1611688847-5b7354cc83380cb6c671f7c9dd5f83f8 (826648), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Бельтрами (Италия) и К. Жордана(Франция), но никак специально не называлось.Термин valeurs singulières — «сингулярные значения» — впервыебыл использован французским математиком Э. Пикаром около1910 года в работе по интегральным уравнениям.Сингулярное разложение матрицСингулярное разложение матриц впервые возникло во второйполовине XIX века в трудах Э. Бельтрами (Италия) и К.

Жордана(Франция), но никак специально не называлось.Термин valeurs singulières — «сингулярные значения» — впервыебыл использован французским математиком Э. Пикаром около1910 года в работе по интегральным уравнениям.Может показаться, что задача нахождения сингулярных чисел исингулярных векторов матриц является частным случаем третьейзадачи — нахождения собственных чисел и собственных векторов.Но вычисление сингулярных чисел и векторов матриц сделалосьочень важным в теории и приложениях вычислительной линейнойалгебры, а численные методы сингулярного разложения — весьмаспециальные.Сингулярное разложение матриц— для его вычисления также можно использовать функцию svdСингулярное разложение матриц— для его вычисления также можно использовать функцию svd-->A = [ 1 2;A =1.2.3.4.34 ]-->[U,S,V] = svd(A)V =- 0.57604840.8174156- 0.8174156 - 0.5760484S =5.46498570.0.0.3659662U =- 0.4045536 - 0.9145143- 0.91451430.4045536Нормы векторов и матрицНорму можно рассматривать как обобщение на многомерный иабстрактный случаи понятия абсолютной величины числа.Нормы векторов и матрицНорму можно рассматривать как обобщение на многомерный иабстрактный случаи понятия абсолютной величины числа.Вообще, и норма, и абсолютная величина являются понятиями,которые формализуют интуитивно ясное свойство «размера»объекта, его «величины», т.

е. того, насколько он мал или великбезотносительно к его расположению в пространстве или к другимвторостепенным качествам.Нормы векторов и матрицНорму можно рассматривать как обобщение на многомерный иабстрактный случаи понятия абсолютной величины числа.Вообще, и норма, и абсолютная величина являются понятиями,которые формализуют интуитивно ясное свойство «размера»объекта, его «величины», т.

е. того, насколько он мал или великбезотносительно к его расположению в пространстве или к другимвторостепенным качествам.Такова, например, длина вектора как направленного отрезка впривычном евклидовом пространстве R2 или R3 .Векторные нормыОпределениеНормой в вещественном или комплексном линейном векторномпространстве X называется функция k · k : X → R, удовлетворяющаяследующим свойствам (называемым аксиомами нормы):(ВН1) kak ≥ 0 для любого a ∈ X, причём kak = 0 ⇔ a = 0— неотрицательность,(ВН2) kα ak = |α| · kak для любых a ∈ X и α ∈ R или C— абсолютная однородность,(ВН3) ka + bk ≤ kak + kbk для любых a, b ∈ X— «неравенство треугольника».Само пространство X с нормой называется тогда нормированнымлинейным пространством.Примеры векторных нормЕсли a = (a1 , a2 , . .

. , an )⊤ , то обозначимkak1 :=kak2 :=nXi=1| ai | ,nXi=12|ai |!1/2,kak∞ := max | ai | .1≤i≤nВторая из этих норм часто называется евклидовой, а третья —чебышёвской или максимум-нормой.Евклидову норму часто называют также длиной вектора.Векторные нормыЕвклидова норма k · k2 замечательна тем, что она порождаетсястандартным скалярным произведением h · , · i в Rn или Cn .Более точно, если скалярное произведение задаётся какha, bi =nXai biилиi=1ha, bi =nXai bii=1для a, b ∈ Rn или Cn , тоkak2 =pha, ai.Иными словами, 2-норма является составной частью более богатойи содержательной структуры на Rn и Cn .Векторные нормыЕвклидова норма k · k2 замечательна тем, что она порождаетсястандартным скалярным произведением h · , · i в Rn или Cn .Более точно, если скалярное произведение задаётся какha, bi =nXai biилиi=1ha, bi =nXai bii=1для a, b ∈ Rn или Cn , тоkak2 =pha, ai.Иными словами, 2-норма является составной частью более богатойи содержательной структуры на Rn и Cn .Напомним неравенство Коши-Буняковского|ha, bi| ≤ kak2 kbk2 .Векторные нормыНормы k · k1 и k · k2 — частные случаи общей p-нормыkakp =nXi=1|ai |p!1/pдля p ≥ 1,которую называют также гёльдеровой нормой (по имениО.Л.

Гёльдера). Неравенство треугольника для неё —nXi=1| ai + bi |p!1/p≤nXi=1| ai |p!1/p+nXi=1| bi |p!1/p,оно называется неравенством Минковского.Чебышёвская норма может быть получена из p-нормы с помощьюпредела p → ∞, что объясняет индекс «∞» в её обозначении.В нормированном пространстве X шаром радиуса r с центром вточке a называется множество { x ∈ X | kx − ak ≤ r }.2-норма∞-норма❅❅❅❅❅1-нормаГеометрически наглядное представление о норме даётся еёединичным шаром, т. е. множеством { x | kxk ≤ 1 }.

На рисункепоказаны единичные шары для рассмотренных нами норм в R2 .Топология на векторных пространствахГоворят, что на множестве X задана топологическая структура,или просто топология, если мы можем определить близость одногоэлемента множества к другому, предельные переходы, сходимость ит. п. понятия. Топологическую структуру (топологию) можнозадавать различными способами, например, простым описаниемтого, какие именно множества считаются открытыми.В практике математического моделирования распространенозадание топологической структуры при помощи функциирасстояния (метрики) или же с помощью различных норм.Преимущество этого пути состоит в том, что мы получаем в своёраспоряжение количественную меру близости рассматриваемыхобъектов.Расстояние между векторамиРасстояние (метрика) между элементами a и b линейногонормированного пространства X может быть задано какdist (a, b) = ka − bk,т.

е. как «величина различия» элементов a и b.Расстояние между векторамиРасстояние (метрика) между элементами a и b линейногонормированного пространства X может быть задано какdist (a, b) = ka − bk,т. е. как «величина различия» элементов a и b.Непосредственной проверкой легко убедиться, что для введённойтаким образом функции dist : X × X → R+ выполняются всеаксиомы расстояния.Расстояние между векторамиРасстояние (метрика) между элементами a и b линейногонормированного пространства X может быть задано какdist (a, b) = ka − bk,т.

е. как «величина различия» элементов a и b.Непосредственной проверкой легко убедиться, что для введённойтаким образом функции dist : X × X → R+ выполняются всеаксиомы расстояния.Итак, нормы будут нужны намдля оценивания «величины» тех или иных объектов,для измерения «отклонения» одного вектора от другого,т. е.

расстояния между векторами.Сходимость по нормеОпределениеГоворят, что в нормированном пространстве X с нормой k · k⋆последовательность {a(k) }∞k=1 сходится к пределу a по норме (илиотносительно рассматриваемой нормы), если числоваяпоследовательность ka(k) − a⋆ k сходится к нулю.Сходимость по нормеОпределениеГоворят, что в нормированном пространстве X с нормой k · k⋆последовательность {a(k) }∞k=1 сходится к пределу a по норме (илиотносительно рассматриваемой нормы), если числоваяпоследовательность ka(k) − a⋆ k сходится к нулю.Помимо сходимости последовательностей и их пределов частонеобходимо рассматривать сходимость непрерывно изменяющихсяпеременных величин.Для метрических пространств, как показывается в общейтопологии, эти два понятия равносильны друг другу.Эквивалентность нормНормы в линейном векторном пространстве называютсятопологически эквивалентными (или просто эквивалентными),если наличие предела в одной из них влечёт существование того жепредела в другой, и обратно.Эквивалентность нормНормы в линейном векторном пространстве называютсятопологически эквивалентными (или просто эквивалентными),если наличие предела в одной из них влечёт существование того жепредела в другой, и обратно.Из математического анализа известен простой критерийэквивалентности двух норм:ПредложениеНормы k · k′ и k · k′′ на линейном векторном пространстве Xэквивалентны тогда и только тогда, когда существуют такиеположительные константы C1 и C2 , что для любых a ∈ XC1 kak′ ≤ kak′′ ≤ C2 kak′ .Эквивалентность нормФормулировка этого предложения имеет кажущуюся асимметрию,так как для значений одной из эквивалентных норм предъявляетсядвусторонняя «вилка» из значений другой нормы с подходящимимножителями-константами.Но нетрудно видеть, что из определения вытекает11kak′′ ≤ kak′ ≤kak′′ ,C2C1так что существование «вилки» для одной нормы автоматическиподразумевает существование аналогичной «вилки» и для другой.C1 и C2 называютконстантами эквивалентности норм k · k′ и k · k′′ .Эквивалентность нормПредложениеВ векторных пространствах Rn или Cn√kak2 ≤ kak1 ≤ n kak2 ,√kak∞ ≤ kak2 ≤ n kak∞ ,1kak1 ≤ kak∞ ≤ kak1 ,nт.

е. векторные 1-норма, 2-норма и ∞-норма эквивалентны другдругу.Эквивалентность нормДоказанный выше вывод об эквивалентности конкретных нормявляется частным случаем общего результата математическогоанализа:в конечномерном линейном векторном пространствевсе нормы топологически эквивалентны друг другу.Эквивалентность нормДоказанный выше вывод об эквивалентности конкретных нормявляется частным случаем общего результата математическогоанализа:в конечномерном линейном векторном пространствевсе нормы топологически эквивалентны друг другу.Но содержание Предложения состоит ещё и в указании конкретныхконстант эквивалентности норм, от которых существенно зависятразличные числовые оценки, условия остановки итераций и т.

п.Покомпонентная сходимостьОпределениеГоворят, что в линейном векторном пространстве X⋆последовательность {a(k) }∞k=1 сходится к пределу a покомпонентно(покомпонентным образом) относительно некоторого базиса, еслипри разложении a(k) по этому базису для каждого индекса i имеет(k)место сходимость соответствующей компоненты ai → a⋆i в R или Cпри k → ∞.Покомпонентная сходимостьОпределениеГоворят, что в линейном векторном пространстве X⋆последовательность {a(k) }∞k=1 сходится к пределу a покомпонентно(покомпонентным образом) относительно некоторого базиса, еслипри разложении a(k) по этому базису для каждого индекса i имеет(k)место сходимость соответствующей компоненты ai → a⋆i в R или Cпри k → ∞.ПредложениеВ конечномерных линейных векторных пространствах сходимостьпо норме и покомпонентная сходимость векторов равносильны другдругу.Доказательство.Пусть последовательность {a(k) } сходится к пределу a⋆покомпонентно относительно базиса {ei }ni=1 .Разлагая a(k) и a⋆ в этом базисе, получаемnnXX(k)a⋆i ei =ai ei −ka(k) − a⋆ k = i=1i=1nX(k)ai − a⋆i ei i=1nnXX (k) (k) ⋆a − a⋆i kei k.ai − ai ei =≤ii=1(k)i=1Как следствие, если ai сходятся к a⋆i для любого индексаi = 1, 2, .

. . , n, то и ka(k) − a⋆ k → 0.Доказательство.Обратно, пусть имеет место сходимость a(k) к a⋆ по норме.Из факта эквивалентности различных норм следует существованиетакой положительной константы C, что (k)max ai − a⋆i = a(k) − a⋆ ∞ ≤ C a(k) − a⋆ .iПоэтому при ka(k) − a⋆ k → 0 обязательно должна быть сходимость(k)компонент ai к a⋆i для всех индексов i.Сходимость по норме и покомпонентная сходимостьХотя сходимость по норме и покомпонентная сходимостьравносильны друг другу, в различных ситуациях часто бываетудобнее воспользоваться какой-нибудь одной из них:Норма является одним числом, указывающим на близостьк пределу, и работать с ней поэтому проще.Рассмотрение сходимости в покомпонентном смыслепозволяет расчленить задачу на отдельные компоненты,что также нередко упрощает рассмотрения.Введение на линейном пространстве нормы позволяют говоритьо непрерывности различных отображений этого пространствав себя или в другие пространства и множества.Что можно сказать о непрерывности привычныхи часто встречающихся отображений?Введение на линейном пространстве нормы позволяют говоритьо непрерывности различных отображений этого пространствав себя или в другие пространства и множества.Что можно сказать о непрерывности привычныхи часто встречающихся отображений?Покажем непрерывность сложения и умножения на скаляротносительно нормы.Пусть a → a⋆ и b → b⋆ , так что ka − a⋆ k → 0 и kb − b⋆ k → 0.Тогдаk(a + b) − (a⋆ + b⋆ )k = k(a − a⋆ ) + (b − b⋆ )k ≤ ka − a⋆ k + kb − b⋆ k → 0,kαa − αa⋆ k = kα(a − a⋆ )k = |α| ka − a⋆ k → 0для любого скаляра α.Умножение на матрицу также непрерывно в конечномерномлинейном векторном пространстве.Если A — m × n-матрица и b — такой n-вектор, что b → b⋆ , то,зафиксировав индекс i ∈ {1, 2, .

. . , m}, оценим разность i-ыхкомпонент векторов Ab и Ab⋆ : nX⋆⋆⋆(Ab)i − (Ab )i = A(b − b ) = a(b−b)ij jj ij=1vuXu n 2aij≤ tj=1vuXu nt(bj − b⋆j )2j=1в силу неравенства Коши-Буняковского.Поэтому (Ab)i → (Ab⋆ )i при b → b⋆ для любого номера i.Умножение на матрицу также непрерывно в конечномерномлинейном векторном пространстве.Если A — m × n-матрица и b — такой n-вектор, что b → b⋆ , то,зафиксировав индекс i ∈ {1, 2, . .

Характеристики

Список файлов лекций