1612725362-9fa1b98a71f663117aee661c2de6c134 (828888)
Текст из файла
Êðèòåðèè ñîãëàñèÿÏóñòü èìååòñÿ âûáîðêà X1 , . . . , Xn èç íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F . ÏóñòüF1 íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå. Êðèòåðèè, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïðîâåðêè îñíîâíîé ãèïîòåçû H1 = {F = F1 }, íàçûâàþòñÿ êðèòåðèÿìè ñîãëàñèÿ. Àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé ÷àùå âñåãî ÿâëÿåòñÿ H2 = {F 6= F1 }. Èíîãäà â êà÷åñòâå H1âûñòóïàåò òîæå ñëîæíàÿ ãèïîòåçà.Ïóñòü çàäàí íåêîòîðûé ôóíêöèîíàë d(Fn∗ , F1 ), îáëàäàþùèé ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ïî çàäàííîìó ε ìîæíî íàéòè c òàêîå, ÷òîèëèPH1 {d(Fn∗ , F1 ) > c} = εlim PH1 {d(Fn∗ , F1 ) > c} = ε.n→∞Çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà d(Fn∗ , F1 ) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäóýìïèðè÷åñêèì è ïðåäïîëàãàåìûì òåîðåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì.Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ (àñèìïòîòè÷åñêîãî) ðàçìåðà ε, îñíîâàííûé íà ôóíêöèîíàëå d, ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: êðèòåðèé îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó,åñëè äëÿ äàííîé âûáîðêè çíà÷åíèå d(Fn∗ , F1 ) ïðåâîñõîäèò c.Åñëè d(Fn∗ , F1 ) ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè n → ∞, êàêòîëüêî ðàñïðåäåëåíèå F îòëè÷íî îò F1 , òî äàííûé êðèòåðèé ñîãëàñèÿ ñîñòîÿòåëåí.
À èìåííî, ïðè ëþáîì ðàñïðåäåëåíèè F , îòëè÷íîì îò F1 , âåðîÿòíîñòüîøèáêè âòîðîãî ðîäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.Ïóñòü ïî äàííîé ÷èñëîâîé âûáîðêå ~x âû÷èñëåíî ÷èñëî d∗ = d ~x çíà÷åíèåñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ íà äàííîé ÷èñëîâîé âûáîðêå ×èñëî~ > |d∗ |)ε∗ = PH (|d(X)|1íàçûâàþò ðåàëüíî äîñòèãíóòûì óðîâíåì çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ.
Ïî âåëè÷èíåε∗ ìîæíî ñóäèòü î òîì, ñëåäóåò ïðèíÿòü èëè îòâåðãíóòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó.Èìåííî ýòî ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðîâåðêè ãèïîòåçû â ëþáîì ñòà-Ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè ýòî âåðîÿòíîñòü, âçÿâ âûáîðêó èç ðàñïðåäåëåíèÿ F1 , ïîëó÷èòü ïî íåé áîëüøååîòêëîíåíèå ýìïèðè÷åñêîãî îò èñòèííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷åì ïîëó÷åíî ïî ïðîâåðÿåìîé âûáîðêå. Áîëüøèå çíà÷åíèÿ ýòîé âåðîÿòíîñòè ñâèäåòåëüñòâóþò â ïîëüçóîñíîâíîé ãèïîòåçû, ìàëûå â ïîëüçó àëüòåðíàòèâû.Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà. Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà X1 , .
. . , Xn èç íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F è Fn∗ (y) ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñòðîåííàÿ ïî ýòîé âûáîðêå. Ïóñòü F1 íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íåïðåðûâíîéôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F1 (y). Äëÿ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû H1 = {F = F1 }èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà Êîëìîãîðîâà√d(X1 , .
. . , Xn ) = n sup |Fn∗ (y) − F1 (y)|.òèñòè÷åñêîì ïàêåòå ïðîãðàìì.y∈RÑïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 1 (Êîëìîãîðîâà).ÅñëèF = F1 ,òî ïðèn → ∞ðàñïðåäåëå-íèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ Êîëìîãîðîâàñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿK(y) =∞X(−1)j e−2jj=−∞12 y2,y > 0.Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçìåðà ε îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëè çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà d(X1 , .
. . , Xn ) ïðåâîñõîäèò êâàíòèëü ζ1−ε óðîâíÿ 1 − ε ðàñïðåäåëåíèÿ Êîëìîãîðîâà.Êðèòåðèé Ïèðñîíà õè-êâàäðàò. Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà X1 , . . . , Xn èçíåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F è F1 íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü çàäàíêîíå÷íûé íàáîð èç k íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ ∆1 , . . . , ∆k , ïîêðûâàþùèõR. Îáîçíà÷èì ÷åðåç pj = F1 (∆j ) âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ýòè èíòåðâàëû äëÿðàñïðåäåëåíèÿ F1 è ÷åðåç νj ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â èíòåðâàë∆j .Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H1 î ñîâïàäåíèè âåêòîðà íåèçâåñòíûõ èñòèííûõâåðîÿòíîñòåé (F (∆1 ), . . .
, F (∆k )) ñ âåêòîðîì (p1 , . . . , pk ) èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà õè-êâàäðàòkX(νj − npj )22.χ (X1 , . . . , Xn ) =npjj=1Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2 (Ïèðñîíà). ÅñëèãèïîòåçàH1âåðíà, òî ïðèäåëåíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò ñëàáî ñõîäèòñÿ ê2χn → ∞ðàñïðå--ðàñïðåäåëåíèþ ñk−1ñòåïåíüþ ñâîáîäû.Êðèòåðèé Ïèðñîíà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçìåðà ε îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëè çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò χ2 (X1 , .
. . , Xn ) ïðåâîñõîäèò êâàíòèëüζ1−ε óðîâíÿ 1 − ε χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ k − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû.Êðèòåðèé õè-êâàäðàò ÷àñòî ïðèìåíÿþò äëÿ ïðîâåðêè ïàðàìåòðè÷åñêîé ãèïîòåçû F ∈ {Fθ , θ ∈ Θ ⊆ Rm }. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêèõâåðîÿòíîñòåé (p1 , . . . , pk ) çàâèñÿò îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. êà÷åñòâå îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ èñïîëüçóþò îöåíêó ïî ìåòîäóìèíèìóìà õè-êâàäðàò: θ∗ äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèèkX(νj − npj (θ))2.χ (X1 , . .
. , Xn ; θ) =npj (θ)j=12Ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ: ïðè âåðíîé îñíîâíîé ãèïîòåçå ïðåäåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñòàòèñòèêè χ2 (X1 , . . . , Xn ; θ∗ )áóäåò ðàñïðåäåëåíèå χ2k−1−m , ãäå m åñòü ðàçìåðíîñòü âåêòîðà ïàðàìåòðîâ θ.Êðèòåðèé Ôèøåðà èñïîëüçóþò â êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà â çàäà÷å ïðîâåðêèîäíîðîäíîñòè äâóõ íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âûáîðîê. Äàíû äâå íåçàâèñèìûå~ = (X1 , . . . , Xn ) èç Na , σ2 è Y~ =âûáîðêè èç íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé: X1 1(Y1 , . .
. , Ym ) èç Na2 , σ22 , ñðåäíèå êîòîðûõ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåèçâåñòíû. ÊðèòåðèéÔèøåðà ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H1 = {σ1 = σ2 }.~ è S 2 (Y~ ) íåñìåù¼ííûå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèèÎáîçíà÷èì ÷åðåç S02 (X)0n~S02 (X)m1 X(Xi − X)2 ,=n − 1 i=1S02 (Y~1 X)=(Yi − Y )2m − 1 i=12 ~~ Y~ ) êàê ρ(X,~ Y~ ) = S02 (X)/S~è çàäàäèì ñòàòèñòèêó êðèòåðèÿ d(X,0 (Y ).2Òåîðåìà 3.Ïðè âåðíîé ãèïîòåçåH1âåëè÷èíà~ Y~ )ρ(X,èìååò ðàñïðåäåëå-n − 1 è m − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Îñíîâíàÿ ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ êðèòåðèåì Ôèøåðà, åñëè ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ ïîïàäàåò â èíòåðâàë [f1 , f2 ], ãäå f1 è f2 ñóòü êâàíòèëè óðîâíåé ε/2 è 1 − ε/2ñîîòâåòñòâåííî ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà ñ n − 1 è m − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Êðèòåðèé Ñòüþäåíòà. Ïóñòü èìåþòñÿ äâå íåçàâèñèìûå âûáîðêè: âûáîðêà~ = (X1 , .
