Египетский счет (835792), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Я тоже должен покинуть вас. Надеюсьвы не будете скучать. И не забудьте, в понедельник утромподнимаем паруса!Комментарии, вопросы и задачиЕгипетский счет19 ⇔ 23 1) Результат деления из задачи этого параграфаможно представить в виде1 625 : 22 = 7319.222) Деление можно было продолжить следующим образом:1 625 : 221 6251 4081221762441 5844882281761 6061635211327041 617641 4085.5121418111 622.55.52.75Тогда 1 625 : 22 ≈ 64 + 8 + 1 +12+14= 73.75.Расчет на калькуляторе даст: 1 625 : 22 ≈ 73.8636.223) Хотя древние египтяне обращались с дробными числаминесколько иначе, египетский счет вполне годится и длянахождения произведений десятичных дробей:21.72 × 22.1 = 221 × 2.172.2212.17212.172278.01624.344139.00848.68834.752817.37617.3761634.7528.6883269.5042.17264139.008480.012128278.016Таким образом, 21.72 × 22.1 = 480.012.В левом столбце таблицы число 221 разложено по степеням 2, т.
е. 221 = 1 + 4 + 8 + 16 + 64 + 128, что равносильноего представлению в двоичной системе:22110 = 27 + 26 + 24 + 23 + 22 + 20 = 11 011 1012 .Аналогично можно выполнить и операцию деления однойдесятичной дроби на другую.КОММЕНТАРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ234) Попробуйте выполнить умножение и деление однихи тех же чисел сначала привычным методом «в столбик»,затем, применив египетский счет. Сравните величины времени, затраченного на вычисления по каждому методу.Гири Толстяка Додо21 ⇔ 251) Если в вашем распоряжении имеется наборгирь {1, 2, 4, 8, 16, .
. .}, любое целое значение веса можнооднозначно задать их комбинацией. Достаточно записатьзначение веса в двоичной системе и за каждую единичкупоставить гирю веса, равного весу ее разряда. При этомвсе гири будут стоять на чаше, уравновешивающей груз.2) Если разрешено ставить гири на обе чаши весов, задачулучше описывает другая математическая модель. Разложим число, равное весу груза, в троичную систему счисления. Как мы знаем из теории, такое разложение единственно. Запись -разрядного числа в троичной системе имеетвид −1 3−1 + −2 3−2 + .
. . + 1 3 + 0 , где ∈ {0, 1, 2}, = 0, 1, . . . , − 1. Теперь перейдем к троичной записисо множеством цифр {0, 1, −1}. В любом месте записи2 · 3 можно заменить на −3 + 3+1 . Заметим также, что3 + 3 = 2 · 3 = −3 + 3+1 . Договоримся в записи числацифру −1 обозначать 1.
Тогда 2 = 11, 22 = 112 = 101.24Например, 14210 = 12 0213 = 12 1113 = 21 1113 = 111 1113 .Таким образом, чтобы взвесить груз в 142 фунта, надо насвободную чашу весов поставить гири весом 243, 9 и 1,а на чашу с грузом (отрицательный вес) 81, 27 и 3. Задача подробно разобрана в книге Депмана [4, с. 37–38].3) Взвесьте грузы массой 9, 10, 21 и 27, используя сначалапервый, а затем второй из рассмотренных наборов гирь.4) В Советском Союзе находились в обращении бумажныекупюры достоинством в 1, 3, 5, 10, 25 и 50 рублей. Вопрос: какой набор из 5 купюр лучше обеспечит платежибез сдачи в сумме от 1 до 49 рублей: {1, 3 , 5, 10, 25} или{1, 2 , 4, 8, 16}? Оказывается, ответ не так уж очевиден.На этот раз мы разрешим иметь каждую купюру в любомколичестве, как и должно быть в жизни.
