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.8 0.911.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92При числе разбиений 1000:A =- 0.0195205 + 0.0019085i 1)B =0.930281 + 0.366323iA2 + B 2 =12)Графическое представление решения.Y1.21.080.960.840.720.60.480.360.240.12X0-0.12-0.24-0.36-0.48-0.6-0.72-0.84-0.96-1.08-1.20.1 0.20.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.911.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92II8.
Метод последовательных приближений.Известно, что решение уравненияd2 udx 2 +k2u=f(x) (19)на всей числовой прямой - x приходящих из бесконечности, имеет видудовлетворяющее условию отсутствия волн,∞∫ G( x, x 1 )f ( x 1 )dx 1u(x)= −∞где G(x, x1) - функция Грина: решение той же задачи с правой частьюf(x) = ( x – x 1 ).Для уравнения (19) с постоянным коэффициентом k2 функция Грина выписывается вявном видеi k | x − x 1|e2 ikG(x,x1)=(20)Следовательно, решение уравнения (19) выписывается в явном виде:∞ i k |x − x1|u(x)=∫−∞ e 2ikf (x1 )dx 1. (21)Перепишем уравнение (1) в эквивалентной формеd 2u k 2u (k 2 n( x))u ( x).2dx(22)Тогда, согласно (21), решение уравнения (22) с правой частью (k2 - n(x))u(x)выписать в виде∞u(x)=∫ei k |x − x1|2ik−∞(k 2 - n (x 1 ))u( x 1 )dx 1.
(23)Так как (k2 - n(x)) 0 при x 0, и при xзаменяется интегралом в конечных пределахau(x)=∫ei k |x − x1|2 ikможно a , то несобственный интеграл в (23)(k 2 - n ( x 1 ))u( x 1 ) dx 1.(24)Раскрывая модуль в показателе экспоненты для x 0 и для x a, получим, что0ae−i k x∫ ei k x ( k 2 - n(x 1 ))u( x 1)dx 12ik0u(x)=для x<0,(25)иaei k x∫ e− i k x (k 2 - n ( x1 )) u( x 1 )dx 12ik0u(x)=для х>a(26)Следовательно, решение (24) содержит лишь волны, уходящие в - −iωtзависимость решения от времени выбрана в виде e).11и в (еслиikxeНо исходная постановка задачи содержит также единственную волну,приходящую из - .ikxЕсли взять сумму полей (24) и e, то получим представление для полного поля вовсей области - x a∫u(x)=ei k |x − x1|2 ik0(k 2 - n ( x 1 ))u( x 1 ) dx 1eikx.(27)В сокращенных обозначениях это уравнение записываеся в видеu = Au + f.a∫e(28)i k |x − x1|2 ik(k 2 - n ( x 1 ))u( x 1 ) dx 1Здесь А – интегральный оператор 0, действующий нафункцию u(x).Нетрудно убедиться, что функция u(x), представленная в виде (27), удовлетворяет всемусловиям исходной задачи.
Действительно, правая часть (27) удовлетворяет уравнениюd2 udx 2 + k2u =0вне слоя [0, a] , и уравнению2d udx 2 + n(x)u = 0внутри этого слоя, благодаря свойствам функции Грина (20) . Краевые условия (2) такжевыполняются, что проверяется непосредственно.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