. . , Xn ) èç Na , σ2 è âûáîðêà Y~ = (Y1 , . . . , Ym ) èç Na , σ2 ñ íåèçâåñòíûìèX12ñðåäíèìè è îäíîé è òîé æå íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ2 . Ïðîâåðÿåòñÿ ñëîæíàÿãèïîòåçà H1 = {a1 = a2 }.Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ ÑòüþäåíòàrnmX −Y~ Y~ ) =.·qd(X,2 ~~n+m(n−1)S02 (X)+(m−1)S0 (Y )íèå Ôèøåðà ñn+m−2Òåîðåìà 4.Ïðè âåðíîé ãèïîòåçåH1âåëè÷èíà~ Y~ )d(X,èìååò ðàñïðåäåëå-n + m − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Êðèòåðèé Ñòüþäåíòà òî÷íîãî ðàçìåðà ε îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëè~ Y~ )| ïðåâîñõîäèò êâàíòèëü t1−ε/2 óðîâíÿ 1 − ε/2 ðàñïðåäåëåíèÿçíà÷åíèå |d(X,Ñòüþäåíòà ñ n + m − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.íèå Ñòüþäåíòà ñÇàäà÷è è ðåøåíèÿ(20.1) Èìååòñÿ âûáîðêà X1 , X2 , X3 îáú¼ìà 3. Äëÿ ïðîâåðêèãèïîòåçû î òîì, ÷òî âûáîðêà âçÿòà èç ðàâíîìåðíîãî íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóåòñÿ êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà: ãèïîòåçà î ðàâíîìåðíîñòè îòâåðãàåòñÿ, åñëèsup |F3∗ (y) − y| > 1/3.Çàäà÷à 0.1.y∈[0,1]Ñôîðìóëèðîâàòü ýòîò êðèòåðèé â ÿâíîì âèäå â òåðìèíàõ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê.
×åìó ðàâåí ðàçìåð ýòîãî êðèòåðèÿ?Ðåøåíèå.Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû âûáîðêè ñîâïàäàþò ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ, ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò òðè ñêà÷êà âåëè÷èíîé 1/3â òî÷êàõ X(1) , X(2) è X(3) . Èñòèííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) = x â ýòèõòî÷êàõ ðàâíà F (X(i) ) = X(i) . Äëÿ âûïîëíåíèÿ sup |F3∗ (y) − y| > 1/3 äîëæíîy∈[0,1]èìåòü ìåñòî õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ:à) |X(1) − F3∗ (X(1) )| = X(1) > 1/3,á) |1/3 − X(1) | > 1/3, ò.å. X(1) > 2/3,â) |X(2) − F3∗ (X(2) )| = |X(2) − 1/3| > 1/3, ò.å. ëèáî X(2) < 1/3, ëèáî X(2) > 2/3,ã) |2/3 − X(2) | > 1/3, ò.å.
X(2) < 1/3,ä) |X(3) − 2/3| > 1/3, ò.å. X(3) < 1/3,å) |1 − X(3) | > 1/3, ò.å. X(3) < 2/3.3Çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâà èç ï.(á, ã) ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè êàêîãî-ëèáî èçîñòàëüíûõ íåðàâåíñòâ. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü åñòü ñëåäóþùåå ñîáûòèå:{X(1) > 1/3} ∪ {X(2) < 1/3} ∪ {X(2) > 2/3} ∪ {X(3) < 2/3}.Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà. Óäîáíåå èñêàòü âåðîÿòíîñòüïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ:α1 = 1 − PH1 (X(1) 6 1/3, 1/3 6 X(2) 6 2/3, X(3) > 2/3) = 1 − 3! ·17= .339(20.2) Äîêàçàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà.Ðåøåíèå.
