Проников А.С. 1995 Т.2 Ч.1 (830965), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Модели для определения тепловых смещений шпинделя представляют собой функции разности температур ЛО®(т) характерных тепловых точек, изменякациеся во времени. Например, для ШУ станка, установленного в корпусе коробчатой формы на направляющих, модели для прогнозирования тепловых смещений выглядят следующим образом: Выражение '(3.3) дает возможность при заданной жесткости выбрать основные размеры шпинделя 0, а и Ь; суммарную податливость рассчитывают по известным значениям Р (определяемым режимами нагружения) и регламентированным значениям смещения у, переднего конца шпинделя (определяемым нормами точности); величины У.
и У~ зависят только от диаметральных размеров шпинделя; величины ~, ~~ и ~~ — от выбранного типа и конструкции опор. Выбрав величины В передней шейки и а консоли с учетом имеющих место конструкционных и критериальных ограничений (см. п.3,2), определяют величину Ь„, межопорного расстояния исходя из условия обеспечения максимальной жесткости (минимума суммарной податливости) сКС,/д(Ь/а) =О. Это соответствует решению выражения (3.3) без учета защемления в опорах (~=О): ля, где параметры выражены вектором Уз. В результате имеем матрич- ное уравнение без учета внешней нагрузки П ~0~ (3 4) где переходная матрица П для примера, показанного на рис. 3.16, представляет собой произведение П= ~3~.13й2~121~1~-~1~0, где б0 и бз — матрицы сосредоточенных масс в сечениях 0 и 3; $31, $32, $3з — матрицы 1 — 3-го участков шпинделя с распределенной массой; Й1 и К2 — матрицы линейно-упругих опор шпинделя с вязким демпфированием.
При учете внешней нагрузки в сечениях О и 3 уравнение (3.4) принимает вид Уз= П (70 — $0) — 8З, где 80 и Ьз — матрицы-столбцы внешней нагрузки; О О О О ~0= О ~ ~3= О ° ЕЯ ЕУ УЗ ЧЗ~ О О Уо 'Ро~ О р «з Ю' ф ОЗ1 ~З2 ~ «~З4 (3.6) В матрице П из 16 элементов сохраняются только шесть, которые стоят на пересечении строк, совпадающих с нулевыми строками матрицы Ъз, и столбцов, совпадающих с неравными нулю строками матрицы (70 — 80). После этих упрощений из матричного уравнения (3.6) удает- Определение переходной матрицы П сводится к перемножению нескольких матриц размером 4Х4. Обычно на концах шпинделя два из четырех ~параметров в матрицах-столбцах У0 и Уз равны нулю, что позволяет сущес*венно рационализировать вычислительную работу за счет сохранения в переходной матрице П только части элементов, что будет показано ниже на примерах вычисления частотной передаточной функции К.
Вычисленные значения вектора У0 дают возможность оценить перемещения переднего конца шпинделя. Подбором величин с1,2 и й1,2, входящих в матрицу опор, а также величин «1 з и я, как правило, удается минимизировать значения перемещения у0 переднего конца шпинделя и уложиться в регламентированное значение 1у0~. Из уравнения (3.5) могут быть одинаково легко получены выражения для частотных передаточных функций ШУ: к0 — по воздействию со стороны процесса резания (при ьз=О); В'з — по воздействию со стороны привода (при 80=0). При вычислении передаточной функции К0 из общего уравнения (3.5) получаем Уз=П(70 — 80) или при записи в развернутом виде 'Рис.
3.18. Прогнозирование тепловых смещений шпинделя: а — ШУ шлиФовального станка; 6 — расчетная схема оез планшайоы и круга; в — схема дискретиаацни на конечные элемейты и контур деФормированного шпинделя (д — источники тепла; а ~ — коэФФициенты теплоотдачи] крупности реализаций для каждого параметра точности при варьировании частоты вращения и шпинделя. На базовом станке каждая реализация фиксируется при конкретном значении а и является функцией времени. Аппроксимацию функций и выбор коэффициентов полинома для каждого конкретного значения и производят с помощью подпрограммы аппроксимации функций с применением метода наименьших квадратов, причем коэффициенты полинома вычисляют с использованием сингулярного разложения матрицы.
Отсчет времени целесообразно производить в часах. При отсчете в минутах необходимо произвести нормирование массива Т значений аргумента ~, так как в большинстве случаев значения переменной т располагаются в интервале от О до ЗОО мин (и более), а ',для успешной работы подпрограммы сингулярного разложения желательно, чтобы значения массива Т были расположены в пределах от — 3,5 до 3,5. Это связано с тем, что при оперировании со степенями достаточно больших чисел в процессе вычислений накапливаются погрешности, которые могут сильно исказить результат.
Нормирование выполняют с использованием зависимости Тнорм= ('С вЂ” СН) ~Х~. Оценка параметрического отказа ШУ при тепловых процессах. В весьма распространенном случае, когда цикл обработки детали соизмерим со временем максимальных тепловых смещений шпинделя, прогнозирование точности узла во времени, т. е. оценка его параметрической надежности, особенно важна. Достаточно компактные решения при прогнозировании параметрической надежности возможны в случаях построения математической модели параметрического отказа ~2Ц.