Существовавшийнабор обеспечивал выплату без сдачи не более чем 4 купюрами любой суммы, кроме 42, 44, 47 и 49 руб. А набориз степеней 2 позволяет 4 купюрами выдать любую сумму,кроме 31, 39, 43, 45, 45 и 47 руб. Но главное преимуществосуществовавшего набора в том, что он лучше обслуживалсуммы, кратные 10. Однако, как сказал бы сейчас Большой Сэм, мы отклонились от курса.КОММЕНТАРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ25Рассказ матроса Бена23 ⇔ 26 1) Шахматы появились примерно 3 тыс. лет назад в Индии. Существует несколько вариантов легенды обих изобретателе, которые расходятся в деталях: кто былправитель, кем был изобретатель и какие были зерна? Этирасхождения не затрагивают сути легенды.2) Вес одного пшеничного зерна равен 0.065 грамма.
Тогдавес 18 446 744 073 709 551 615 зерен составит около 1 200миллиардов тонн.3) Аналогичная задача родом из Древнего Рима. Цезарьспросил храброго полководца, вернувшегося в Рим послекровопролитных сражений, какую награду за службу тотхотел бы получить. Полководец запросил слишком большую сумму, с которой Цезарю не хотелось расставаться.И тогда он предложил воину забрать награду в казначействе самому следующим образом: в первый день длянего будет отлита золотая монета весом в 1 грамм, вовторой – 2 грамма.
Далее каждый день – вдвое больше,чем в предыдущий. И продолжаться так будет до тех пор,пока полководец может сам уносить монеты. Полководецобрадовался. Но оказалось, что уже 17-я монета весила65.536 кг и, скорее всего, она стала последней, которую герой мог вынести самостоятельно, ибо следующая монета26весила уже 131.072 кг. В таком случае полководец вынесвсего 131.071 кг золота.Тайна жрецов25 ⇔ 28 1) Систему точек и линий (ребер), соединяющихнекоторые пары точек, в математике называют «графом»,а сами точки – «вершинами графа».
Если существует путь,соединяющий любые две вершины графа, граф называютсвязным. Простым циклом называют путь (маршрут), начальная и конечная точки которого совпадают, а ребра, покоторым проходит путь, ни разу не повторяются. Связныйграф без простых циклов называют «деревом» (рис. 1а).Рис. 1.Лабиринт2) Маршруты движения между «кирпичиками» (рис. 1б)принадлежат некоторому графу с циклами.3) Если в наборе «∘∙∘∙∙» белые бусины обозначить нулем,КОММЕНТАРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ27а левые – единицей, маршрут можно записать в виде 01011(см.
рис. 1а). Тогда для записи обратного пути надо сначала записать двоичный код в обратном порядке: 11010,а затем инвертировать его: 00101. Тогда 0 по-прежнемубудет означать поворот «налево», а 1 – «направо».4) Всегда ли можно обойти все вершины «дерева» за конечное время? Разумеется, мы говорим о конечном графе.Всегда. Для этого можно применить, например, следующую простую стратегию: при обходе все время держатьсярукой за левую стенку тоннеля.5) Пусть в каждой точке разветвления тоннель делитсяна тоннелей.
Тогда маршрут можно представить цепочкой 1 2 3 . . . , где – количество ребер графа, которыепредстоит пройти, ∈ {0, 1, . . . , − 1}, каждая цифра указывает номер тоннеля при отсчете слева, на которыйнадо свернуть, = 1, 2, . . . , . Как найти последовательность цифр, определяющую обратный путь? Записав последовательность { } в обратном порядке и заменив всецифры их дополнениями до − 1, мы получим последовательность 1 2 3 . . . , в которой = − − .
Например,если = 6, исходную цепочку 20511245 мы для описаниямаршрута обратного пути заменим на цепочку 01344053.6) Последовательность нулей и единичек иногда называют «битовой цепочкой». Можно ли посредством битовой28цепочки однозначно задать маршрут в произвольном графе, т. е. графе, из любой вершины которого может выходить произвольное, в общем случае разное число ребер?Если можно, то как на основании этой цепочки описатьобратный путь?Мартингейл26 ⇔ 301) Стратегию, основанную на последователь-ном удвоении ставки, с середины XVIII в. стали называть «мартингейлом». Легенда об изобретателе шахматиллюстрирует тот факт, что мартингейл «по карману»только состоятельному игроку.
Однако на свете встречаются обладатели огромных состояний. Такой клиент может разорить заведение. Именно поэтому в 20-х годах прошлого столетия игорный дом Монте-Карло запретил удвоение ставки более 12 раз подряд. Альберту Эйнштейнуприписывают утверждение: «Рулетку может одолеть игрок с несметным капиталом в игре, длящейся вечность».Таким образом, успех юнги Элвина неочевиден.2) Знакомому с теорией вероятностей читателю предлагаем следующую задачу. Некто испытывает удачу в многократно повторяющейся игре, в которой вероятность выигрыша равна 0.1.
То есть при одном испытании игрокКОММЕНТАРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ29располагает всего одним из десяти шансов на выигрыш.Какова вероятность того, что выигрыш наступит не далее чем на 13-й попытке? Если вероятность выигрыша приодном испытании = 0.1, вероятность проигрыша равна = 1 − = 0.9. Вероятность проиграть 13 раз подряд 13 ≈ 0.254. Тогда вероятность выигрыша хотя бы в одномиз 13 испытаний 1 − 13 ≈ 0.746.
Значит, игру, в которойвероятность не на нашей стороне, иногда можно заменитьболее сложной игрой, в которой вероятность уже на нашейстороне. Однако человек с небольшим состоянием можетразориться и там, где вероятность на его стороне.3) Обозначим проигрыш цифрой 0, а выигрыш 1, тогдалюбая реализация игры из предыдущего пункта описывается одной из цепочек бит:раз⏞ ⏟1, 01, 001, . . . , 0 . . . 0 1, . .
.Найти математическое ожидание выигрыша в этой игре,если после каждого проигрыша игрок удваивает ставку,а выигрыш равен двум ставкам.Вместо эпилога28 ⇔ 34 «Почему снова пираты?! Неужели нет настоящих героев?!» – воскликнет придирчивый читатель. Но кто в детствене играл в пиратов? И уже потому хочется заступиться за морских разбойников.ВXVIIв. понятия «пират» и «море-плаватель» были почти тождественны.Купцы при случаенепрочь были поживиться грабежом, а пираты нередко поступали на службу в королевский флот. Губернаторы английскихи французских островов Вест-Индии выдавали за вознаграждение грамоту, в которой указывалось, на какие корабли и колонии имеет право нападать ее обладатель и в каком порту должен сбывать краденое. На островах Тортуга и Гаити пиратыотдавали 10 % добычи французскому губернатору, а с Ямайки1доля добычи поступала верховному лорд-адмиралу Англии101и– королю. Здесь прославился Порт-Ройал, располагавший15ся на западном конце длинной и узкой косы Палисадос, южнойграницы гавани Кингстон.
Основанное испанцами в 1518 г. какКагуэй, при англичанах это поселение стало столицей Ямайкии одновременно столицей пиратов Карибского моря, а такжекрупным центром работорговли. Благодаря изобилию питейных заведений и всевозможных притонов, Порт-Ройал заслужил титул «пиратского Вавилона». Но 7 июня 1692 года после сильнейшего землетрясения, сопровождавшегося цунами,ВМЕСТО ЭПИЛОГА312города ушло под воду.
Погибло более 5 тысяч человек. В га3вани затонуло 50 кораблей. После этого колониальная администрация перенесла столицу Ямайки в небольшую деревушкуКингстон на противоположном берегу залива.А что представлял собой королевский флот?На службес матросами обращались, как со скотом. Часть экипажей составляли люди, силой захваченные на берегу, которых держалина положении рабов. На время пребывания корабля в портуих закрывали в трюме. Положение пиратов было лучше. Всеважные вопросы они решали на общем собрании. В частности,избирали и снимали с должности капитана.
В случае увечья(потеря руки, ноги) пират получал разовую компенсацию, которая позволяла ему начать на берегу свое дело.Лучше ли жилось в Европе?В течение века здесь шли из-нурительные войны, общее количество убитых и раненых в которых превысило 2 млн человек: войны против Франции с участием Австрии, Испании, Голландии, Швеции, Дании, Англии,Савойи и Бранденбурга; войны Турции с Россией, Австрией,Венгрией, Польшей и Венецией. При этом во Франции на дуэлях гибло дворян еще больше, чем на войнах. Пока воевали короли, неустанно трудилась святая инквизиция, которая в этотславный век отправила на костры более 100 тыс. одних только ведьм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
