1611688847-5b7354cc83380cb6c671f7c9dd5f83f8 (826648), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

. , m}, оценим разность i-ыхкомпонент векторов Ab и Ab⋆ : nX⋆⋆⋆(Ab)i − (Ab )i = A(b − b ) = a(b−b)ij jj ij=1vuXu n 2aij≤ tj=1vuXu nt(bj − b⋆j )2j=1в силу неравенства Коши-Буняковского.Поэтому (Ab)i → (Ab⋆ )i при b → b⋆ для любого номера i.Аналогичной выкладкой нетрудно показать также непрерывностьстандартного скалярного произведения в Rn и Cn .Матричные нормыОпределениеМатричной нормой на множестве вещественных или комплексныхm × n-матриц называют вещественнозначную функцию k · k,которая удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):(МН1) kAk ≥ 0 для любой матрицы A,причём kAk = 0 ⇔ A = 0 — неотрицательность,(МН2) kα Ak = |α| · kAkдля любых матрицы A и α ∈ R или α ∈ C— абсолютная однородность,(МН3) kA + Bk ≤ kAk + kBk для любых матриц A, B— «неравенство треугольника».(МН4) kABk ≤ kAk · kBk для любых матриц A, B— «субмультипликативность».Матричные нормыОсобую ценность и в теории, и на практике представляютситуации, когда нормы векторов и матриц, которыерассматриваются совместно, согласованы друг с другомотносительно операции умножения матрицы на вектор.Матричные нормыОсобую ценность и в теории, и на практике представляютситуации, когда нормы векторов и матриц, которыерассматриваются совместно, согласованы друг с другомотносительно операции умножения матрицы на вектор.ОпределениеВекторная норма k · k и матричная норма k · k′ называютсясогласованными, еслиkAxk ≤ kAk′ · kxkдля любой матрицы A и всех векторов x.Матричные нормыПример 1.Матричные нормыПример 1.Фробениусова норма матрицы A = (aij ) определяется какkAkF =Xi,j2|aij |!1/2.Матричные нормыПример 1.Фробениусова норма матрицы A = (aij ) определяется какkAkF =Xi,j2|aij |!1/2.Ясно, что она удовлетворяет первым трём аксиомам матричнойнормы просто потому, что задаётся совершенно аналогичноевклидовой векторной норме k · k2 .Пример 1.Чтобы доказать субмультипликативность фробениусовой нормы,рассмотрим2X X2aik bkj .kABkF =i,jkВ силу неравенства Коши-Буняковского!!X2XXaik bkj ≤a2ikb2lj ,kklпоэтомуkABk2F ≤X=Xi,ji,j,k,lчто и требовалось.Xka2ik!a2ik b2lj =XlXi,kb2lj!a2ik!Xl,jb2lj!= kAk2F kBk2F ,Пример 2.Матричная нормаkAkmax = n max |aij |,i,jопределённая для квадратных n × n-матриц, является аналогомчебышёвской нормы векторов k·k∞ .