На рис. 3.20 приведена схема формирования параметрического отказа при тепловых смещениях шпинделя, позволяющая получить ма-тематическую модель отказа при исходнь1х положениях, которые -имеют место на практике в абсолютном большинстве случаев. 1. Первоначальное рассеяние исследуемого параметра хо шпинделя подчиняется нормальному закону распределения с характеристиками области состояний: х~ — среднее значение, а„— среднее квадратическое отклонение. Характеристики были получены по результатам .натурных испытаний достаточно представительных выборок. 2.
Изменение выходного параметра х во времени в результате -тепловых процессов подчиняется экспоненциальному закону: х(т) =А~1 — ехр ( — т/Т) ~, (3.13) тде А — установившееся значение '(при т- оо) теплового смещения .шпинделя при конкретном сочетании действующих факторов; Т вЂ” постоянная времени узла. (Могут иметь место другие законы изменения рассеяния начальных параметров и законы изменения выходных параметров точности.) 3. Рассеяние параметра А, входящего в выражение (3.13), подчи.'няется нормальному закону распределения с характеристиками А (среднее значение) и а~ (среднее квадратическое отклонение). Такое предположение справедливо потому, что основная причина появления А как случайной величины заключается в рассеянии значений установившихся тепловых смещений шпинделя, которые зависят от большого числа случайных факторов.
Аргументом функции А=~(Р, ~, 1, 1/С, 1/т) в том числе является мощность Р источника тепловыделений в узле. Величина Р для всех типов опор является функцией вязкости р смазочной жидкости и частоты вращения шпинделя и, кроме того, в опорах качения — функцией зазора-натяга, а в гидростатических и гидродинамических опорах — функцией рабочего зазора Ь. Величины р, и, Л являются случайными, что приводит, как правило, к нормальному закону распределения установившихся значений А тепловых сме,щений шпинделя.
Коэффициент линейного расширения ~, характерный размер удельная теплоемкость С и масса т, входящие аргументами в функцию А, а также коэффициент теплоотдачи а~ и площади А теплоот,дачи, входящие в функцию Т=~(С, и, 1/а~, 1/А ), в первом приближении справедливо полагать величинами постоянными.
С течением времени дисперсия О„выходного параметра и матема-тическое ожидание М„растут, поскольку происходит вероятностное -сложение начальных отклонений параметра точности и его изменений :в результате нагрева. Так как оба эти закона подчиняются нормальному распределению, то согласно теории вероятностей результирующее распределение для центрированных законов также будет нормальным. Характеристики закона распределения, описывающего изменение выходного параметра х шпинделя при нагреве, через' промежуток времени т будут иметь вид: математическое ожидание М(х) =хо+А~1 — ехр ( — т/Т) К среднее квадратическое отклонение а (х) = 1/ а', + а'„[1 — ехр ( — т/Т)]х. Эти характеристики и определяют область состояний параметра х через промежуток времени т. Выход области состояний за пределы области работоспособности, определяемой значением ~х~, приводит к параметрическому отказу.
Вероятность отказа Р(т) будет численно равна площади под кривой ~(х), находящейся за пределами ~х1, а вероятность безотказной работы РЯ численно равна площади под кривой ~(х), находящейся внутри области работоспособности х-Ях). Поскольку кривая ~(х) подчиняется нормальному закону распределения, то площади, соответствующие РЯ и Р(т), определяем, пользуясь нормированной функцией Лапласа Ф,: ~х~ — х,— А ~1 — ехр ( — ~/Т)1 ]/ о~~ + оА (1 — ехр ( — т/ Т )]' (3.14) и соответственно Р(т) =1 — Р(т). Прогноз вероятности Р(т) безотказной работы ШУ по выходному параметру х за заданный период времени ~ осуществим, так как все величины, входящие в выражение (3.14), известны: ~х1 — задается техническими условиями исходя из требований точности обработки; хо и о„, получены в результате натурных испытаний прототипа; А и о получены путем статистического моделирования теплового процесса.
Если заранее установлена вероятность безотказной работы Р(т), то может быть определено время т=Тр, в течение которого обеспечи-- вается работа ШУ с заданной безотказностью. Выражение (3.14) позволяет определить вероятность безотказной работы для каждого из 1 регламентированных параметров. Так как в'- большинстве случаев эти параметры независимы, то вероятность безотказной работы ШУ с учетом изменения всех регламентированных параметров составляет Р (т) = П Р, (т).
Принимая ряд регламентированных значений т в пределах возможной продолжительности работы узла (например, в пределах цикла обработки одной детали), строят зависимость для Р(т) в функции т и оценивают ресурс узла по точности с учетом тепловых процессов. 3.4. Опоры качения Конструкции. Совокупность свойств подшипников качения определила их широкое применение в ШУ станков. Постоянное возрастание требований к характеристикам ШУ приводит к совершенствованию опор. Конструкции'подшипников качения, применяемых в современных ШУ станков, показаны на рис. 3.21. Применение прецизионных конических роликоподшипников (рис. 3.21, а — в), цилиндрических роликоподшипников (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