Åñëè H1 íåâåðíà, òî Xi èìåþò ðàñïðåäåëåíèå F2 , îòëè÷íîå îò F1 .PÏî òåîðåìå Ãëèâåíêî Êàíòåëëè Fn∗ (y) → F2 (y) äëÿ ëþáîãî y ïðè n → ∞. ÍîF1 6= F2 , ïîýòîìó íàéä¼òñÿ y0 òàêîå, ÷òî |F2 (y0 ) − F1 (y0 )| > 0. ÒîãäàÇàäà÷à 0.2.Psup |Fn∗ (y) − F1 (y)| > |Fn∗ (y0 ) − F1 (y0 )| → |F2 (y0 ) − F1 (y0 )| > 0.yÌû äîëæíû äîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà ïðè ëþáîì F2 6= F1ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.√√α2 (F2 ) = PF2 ( n sup |Fn∗ (y) − F1 (y)| < ζ1−ε ) 6 PF2 ( n|Fn∗ (y0 ) − F1 (y0 )| < ζ1−ε ) =y= PF2|Fn∗ (y0 )ζ1−ε− F1 (y0 )| − √<0 .nËåâàÿ ÷àñòü íåðâåíñòâà ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïîëîæèòåëüíîìó ÷èñëó, è ïî îïðåäåëåíèþ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè α2 (F2 ) → 0.(20.6) Ïðè n = 4040 áðîñàíèÿõ ìîíåòû Áþôôîí ïîëó÷èë 2048âûïàäåíèé ãåðáà è 1992 âûïàäåíèé ðåøêè.
Ñîâìåñòèìî ëè ýòî ñ ãèïîòåçîé îñèììåòðè÷íîñòè ìîíåòû?Ðåøåíèå.Ïîñòðîèì êðèòåðèé ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ìóàâðà Ëàïëàñà(ïî ñóòè ìû èñïîëüçóåì òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ïðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íîãî ÄÈ äëÿ p). Ìû ðàññìàòðèâàåì îñíîâíóþ ãèïîòåçó p = 1/2 ïðèäâóñòîðîííåé àëüòåðíàòèâå p 6= 1/2.
Áóäåì îòâåðãàòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëèPn Xi − 2 ~ > τ1−ε/2 ,|d(X)| = q11 n· · Çàäà÷à 0.3.22ãäå τ1−ε/2 êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ýòîò êðèòåPðèé, î÷åâèäíî, èìååò àñèìïòîòè÷åñêèé ðàçìåð ε. ÏðèXi = 2048 äàííàÿ ÷èñ2048−2020~ = pëîâàÿ âûáîðêà äà¼ò çíà÷åíèå d(X)≈ 0,88.4040/4Âû÷èñëèì ïðèáëèæ¼ííî ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè~ > 0,88) ≈ 2Φ(0,88) = 2 · 0,189 = 0, 378.ε∗ = PH1 (|d(X)|4Äàííóþ âåðîÿòíîñòü ñëåäóåò òðàêòîâàòü êàê âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ïî ðåçóëüòàòàì 4040 áðîñàíèé ñèììåòðè÷íîé ìîíåòû õóäøåå ñîãàñèå ñ ïðîâåðÿåìîéãèïîòåçîé, ÷åì äëÿ èñïûòàíèé Áþôôîíà.
Èíûìè ñëîâàìè, ïîëó÷èòü äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìîíåòû ÷èñëî ãåðáîâ, åù¼ áîëåå îòêëîíÿþùååñÿ îò 2020, ÷åì â ïðîâåä¼ííîé Áþôôîíîì ñåðèè èñïûòàíèé. Ïîñêîëüêó ýòà âåðîÿòíîñòü íå ÿâëÿåòñÿìàëîé, ñëåäóåò ïðèíÿòü ïåðâóþ ãèïîòåçó êàê íå ïðîòèâîðå÷àùóþ ðåçóëüòàòàìèñïûòàíèé. äàííîé ïîñòàíîâêå âïîëíå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ îäíîñòîðîííåé àëüòåðíàòèâîé p > 1/2 (õîòÿ äëÿ ýòîãî ñëåäóåò èìåòü áîëåå âåñêèå îñíîâàíèÿ î ñâîéñòâàõìîíåòû, ÷åì òîëüêî ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé).  ýòîì ñëó÷àå êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòüáóäåò îäíîñòîðîííåé, è ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè óìåíüøèòñÿâäâîå. Îí áóäåò ïîêàçûâàòü âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ïðè èñïûòàíèõ ñ ñèììåòðè÷íîé ìîíåòîé ÷èñëî ãåðáîâ, åù¼ áîëåå óêëîíÿþùååñÿ â áîëüøóþ ñòîðîíó îò 2020,÷åì 2048.Ðåøèì ýòó æå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
