Главная » Просмотр файлов » 1612726833-e6f68fc32d761b4e64266f5c195a8f96

1612726833-e6f68fc32d761b4e64266f5c195a8f96 (828578), страница 6

Файл №828578 1612726833-e6f68fc32d761b4e64266f5c195a8f96 (Лекции слайды) 6 страница1612726833-e6f68fc32d761b4e64266f5c195a8f96 (828578) страница 62021-02-07СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

x – оптимальное решение задачи. -21•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitЛЕКЦИЯ № 91. Метод ветвей и границ (МВиГ)2. МВиГ для задачи минимизации липшицевой функции на гиперкубе-1•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ (идея)Рассмотрим задачу:min{f (x)|x ∈ Q}1. Множество Q должно быть разложимым, т.е.

существует конечное разбиение на атомарные подмножества.2. Заданы функции: x(d) – "наилучшее"решение,b(d) – ветвления и H(d) – нижняя граница.H(d) ≤ min f (x)x∈d-2•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ (идея)Функция H(d) — невозрастающая, то есть такая, что H(d1) ≥ H(d2), если d1 ⊆ d2.3. Задан рекорд x0 – "наилучшее"найденное допустимое решение.-3•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦПусть к очередному шагу имеется разбиениеt1, .

. . , tL множества непроверенных решений ирекорд x0.На первом шаге имеем t1 = Q, x0 –произвольный элемент множества Q.Описание текущего шага. Проверка элементов разбиения:множество tl проверено и отбрасывается еслиили1) H(tl) ≥ f (x0),-4•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦили2) функция x(d) определена на множествеtl.причём, еслиf (x(tl)) < f (x0),то устанавливается новое значение рекорда x0 =x(tl).-5•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦЕсли отброшенными оказываются все элементы разбиения, то алгоритм заканчивает работу иx0 – решение, найденное в результате его работы.000Пусть t1, . .

. , t 0 , 0 < L ≤ L – множеLства, не отброшенные в результате проверок. Выберем среди них некоторое "перспективное"подмножество0tl .0-6•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦПрименим к нему функцию ветвления b(d), врезультате чего получим его разбиение d1, . . . , dNи в целом новое разбиение0000t1, . . . , tl0−1, d1, . . . , dN , tl0+1, . . . , tL0множества неотброшенных решений.После этого начинается следующий шаг.-7•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦКонечность алгоритма:1. На любом шаге множество непросмотренных решений – обьединение конечного числа разложимыхподмножеств.2. На каждом шаге алгоритма хотя бы один элемент разбиения либо отбрасывается, либо разбивается на подмножества, каждое из которых состоитиз меньшего числа атомарных множеств.3.

Атомарные множества всегда отбрасываются.-8•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦЧто можно сказать о полученном в результатеработы алгоритма рекорде x0?Пусть Q1 – объединение подмножеств, отброшенных по первому правилу, а Q2 – объединение подмножеств, отброшенных по второму правилу.Тогда Q = Q1 ∪ Q2.Если Q∗ ∩ Q1 6= ∅, то x0 – оптимальное решение вне зависимости от способа задания x(d).-9•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦЕсли Q∗ ∩ Q1 = ∅, то Q∗ ⊆ Q2, т.е. найдутся di такие, что Q∗ ∩ di 6= ∅, di ⊆ Q2 иQ∗ ⊆ ∪idiСлучай а).

f (x(d)) = inf f (x). Отсюда иx∈dопределения Q2 имеем, что x(di) – оптимальноерешение для любого i. Пусть d1 – первое подмножество отброшенное по условию 2. Тогда f (x0) ≤f (x(d1)).-10•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦСлучай б). f (x(d)) ≤ (1 + ε)f (x∗(d)).Отсюда и определения Q2 имеем, что x(di) – εоптимальное решение для любого i.

Пусть d1 –первое подмножество отброшенное по условию 2.Тогда f (x0) ≤ f (x(d1)) ≤ (1+ε)f (x∗(d1)).Т.е. x0 – ε-оптимальное решение задачи.-11•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦПри разработке алгоритма МВиГ необходимо конкретизировать следующие элементы общей схемы:– атомарные множества решений;– способ задания подмножеств решений;– функцию ветвления;– способ вычисления нижней границы;– функцию выбора наилучшего решения;– правило выбора перспективного элемента разбиения.-12•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границРассмотрим задачу, в которой целевая функцияудовлетворяет условию Липшица.Ограничимся задачей минимизации на гиперкубе: f (x) −→ inf x∈Q, где Q = {x =(x1, . .

. , xn) : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, . . . , n}Соглашения:|f (x)−f (y)| ≤ Lkx−yk∞ для всех x, y ∈ Q,(21)где L = const > 0 – константа Липшица,-13•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границkx − yk∞ = max |xi − yi|.1≤i≤nИз (21) =⇒ функция f – непрерывна и, следовательно, достигает минимального значения f ∗ нагиперкубе.Выберем на отрезке [0, 1] (оси j) следующиеточкиh 2i +h, . .

