1611688847-5b7354cc83380cb6c671f7c9dd5f83f8 (826648), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

е. от y ∗ A = λ y ∗ .Поэтому решать систему (2) также можно по частям, отдельно дляx и отдельно для y, что обычно и делают на практике.Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыИзменим соотношения (2), чтобы они «завязались» друг на друга,поменяв в правых частях векторы x и y :(Ax = σ y,(3)y ∗ A = σ x∗ .Можно образно сказать, что при этом векторы x и y становятся«право-левыми» или «лево-правыми» собственными векторамиматрицы A.Аналоги собственных чисел матрицы, которые мы переобозначиличерез σ, также получают новое содержание.Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыНас интересуют вещественные σ, удовлетворяющие системе (3).Тогда σ = σ, и, беря эрмитово сопряжение от второго уравнения из(3), можем переписать эту систему в виде:(Ax = σ y,(4)A∗ y = σ x.Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыНас интересуют вещественные σ, удовлетворяющие системе (3).Тогда σ = σ, и, беря эрмитово сопряжение от второго уравнения из(3), можем переписать эту систему в виде:(Ax = σ y,(4)A∗ y = σ x.ОпределениеВещественные числа σ ≥ 0, которые являются решениями системыуравнений (4), называются сингулярными числами матрицы A.Векторы x, удовлетворяющие системе (4), называются правымисингулярными векторами матрицы A, а векторы y — левымисингулярными векторами матрицы A.Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыОпределение сингулярных чисел и сингулярных векторов можноприменять для прямоугольных матриц, не обязательно квадратных.Для m × n-матрицы A правые сингулярные векторы имеютразмерность n, а левые — размерность m.Полезна матричная форма системы (4):!!x0 A∗= σA 0yxy!.(5)Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыОпределение сингулярных чисел и сингулярных векторов можноприменять для прямоугольных матриц, не обязательно квадратных.Для m × n-матрицы A правые сингулярные векторы имеютразмерность n, а левые — размерность m.Полезна матричная форма системы (4):!!x0 A∗= σA 0yxy!.Если A — вещественная матрица, то эта система уравненийпринимает ещё более простой вид:!!!xx0 A⊤.= σyyA 0(5)(6)Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыПокажем корректность Определения, то есть что решения σ, x, yдля системы уравнений (4)–(6) существуют и среди них естьвещественные неотрицательные σ.Матрицы0A∗A0!и0A⊤A0!размера (m + n) × (m + n) являются эрмитовой и симметричнойсоответственно.

Как следствие, матричные уравнения (5) и (6),которые определяют их собственные значения σ и собственные(m + n)-векторы (x y)⊤ , имеют вещественные решения.Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыПредложениеСингулярные числа матрицы A — это неотрицательные квадратныекорни из собственных чисел матрицы A∗A или матрицы AA∗ .Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыПредложениеСингулярные числа матрицы A — это неотрицательные квадратныекорни из собственных чисел матрицы A∗A или матрицы AA∗ .Формулировка этого утверждения требует пояснения, так как вслучае прямоугольной m × n-матрицы A размеры квадратныхматриц A∗A и AA∗ различны: первая из них — это n × n-матрица, авторая m × m-матрица. Тогда количество собственных чисел у нихбудет различным.Доказательство:(Ax = σ y,A∗ y = σ x.Умножая обе части второго уравнения на σ, получим A∗ (σy) = σ 2 x.Затем подставим сюда значение σy из первого уравнения:A∗Ax = σ 2 x.Доказательство:(Ax = σ y,A∗ y = σ x.Умножая обе части второго уравнения на σ, получим A∗ (σy) = σ 2 x.Затем подставим сюда значение σy из первого уравнения:A∗Ax = σ 2 x.С другой стороны, умножая на σ обе части первого уравнения,получим A(σx) = σ 2 y.

Подстановка в это равенство значения σxиз второго уравнения даётAA∗ y = σ 2 y.Доказательство:(Ax = σ y,A∗ y = σ x.Умножая обе части второго уравнения на σ, получим A∗ (σy) = σ 2 x.Затем подставим сюда значение σy из первого уравнения:A∗Ax = σ 2 x.С другой стороны, умножая на σ обе части первого уравнения,получим A(σx) = σ 2 y. Подстановка в это равенство значения σxиз второго уравнения даётAA∗ y = σ 2 y.Итак, числа σ 2 являются собственными значениями для A∗A и AA∗ .Доказательство:Покажем теперь, что собственные значения у матриц A∗A и AA∗неотрицательны, чтобы иметь возможность извлекать из нихквадратные корни для определения σ. Это достаточно сделатьлишь для одной из матриц, так как для другой рассуждениясовершенно аналогичны.Доказательство:Покажем теперь, что собственные значения у матриц A∗A и AA∗неотрицательны, чтобы иметь возможность извлекать из нихквадратные корни для определения σ.

Это достаточно сделатьлишь для одной из матриц, так как для другой рассуждениясовершенно аналогичны.Пусть λ — собственное значение матрицы A∗A,пусть u — соответствующий ему собственный вектор.Тогда(Au)∗ (Au) ≥ 0,так как является суммой квадратов модулей компонент вектора Au.Доказательство:Покажем теперь, что собственные значения у матриц A∗A и AA∗неотрицательны, чтобы иметь возможность извлекать из нихквадратные корни для определения σ. Это достаточно сделатьлишь для одной из матриц, так как для другой рассуждениясовершенно аналогичны.Пусть λ — собственное значение матрицы A∗A,пусть u — соответствующий ему собственный вектор.Тогда(Au)∗ (Au) ≥ 0,так как является суммой квадратов модулей компонент вектора Au.Кроме того,(Au)∗ (Au) = u∗ (A∗Au) = u∗ λu = λ(u∗ u),откуда в силу u∗ u > 0 следует λ ≥ 0.Доказательство:Для завершения доказательства осталось продемонстрировать, чтоарифметические квадратные корни из собственных значенийматриц A∗A и AA∗ вместе с их собственными векторамиудовлетворяют системе уравнений (4)–(5).Доказательство:Для завершения доказательства осталось продемонстрировать, чтоарифметические квадратные корни из собственных значенийматриц A∗A и AA∗ вместе с их собственными векторамиудовлетворяют системе уравнений (4)–(5).Пусть u — собственный вектор матрицы A∗A, отвечающийсобственному числу λ, так что A∗Au = λu, причём√ λ ≥ 0 в силуранее√доказанного.

Обозначим y := Au и x := λ u. Тогдаλu = λ x, и потому√ √√Ax = A λ u = λ Au = λ y,√A∗ y = A∗Au = λu = λ x,так что система (3)–(5) удовлетворяется при σ =векторами x и y.√λ с выбраннымиДоказательство:Для завершения доказательства осталось продемонстрировать, чтоарифметические квадратные корни из собственных значенийматриц A∗A и AA∗ вместе с их собственными векторамиудовлетворяют системе уравнений (4)–(5).Пусть u — собственный вектор матрицы A∗A, отвечающийсобственному числу λ, так что A∗Au = λu, причём√ λ ≥ 0 в силуранее√доказанного. Обозначим y := Au и x := λ u. Тогдаλu = λ x, и потому√ √√Ax = A λ u = λ Au = λ y,√A∗ y = A∗Au = λu = λ x,так что система (3)–(5) удовлетворяется при σ =векторами x и y.Для матрицы AA∗ — совершенно аналогично√λ с выбраннымиСледствиеСингулярные числа матрицы не меняются при умножении её наунитарную матрицу (ортогональную в вещественном случае).СледствиеСингулярные числа матрицы не меняются при умножении её наунитарную матрицу (ортогональную в вещественном случае).Пусть A — исходная матрица, а U унитарна, т.

е. U −1 = U ∗ . Тогда(AU )∗ (AU ) = (U ∗A∗ )(AU ) = U ∗ (A∗A) U = U −1 (A∗A) U,и потому матрица (AU )∗ (AU ) подобна A∗ A. Следовательно, онаимеет те же собственные значения, что и A∗A. Кроме того,(AU )(AU )∗ = AU U ∗A∗ = AA∗ .В силу предыдущего Предложения можем заключить, чтосингулярные числа матриц AU и A также должны совпадать.СледствиеСингулярные числа матрицы не меняются при умножении её наунитарную матрицу (ортогональную в вещественном случае).Пусть A — исходная матрица, а U унитарна, т. е. U −1 = U ∗ . Тогда(AU )∗ (AU ) = (U ∗A∗ )(AU ) = U ∗ (A∗A) U = U −1 (A∗A) U,и потому матрица (AU )∗ (AU ) подобна A∗ A. Следовательно, онаимеет те же собственные значения, что и A∗A. Кроме того,(AU )(AU )∗ = AU U ∗A∗ = AA∗ .В силу предыдущего Предложения можем заключить, чтосингулярные числа матриц AU и A также должны совпадать.Для умножения слева, т.

е. для матрицы UA обоснованиеаналогично.Сингулярные числаи сингулярные векторы матрицыИтак, сингулярные числа вещественной или комплекснойm × n-матрицы — это набор из min{m, n} неотрицательныхвещественных чисел.Их обычно нумеруют в порядке убывания:σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σmin{m,n} ≥ 0.Тогда σ1 = σ1 (A) — это наибольшее сингулярное число матрицы A.Мы будем также обозначать наибольшее и наименьшеесингулярные числа матрицы посредством σmax (A) и σmin (A).Сингулярное разложение матрицТеорема о сингулярном разложении матрицыДля любой комплексной m × n-матрицы A существуют унитарныеm × m-матрица U и n × n-матрица V , такие чтоA = U ΣV ∗с диагональной m × n-матрицейσ1 0 0 · · · 0 σ2 0 · · ·Σ =  0 0 σ3 · · · ...

. ... .....000···00 0 ,.. . где σ1 , σ2 , . . . , σmin{m,n} — сингулярные числа матрицы A, астолбцы U и V — левые и правые сингулярные векторы A.Сингулярное разложение матрицПредставлениеA = U ΣV ∗ ,где U , V — унитарные матрицы, а Σ — диагональная, называетсясингулярным разложением матрицы A.Сингулярное разложение матрицПредставлениеA = U ΣV ∗ ,где U , V — унитарные матрицы, а Σ — диагональная, называетсясингулярным разложением матрицы A.Если A — вещественная матрица, то U и V являются такжевещественными ортогональными матрицами, и сингулярноеразложение принимает видA = U ΣV ⊤ .Сингулярное разложение матрицСингулярное разложение матриц впервые возникло во второйполовине XIX века в трудах Э.

Характеристики

Список файлов лекций