1612726871-fd1970eb57207f2e4883f7549db906ce (828573), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Çäåñü è äàëååçàïèñü ”i = 1, n” ñëåäóåò ÷èòàòü "äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , n}";x > y îçíà÷àåò, ÷òî xi > yi , (i = 1, n);x 6= y îçíà÷àåò, ÷òî xi 6= yi õîòÿ áû äëÿ îäíîãî èíäåêñà i;f 0 (x) ãðàäèåíò ñêàëÿðíîé ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x:(f 0 (x))> = (∂f (x) ∂f (x)∂f (x),,...,).∂x1∂x2∂xnÄëÿ ôîðìóëèðîâàíèÿ îáùåé çàäà÷è îïòèìèçàöèè íåîáõîäèìî çàäàòü:1) ïðîñòðàíñòâî X ;2) ìíîæåñòâî (âîçìîæíî, ñîâïàäàþùåå ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì) X ⊂ X ;3) îòîáðàæåíèå f : X −→ E1 ;4) êðèòåðèé (ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì).Òîãäà çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè (ìàêñèìèçàöèè) ìîæíî çàïèñàòü òàêèì îáðàçîì:5f (x) −→ minx∈X⊂X(f (x) −→ max ).x∈X⊂XÎáû÷íî èçâåñòíî, î êàêîì ïðîñòðàíñòâå X èä¼ò ðå÷ü, è ïèøóò ïðîñòîf (x) −→ min (f (x) −→ max).x∈Xx∈X(1)Ðåøèòü çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè îçíà÷àåò:1) ëèáî íàéòè òàêóþ òî÷êó x∗ ∈ X , ÷òî f (x∗ ) ≤ f (x) äëÿ âñåõ x ∈ X ; â ýòîì ñëó÷àåïèøåìf (x∗ ) = min f (x);x∈X2) ëèáî, åñëè òàêîé òî÷êèx∗íå ñóùåñòâóåò, íàéòèf ∗ = inf f (x);x∈X3) ëèáî äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) íåîãðàíè÷åíà ñíèçó íà ìíîæåñòâå X, ò.
å. f ∗ = −∞;4) ëèáî óñòàíîâèòü, ÷òî X = ∅. ñèëó î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâàmax f (x) = − min(−f (x)),x∈Xx∈Xíå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìíîæåñòâî çàäà÷ íà ìèíèìóì. Çàìåòèì,÷òî äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà èìååòñÿ îáúåäèíÿþùèé èõ òåðìèí ýêñòðåìóì. Çàïèñü f (x) −→ extrX îçíà÷àåò, ÷òî èùåòñÿ è ìàêñèìóì, è ìèíèìóì ôóíêöèè f (x).Ïðè ýòîì òî÷êè, â êîòîðûõ äîñòèãàåòñÿ ýêñòðåìóì, íàçûâàþòñÿ ýêñòðåìàëüíûìè òî÷êàìè.Ìíîæåñòâî X â çàäà÷å (1) íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ìíîæåñòâîì, à åãî ýëåìåíòû äîïóñòèìûìè òî÷êàìè. êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå X = En , à äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî X îáû÷íî çàäà¼òñÿ â òàêîìâèäå:X = {x | ϕj (x) ≤ 0, j = 1, m},(2)ãäå ϕj (x), j = 1, m çàäàííûå ñêàëÿðíûå ôóíêöèè. Çàäà÷à (1)(2) íàçûâàåòñÿ îñíîâíîéçàäà÷åé ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Íåðàâåíñòâà ϕj (x) ≤ 0, îïðåäåëÿþùèå äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿìè. Ôóíêöèþ f (x) íàçûâàþò öåëåâîé ôóíêöèåé,à òî÷êó x∗ îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1)(2), èëè îïòèìàëüíîé òî÷êîé, èëè òî÷êîé ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè f (x) íà ìíîæåñòâå X .
Ïðè ýòîì ÷àñòî èñïîëüçóþòîáîçíà÷åíèå x∗ = argmin{f (x) | x ∈ X}. Ìíîæåñòâî âñåõ îïòèìàëüíûõ òî÷åê îáîçíà÷èì÷åðåç X ∗ = Argmin{f (x) | x ∈ X}. Î÷åâèäíî, ÷òîX ∗ = {x∗ ∈ X | f (x∗ ) = min f (x)}.x∈XÒî÷êà x ∈ X íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè f , åñëè ñóùåñòâóåòòàêîå ε > 0, ÷òî f (x) ≤ f (y) äëÿ âñåõ y ∈ X ∩Uε (x).
Î÷åâèäíî, ÷òî âñÿêàÿ òî÷êà ãëîáàëüíîãîìèíèìóìà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ,íåâåðíî.Çàäà÷à ìèíèìèçàöèè (1) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè, åñëè X = En .Åñëè ìíîæåñòâî X èìååò âèä (2), òî çàäà÷à (1)(2) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé óñëîâíîé ìèíèìèçàöèè. Ïðè ýòîì íåâàæíî, ñîâïàäàåò ëè ìíîæåñòâî X ñ En èëè íåò. Íàïðèìåð, çàäà÷à (1)(2)ñ X = {x | − x2 ≤ 0} ñ÷èòàåòñÿ çàäà÷åé óñëîâíîé ìèíèìèçàöèè.6Ïðè ðåøåíèè êîíå÷íîìåðíûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà.
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà çàìêíóòîìîãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå X , òî îíà äîñòèãàåò íà ýòîì ìíîæåñòâå ñâîèõ òî÷íûõ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö.Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû âñåãäà ñóùåñòâóþò òàêèå òî÷êè x0è x00 ìíîæåñòâà X , ÷òî f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x00 ) äëÿ âñåõ x ∈ X. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Âåéåðøòðàññà ìîæíî èíîãäà îïðåäåëÿòü, äîñòèãàåò ëè ôóíêöèÿ ñâîåãî ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà èìàêñèìóìà èëè íåò.Ïðèìåð. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ a è b ôóíêöèÿ f (x, y) = x + ay äîñòèãàåòñâîåãî ìèíèìóìà íà ìíîæåñòâå X = {(x, y) | bx2 − 2xy + y 2 ≤ 1}?Ðåøåíèå.
ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà ïðè ëþáîì a. Ïîñêîëüêó X = {(x, y) | (x −y)2 + (b − 1)x2 ≤ 1}, òî ïðè b > 1 ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì è ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà f äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà. Ïðè a = −1 è b = 1 ïîëó÷èì, ÷òî f (x, y) = x − y ,à X = {(x, y) | − 1 ≤ (x − y) ≤ 1}. ßñíî, ÷òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè, ðàâíîå −1,äîñòèãàåòñÿ. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ a è b ìèíèìóì íåäîñòèãàåòñÿ. Åñëè b ≤ 1 è a 6= −1, òî òî÷êè âèäà y = x áóäóò äîïóñòèìûìè ïðè ëþáîìx. Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f (x, x) = (a + 1)x ïîëó÷àåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé ñíèçó: åñëè a < −1,òî f (x, x) −→ −∞ ïðè x −→ +∞, à åñëè a > −1,√ òî f (x, x) −→ −∞ ïðè x −→ −∞.Íàêîíåö, â ñëó÷àå b < 1, a = −1 ïîëîæèì y = (1 − 1 − b)x.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òîãäà2(x − y)2 + (b − 1)x2 = (1 − b)x2 +√(b − 1)x = 0, ò. å. òàêèå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè ïðèëþáîì x. Íî f (x, y) = x − y = 1 − bx −→ −∞ ïðè x −→ −∞.Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà íà ìíîæåñòâå X òîëüêî ïðè b > 1è ëþáîì a èëè ïðè b = 1 è a = −1.Çàäà÷è1. Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) äîñòèãàþò ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà íà ìíîæåñòâå X . Âåðíî ëè, ÷òî ôóíêöèÿ h(x) = f (x) + g(x) òàêæå äîñòèãàåò ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà íà ýòîììíîæåñòâå?2.
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà a ôóíêöèÿ f (x) = (a + 1)x + a ln x − 2 sin x äîñòèãàåòãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë?3. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà a ôóíêöèÿ f (x, y) = (a − 2)(a − 3)ex + |y + 10|/(y 2 + 1)äîñòèãàåò ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà íà ìíîæåñòâå X = {(x, y) | (a − 4)x2 + y 2 ≤ 1}?2. Çàäà÷è íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ îáùèå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, îñíîâàííûå íà çíàíèÿõ, ïîëó÷åííûõ ñòóäåíòàìè â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ôóíêöèè íåïðåðûâíû è èìåþò íåïðåðûâíûåïðîèçâîäíûå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà.2.1.
Îäíîìåðíûé ñëó÷àéÈìååì çàäà÷óf (x) −→ extrx∈X ,ãäå X ⊂ E1 ñîâîêóïíîñòü îòðåçêîâ, èíòåðâàëîâ, ïîëóèíòåðâàëîâ.Òåîðåìà Ôåðìà. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîì ïðîìåæóòêåX è âî âíóòðåííåé òî÷êå x∗ ýòîãî ïðîìåæóòêà ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå (íàèìåíüøåå)çíà÷åíèå. Òîãäà f 0 (x∗ ) = 0.7Òàêèì îáðàçîì, ýêñòðåìóì äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ñëåäóåò èñêàòü â ñòàöèîíàðíûõ òî÷êàõ, ò.
å. â òåõ òî÷êàõ, ãäå ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàâíà íóëþ. Êðîìå òîãî, "ïîäîçðèòåëüíûìè"íà ýêñòðåìóì ÿâëÿþòñÿ òî÷êè, íå ïîäïàäàþùèå ïîä äåéñòâèå òåîðåìû Ôåðìà, àèìåííî: ãðàíè÷íûå òî÷êè, òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè è òî÷êè ðàçðûâà ïðîèçâîäíîé.Ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ãëîáàëüíîãî ýêñòðåìóìà. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ãëîáàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f (x) íà ìíîæåñòâå X ⊂ E1 íóæíî íàéòè ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà òî÷åê:1) ìíîæåñòâî ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê X1 = {x ∈ X | f 0 (x) = 0};2) ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè X2 = {x ∈ X | f (x) ðàçðûâíà };3) ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïðîèçâîäíîé X3 = {x ∈ X | f 0 (x) ðàçðûâíà };4) ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ òî÷åê (â òîì ÷èñëå è òî÷êè ±∞, åñëè îíè ïðèíàäëåæàòäîïóñòèìîìó ìíîæåñòâó) X4 = FrX = X \ IntX .Ïîñëå ýòîãî íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòèõ òî÷êàõ è âûáðàòü ñðåäèíèõ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ.
Åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè ïðèíàäëåæàòìíîæåñòâó X , òî ìèíèìóì èëè ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ìíîæåñòâå X .  ïðîòèâíîìñëó÷àå èìååì òî÷íóþ íèæíþþ èëè âåðõíþþ ãðàíèöû.Ñôîðìóëèðîâàííîå ïðàâèëî ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì äîñòàòî÷íî øèðîêèéêëàññ ôóíêöèé.Ïðèìåð 1. Íàéòè ýêñòðåìóì ôóíêöèè f (x) = x2/3 − (x2 − 1)1/3 .Ðåøåíèå. Ïðîèçâîäíàÿ2 (x2 − 1)2/3 − x4/3f 0 (x) =3 x1/3 (x2 − 1)2/3íåïðåðûâíà âåçäå, êðîìå òî÷åê x = 0 è x = ±1. Äëÿ íàõîæäåíèÿñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ïðè√ðàâíèâàåì íóëþ ÷èñëèòåëü ïðîèçâîäíîé è ïîëó÷àåì x = ± √2/2. Òàêèìîáðàçîì, ïîäîçðè√òåëüíûìè íà ýêñòðåìóì ÿâëÿþòñÿ òî÷êè ìíîæåñòâ X1 = {− 2/2, 2/2} è X3 = {−1, 0, 1}.Ïðè ýòîì X2 = ∅, à íà ãðàíèöå ìíîæåñòâà X = E1 èìååìlim f (x) = lim f (x) = 0.x→+∞x→−∞√Âû÷èñëèìçíà÷åíèåôóíêöèèâíàéäåííûõòî÷êàõ:f(−1)=f(0)=f(1)=1,f(−2/2) =√√3f ( 2/2)=2/2.Òàêèìîáðàçîì,íàèáîëüøååçíà÷åíèåôóíêöèèf(x)äîñòèãàåòñÿâòî÷êàõ√x = ± 2/2.
Íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ íå èìååò, à inf f (x) = 0.Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé (ò. å. f (x) = f (−x)), òî äîñòàòî÷íî áûëî èññëåäîâàòü å¼ íà èíòåðâàëå [0, ∞).Ïðèìåð 2. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèèf (x) =x2 − 5x + 6.x2 + 1Ðåøåíèå. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (x) åñòü5x2 − 10x − 5.(x2 + 1)2√√√Î÷åâèäíî,÷òî X2 = X3 = ∅, à X1 = {1 − 2, 1 + 2}.
Ïðè ýòîì, f (1 − 2) ≈ 7.04 è√f (1 + 2) ≈ −0.03. Íà ãðàíèöå èìååìf 0 (x) =lim f (x) = lim f (x) = 1.x→+∞x→−∞Òàêèì îáðàçîì, íàèáîëüøåå √çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x1 = 1 −íàèìåíüøåå â òî÷êå x2 = 1 + 2.8√2, àÇàäà÷è1. Íàéòè ýêñòðåìóì ôóíêöèè:1) f (x) = cos3 x + sin3 x ïðè x ∈ E1 ;22) f (x) = (1 + x2 )e−x ïðè x ∈ E1 ;3) f (x) = (x2 − 3x + 2)/(x + 1)2 íà îòðåçêå [−2, 2];4) f (x) = x − 2 sin x ïðè x ∈ [0, +∞);5) f (x) = x2/3 e−x ïðè x ∈ [−1, +∞);6) f (x) = |x|e−|x| ïðè x ∈ [−2, 2];√7) f (x) = x 3 x − 1 ïðè x ∈ [−7, 2];p8) f (x) = x 3 |x| − 1 ïðè x ∈ [−7, 2];9) f (x) = x(x − 2)2/3 ïðè x ∈ [−1, +∞).2.
Äîêàçàòü, ÷òî |3x − x3 | ≤ 2 ïðè |x| ≤ 2.2.2. Ìíîãîìåðíàÿ áåçóñëîâíàÿ îïòèìèçàöèÿÐàññìîòðèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ñêàëÿðíîé ôóíêöèè f (x) ïðèx ∈ En .Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà,íåïðåðûâíà è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x∗ . Òîãäà, äëÿòîãî ÷òîáû â òî÷êå x∗ äîñòèãàëñÿ ýêñòðåìóì, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ f 0 (x∗ ) = 0.Òî÷êè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ, áóäåì íàçûâàòü ñòàöèîíàðíûìè.Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìànn XXaij yi yj(1)i=1 j=1îò ïåðåìåííûõ y1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