По этой причине выполнениепервых трех аксиом матричной нормы для kAkmax очевидно.Пример 2.Матричная нормаkAkmax = n max |aij |,i,jопределённая для квадратных n × n-матриц, является аналогомчебышёвской нормы векторов k·k∞ . По этой причине выполнениепервых трех аксиом матричной нормы для kAkmax очевидно.Необходимость удовлетворить аксиоме субмультипликативностиобъясняет появление множителя n перед max |aij |: n!nXXkABkmax = n max aik bkj ≤ n max|aik | |bkj |i,ji,j k=1≤ nnXk=1k=1!max |aik | max |bkj |i,kk,j≤ n2 max |aij | max |bij | = kAkmax kBkmax .i,ji,jПодчинённые матричные нормыСреди различных матричных норм,которые согласованы с векторными нормами,наиболее удобны так называемые подчинённые нормы.Подчинённая норма — это наименьшая из норм матрицы,которые согласованы с данной векторной нормой.Подчинённые матричные нормыПусть дана векторная норма k · k и зафиксирована матрица A.Из требования согласованности вытекает неравенство длясогласованной нормы матрицы kAk:kAk ≥ kAxk/kxk,где x — произвольный вектор.Подчинённые матричные нормыПусть дана векторная норма k · k и зафиксирована матрица A.Из требования согласованности вытекает неравенство длясогласованной нормы матрицы kAk:kAk ≥ kAxk/kxk,где x — произвольный вектор.Как следствие, значения всех матричных норм от A, согласованныхс данной векторной нормой k · k, ограничены снизу выражениемsupx6=0kAxk,kxkпоскольку неравенство согласованности должно бытьсправедливым для любого ненулевого вектораx.ПредложениеДля любой фиксированной векторной нормы k · k соотношениемkAk′ = supx6=0задаётся матричная норма.kAxkkxk(1)ПредложениеДля любой фиксированной векторной нормы k · k соотношениемkAk′ = supx6=0kAxkkxkзадаётся матричная норма.Доказательство:В случае конечномерных векторных пространств Rn и Cnвместо «sup» в выражении (1) можно брать «max».В самом деле, x kAxk = sup kAyk,= sup Asupkxk x6=0x6=0 kxkkyk=1а задаваемая условием kyk = 1 единичная сфера любой нормызамкнута и ограничена, т.

е. компактна в Rn или Cn .(1)Непрерывная функция kAyk достигает на этом компактноммножестве своего максимума. Таким образом, в действительностиkAk′ = maxx6=0kAxk= max kAyk.kxkkyk=1Непрерывная функция kAyk достигает на этом компактноммножестве своего максимума. Таким образом, в действительностиkAk′ = maxx6=0kAxk= max kAyk.kxkkyk=1Проверим теперь для нашей конструкциивыполнение аксиом нормы.Непрерывная функция kAyk достигает на этом компактноммножестве своего максимума.

Таким образом, в действительностиkAk′ = maxx6=0kAxk= max kAyk.kxkkyk=1Проверим теперь для нашей конструкциивыполнение аксиом нормы.Неотрицательность значений k · k′ очевидна.Далее, если A 6= 0, то найдётся ненулевой вектор u, такой чтоAu 6= 0. Ясно, что его можно считать нормированным, т. е. kuk = 1.Тогда kAuk > 0, и потому maxkyk=1 kAyk > 0, что доказывает дляk · k′ первую аксиому нормы.Непрерывная функция kAyk достигает на этом компактноммножестве своего максимума. Таким образом, в действительностиkAk′ = maxx6=0kAxk= max kAyk.kxkkyk=1Проверим теперь для нашей конструкциивыполнение аксиом нормы.Неотрицательность значений k · k′ очевидна.Далее, если A 6= 0, то найдётся ненулевой вектор u, такой чтоAu 6= 0.

Ясно, что его можно считать нормированным, т. е. kuk = 1.Тогда kAuk > 0, и потому maxkyk=1 kAyk > 0, что доказывает дляk · k′ первую аксиому нормы.Абсолютная однородность для k · k′ доказывается тривиально.Покажем справедливость неравенства треугольника. Очевидно,k(A + B)yk ≤ kAyk + kByk,и потомуmax k(A + B)yk ≤ max kAyk + kBykkyk=1kyk=1≤ max kAyk + max kByk,kyk=1что и требовалось.kyk=1Покажем справедливость неравенства треугольника. Очевидно,k(A + B)yk ≤ kAyk + kByk,и потомуmax k(A + B)yk ≤ max kAyk + kBykkyk=1kyk=1≤ max kAyk + max kByk,kyk=1kyk=1что и требовалось.Чтобы показать субмультипликативность, отметим, что по самомупостроению kAxk ≤ kAk′ kxk для любого вектора x.

ТогдаkABk′ = max k(AB)yk = kABvkkyk=1для некоторого v с kvk = 1≤ kAk′ · kBvk ≤ kAk′ · max kBzk = kAk′ kBk′ .kzk=1Подчинённые матричные нормыДоказанный результат мотивируетОпределениеДля заданной векторной нормы k · k матричная норма k · k′ ,определяемая какkAk′ = maxx6=0kAxk= max kAyk ,kxkkyk=1называется подчинённой к k · k матричной нормой(или индуцированной, или операторной нормой).Подчинённые матричные нормыДоказанный результат мотивируетОпределениеДля заданной векторной нормы k · k матричная норма k · k′ ,определяемая какkAk′ = maxx6=0kAxk= max kAyk ,kxkkyk=1называется подчинённой к k · k матричной нормой(или индуцированной, или операторной нормой).Как задаются подчинённые матричные нормыдля популярных векторных норм?ПредложениеДля векторной 1-нормы подчинённой матричной нормой дляm × n-матриц является!mX|aij |kAk1 = max1≤j≤ni=1— максимальная сумма модулей элементов по столбцам.Для чебышёвской векторной нормы (∞-нормы) подчинённойматричной нормой для m × n-матриц является!nX|aij |kAk∞ = max1≤i≤mj=1— максимальная сумма модулей элементов по строкам.Доказательство.Доказательство.Для обоснования первой части Предложения выпишем следующуюцепочку преобразований и оценокkAxk1nm Xmm XXXX n ≤| aij xj |ax=(Ax)i =ijji=1=nm XXi=1 j=1≤maxi=1| aij | | xj | =1≤j≤nmXi=1!| aij |i=1 j=1j=1·mn XXj=1 i=1nXj=1| aij | | xj | =n Xj=1| xj | = kAk1 kxk1 .| xj |mXi=1| aij |(2)Из (2) вытекаетkAxk1≤ kAk1 .kxk1При этом все неравенства в цепочке (2) обращаются в равенствадля вектора x в виде столбца единичной nP× n-матрицы с темномером j, на котором достигается max j mi=1 | aij |.Как следствие, на этом векторе достигается наибольшее значениеотношения kAxk1 /kxk1 из определения подчинённой матричнойнормы.Из (2) вытекаетkAxk1≤ kAk1 .kxk1При этом все неравенства в цепочке (2) обращаются в равенствадля вектора x в виде столбца единичной nP× n-матрицы с темномером j, на котором достигается max j mi=1 | aij |.Как следствие, на этом векторе достигается наибольшее значениеотношения kAxk1 /kxk1 из определения подчинённой матричнойнормы.Аналогичным образом доказывается и вторая часть предложения,касающаяся k · k∞ .ПредложениеМатричная норма, подчинённая евклидовой норме векторов kxk2 ,есть kAk2 = σmax (A) — наибольшее сингулярное число матрицы A.ПредложениеМатричная норма, подчинённая евклидовой норме векторов kxk2 ,есть kAk2 = σmax (A) — наибольшее сингулярное число матрицы A.Матричную норму kAk2 = σmax (A)называют спектральной матричной нормой.Доказательство.Доказательство.Пусть A — m × n-матрица.

Рассмотрим n × n-матрицу A∗A.Доказательство.Пусть A — m × n-матрица. Рассмотрим n × n-матрицу A∗A.Она является эрмитовой, её собственные числа вещественны инеотрицательны, они являются квадратами сингулярных чиселматрицы A и, возможно, ещё нулями.Доказательство.Пусть A — m × n-матрица. Рассмотрим n × n-матрицу A∗A.Она является эрмитовой, её собственные числа вещественны инеотрицательны, они являются квадратами сингулярных чиселматрицы A и, возможно, ещё нулями.Унитарным преобразованием подобия (ортогональнымив вещественном случае) матрица A∗A может быть приведенак диагональному виду:A∗A = U ∗Λ U,где U — унитарная n × n-матрица,Λ — диагональная n × n-матрица, у которой на диагоналистоят числа σi2 , i = 1, 2, .

Характеристики

Список файлов лекций