. ,1=xxj = , xj = x1j +h, . . . , xi+1jj2-14•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границ1 + (m − 1)h, 1},. . . , xm=max{xjjгде h = 2εL – шаг сетки, а m – подходящее натуральное число.На гиперкубе Q введем сеткуiji1 i2i...in1Qh = {x= (x1 , x2 , . . .

, xj , . . . , xinn )},ijгде j-ая координата xj принимает одно из следу-ющих значенийx1j , x2j , . . . , xmj .-15•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границПустьFh = min f (xi1...in ).QhТеорема 16. Для любой функции f (x), удовлетворяющей условию Липшица (21), справедлива оценкаf ∗ ≤ Fh ≤ f ∗ + ε.(22)Доказательство. МножествоonhQi1...in = x ∈ Rn : kx − xi1...in k∞ ≤2-16•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границ– гиперкуб с центром в точке xi1...in (грани параллельны осям координат, длина рёбер – h).Для любой точки x ∈ Q найдется гиперкубQi1...in , содержащий эту точку =⇒f (x) ≥ f (xi1...in ) − Lkx − xi1...in k∞ ≥h≥ Fh − L = Fh − ε =⇒2Имеем f ∗ ≤ Fh ≤ f ∗ + ε.

-17•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границРассмотрим произвольный гиперкуб Γ[xc, h] с центром xc и длиной стороны h:nohΓ[xc, h] = x ∈ Rn : kx − xck∞ ≤.2Очевидно, что ∀ x ∈ Γ[xc, h]:f (x) = f (x)−f (xc)+f (xc) ≥ −Lkx−xck∞++f (xc) ≥ f (xc) − Lh/2.-19•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границЕстественно, тогда определить нижнюю границу нагиперкубе Γ[xc, h] равенством H(Γ[xc, h]) =f (xc) − Lh/2.Функцию выбора наилучшего решения определим на г.-кубах со стороной h (играют роль атомарных множеств решений) не превосходящей 2εL,положивx(Γ[xc, h]) = xc.Подмножества решений будем задавать в виде набора гиперкубов.-21•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границНа первом шаге имеем t1 = Γ[xR, ∆], гдепервый рекорд xR – центр г.-куба со стороной ∆R =∆.Пусть к очередному шагу имеется разбиениеt1 = Γ[x1, h1], .

. . , tL = Γ[xL, hL]и рекорд xR – центр г.-куба со стороной ∆R.Очередной шаг начинается с проверки гиперкуба с номером l. Он считается проверенным и отбрасывается, если выполняется одно из следующихусловий:-22•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границ2εL.1) H(Γ[xl, hl]) ≥ f (xR),2) сторона г.-куба hl не превосходит величиныПри этом, если реализуется второй случай иf (xl) < f (xR),то устанавливается новое значение рекорда xR =xl и величины ∆R = hl.Дополнительное правило:-23•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границСлучай 1. (Текущий рекорд хуже )Если f (xl) < f (xR), тосреди оставшихся гиперкубов разбиения отбрасываем те, которые содержаться в г.-кубеR) − f (xl ))2(f(xΓ[xR,].LПо определению нижней границы имеем ∀x ∈Γ[xc, h] неравенство f (x) ≥ H(Γ[xc, h]) =f (xc) − Lh/2.-24•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границПоэтому для любой точки x из данного г.-кубаимеемR) − f (xl ))2(f(xf (x) ≥ H(Γ[xR,]) =LR) − f (xl ))2(f(xL= f (xl).= f (xR) − ×2LСлучай 2.

(Текущий рекорд лучше)Если f (xR) ≤ f (xl), то среди оставшихся-25•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границгиперкубов разбиения отбрасываем те, которые содержаться в г.-кубеl ) − f (xR))2(f(xΓ[xl,].LТ.к. для любой точки x из данного г.-куба имеемf (x) ≥ f (xR).Если отброшены все элементы разбиения, тоалгоритм заканчивает работу и xR – требуемоерешение.-26•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границЕсли есть неотброшеные множества, то выбираем "перспективное"подмножество Γ[xl, hl]. Функция ветвления b(·) разбивает его на 2n одинаковых подкубов со стороной h2l .После этого начинается следующий шаг.-27•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitМетод ветвей и границЗамечание.

Если в процессе работы алгоритма не происходит смены рекорда по правилу 2, то полученный рекорд – оптимальное решение задачи. В противном случаеε приближенное решение.-28•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitЛЕКЦИЯ № 10Методы штрафов1. Метод внешних штрафов2. Метод внутренних штрафовЧисленные методы НЛП3. Методы спуска и градиентные методы4. Метод Ньютона5.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,43 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее